数学题型专题--应用性问题的解法

《数学题型专题--应用性问题的解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学题型专题--应用性问题的解法（9页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、应用性问题的解法 1.内容概要：高考对数学应用和实践能力的考查要求是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。解答数学应用题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力。从2000年新课程的试卷，突出新增加的向量，概率，导数等知识的应用性。但是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之外，建立函数，数列，三角，曲线等模型解决实际问题也应该

2、成为复习的重点。要想掌握好高考试题中应用问题的求解,重点在于提高整理分析实际问题中的数据,抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力.2.典例精析：类型一：函数应用题例1：（2008年湖北卷理科）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为（）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期? 全 品高考网（）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.分析：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.解析：（）当

3、时，化简得,解得，或，又，故.当时，化简得,解得，又,故.综合得,或；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.()()知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.由V（t）= 令V(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).当t变化时，V(t) 与V (t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)+0-V(t)极大值由上表，V(t)在t8时取得最大值V(8)8e2+50-108.52(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米类型二：数列应用题例2：（2007年安徽卷理科）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每

4、年交纳的数目均比上一年增加d（d0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1r）a1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1r）a2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn1（n2）的递推关系式；（）求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.分析：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实

5、际问题的能力解析：（）我们有（），对反复使用上述关系式，得 ，在式两端同乘，得，得即如果记，则其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列类型三：其他类型的应用题例3：（2008年湖南卷理科）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

6、解: （I）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在ABC中，由余弦定理得，=.从而在中，由正弦定理得， AQ=由于AE=5540=AQ，所以点Q位于

7、点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QEsin=所以船会进入警戒水域.3、知识整合1求解应用题的一般步骤是（四步法）：（1）、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；（2）、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；（3）、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；（4）、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证.2在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等.函数模型 函数是中学数学中最重要

8、的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决. 根据题意，熟练地建立函数模型； 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律 几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方

9、程、不等式或用三角函数知识来求解.4、跟踪练习1.因液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小.为减少汽车尾气对城市空气的污染，促进城市的健康发展，某市决定对出租车进行使用液化气替代汽油的工作.请根据以下条件：当前汽油价格为2.8元/升，一升汽油大约能跑12千米；当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑1516千米；一辆出租车平均日行程200千米。（）说明使用液化气比使用汽油更经济（即省钱）;（）假设出租车改装液化气设备需5000元，请问多长时间省出的钱可以等于引进设备的钱。2. 通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化

10、，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知： （1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？3. 某公司全年的利润为元,其中一部分作为奖金发给位职工,奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同

11、)从大到小,由1到排序,第一位职工得奖金元,然后再将余额除以,发给第二位职工,按此方案将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1) 设为第位职工所得奖金额,试求并用.(不必证明)(2) 证明,并解释此不等式关于分配原则的实际意义;,4. 关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：方案甲：按现状进行运营。据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元。方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力。港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营据测算，开始改造后港口第

12、一年的收入为320万元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上。（1） 从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？（2） 从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（收益收入投资）5. 学校决定对教学楼部分房间配制现代化的电了教学设备，并对其两种电子装置配一个外壳，现有A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用用到两种规格的薄金属板：甲种薄金属板每张面积2m2，可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄金属板每张面积3m2，可做A、B的外壳分别为6个，求两种薄金属板各用多少张，才能使用料总的面积最小6. 舰A在舰B

13、正东6公里处,舰C在舰B北偏西30的4公里处.某时刻某海洋动物在P处发出信号,信号传播速度为1公里/秒. A舰接到信号4秒后, B, C舰同时接到信号.问从A舰观察P点的方位角是多少?(方位角:从指北方向按顺时针旋转到目标方向线的水平角)P与A舰的距离是多少? 【练习题参考解答】1. (）设出租车行驶时间为天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为W元，则由题意可知 即所以使用液化气比使用汽油省钱。（）设 解得 设 解得 所以，若改装液化气，则一年半到两年左右的时间省出的钱可以等于引进设备的钱. (2)当时，函数在时是减函数,在时是增函数,所以有最小值.2. 解：（1）当，是增函数，且；，是减

14、函数，且.所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.（2），故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.当时，；当， （3）令，则学生注意力在180以上所持续的时间28.574=24.5724，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.3. () 解法1., ,.由此而得, .解法2. , 于是, , ,两式相减, ,从而 , () 所以 .此不等式表明工作业绩越好,分配越高,体现了按劳分配,按优分配的原则.4. 解：（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数。在方案乙中，前4年的总收入为 =26006000， 解得 n6,

15、故n的最小值为7，答: 从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资。 （2）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1,y2万元，则y1=760n-50n+n(n-1)20=-10n2+720n, 当n4时，则y10,y2y2. 当n5时，y2=2600+3201.54(n-4)-6000=1620n-9880，令y1-10n2+720n,即 n(n+90)998, 由10(10+90)998,9(9+90)998,可得n的最小值为10.答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲。 xyo图Al2:5x6y55l1:3x6y455. 解：设用甲种薄金属板x张，乙种薄

16、金属板y张，则可做A种产品外壳3x6y个，B种产品外壳5x6y个，由题意可得 所有的薄金属板的总面积是 z2x3y可行性区域如图所示的阴影部分，其中l1：3x6y45；l2：5x6y55，l1与l2的交点为A(5，5)，因目标函数z2x3y在可行域上的最小值在区域边界的A(5，5)处取得，此时z的最小值为253525即甲、乙两种板各5张，能保证制造A、B的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小6.解：以A,B所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(如图). A为(3,0), B为(3,0), C为(5,2), 由题意知|PB|PA|=4,且|PB|=|PC|, 点P为以A, B为焦点,实轴长为4的双曲线靠近A点的一支与线段BC的垂直平分线的交点.双曲线的a=2,c=3,b2=5,方程为 =1(x2), BC的中点D(4,),斜率为k=,BC的垂直平分线方程为xy+7=0.将y2=(x+7)2代入=1得11x256x256=0,由x2,解得x=8,y=5.交点P为(8,5).xAP=60,|PA|=10,从A舰观察P点的方位角是30, P与A舰的距离是10公里.