曲線描繪_瑣談_1

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1、曲線描繪_瑣談_1（曲線對稱性漫談）曲線的形態可說是多樣化，但從對稱性的角度來考慮曲線與方程的關係，可得以下的論點：論點1：已知曲線的方程為，則有(1) 關于軸對稱的曲線方程為；(2) 關于軸對稱的曲線方程為；(3) 關于直線對稱的曲線方程為；(4) 關于直線對稱的曲線方程為；(5) 關于直線對稱的曲線方程為；(6) 關于直線對稱的曲線方程為；(7) 關于原點對稱的曲線方程為；(8) 關于點對稱的曲線方程為。証明：定理各部份的証明都是類似的，這裡只証其一，(1) 設是曲線關于軸對稱的曲線上任意一點，則關于軸的對稱點都在曲線上，所以有，這就是說，曲線上任意一點的坐標都滿足。反之，將與比較，得知滿

2、足的點都是曲線上的點關于軸的對稱點，這就是說，坐標滿足方程的點都在曲線上。所以，曲線關于軸對稱的曲線為。論點1告訴我們這樣一個事實，要求與曲線關于某點（或直線）對稱的曲線方程，只須將該曲線上的點的坐標換成關于點（或直線）對稱的坐標就可以了。由論點1，易得下面的論點：論點2：已知曲線為，則有(1) 關于軸對稱的曲線為；(2) 關于軸對稱的曲線為；(3) 關于直線對稱的曲線為；(4) 關于直線對稱的曲線為；(5) 關于直線對稱的曲線為；(6) 關于直線對稱的曲線為；(7) 關于原點對稱的曲線為；(8) 關于點對稱的曲線為。証明：(1) 設，則由論點1 (1) 知關于軸對稱的曲線方程為，即。同理可証

3、論點的其他各部份。例1：求曲線關于點對稱的方程。解： 由論點2 (8) 知，關于點對稱的曲線方程為 即為所求曲線的方程。例2：若點在直線上運動，則點關于直線的對稱點在什麼曲線上運動？分析： 問題的實質是求直線關于直線對稱的曲線方程。解： 點與它關于直線的對稱點所連線段的中點應在對稱軸上，所以。因為過點、的直線與垂直，所以。又因為點在直線上，所以。從以上可得。即點在直線上運動。例3：在平面中，(1) 求與曲線關于點對稱的曲線方程；(2) 如果 (1) 中兩條相互對稱的曲線交于兩個不同的點，求的取值範圍。解：(1) 由論點2 (8) 可知曲線關于點對稱的曲線方程為， 即。(2) 由得，由判別式，即，解之得。論點3：若曲線對定義域內的一切都滿足，則有(1) 若，則該曲線關于軸對稱；(2) 若，則該曲線關于直線對稱；(3) 若，則該曲線關于原點對稱；(4) 若，則該曲線關于點對稱；証明：(1) 設是上任意一點，則。顯然滿足，即；而與關于軸對稱，所以與關于軸對稱。類似，可以証明 (2) (4)。曲線描繪_瑣談_1頁3