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1、一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,第一章 函数,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,4.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,而数值变化的量称为变量.,5.绝对值:,运算性
2、质:,绝对值不等式:,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,二、函数概念,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,(1) 符号函数,几个特殊的函数举例,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,(3) 取最值函数,基本初等函数,1、幂函数,2、指数函数,3、对数函数,4、三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,5、反三角函数,三、函数的特性,有界,无界,1函数的有界性:,2函数
3、的单调性:,3函数的奇偶性:,偶函数,y轴对称,奇函数,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,为 内有定义的偶函数，已知y=f(x)的图像关于x=2对称，问f(x)是否为周期函数？,解：,四、复合函数 初等函数,1、复合函数,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2、初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,例1,解,例2,解,故,思考题,思考题解答,不能,五、反函数,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,注意：只有在
4、给定区间上严格单调的函数，才有反函数。,思考题,思考题解答,设,则,故,有关结论： 1、偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数， 奇函数偶函数奇函数； 2、奇偶函数复合后还是偶函数，偶偶复合为偶函数，奇奇复合为奇函数； 3、奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数； 4、奇函数的积分为偶函数，偶函数的积分未必是奇函数； 5、周期函数的导数是周期函数(未必反之）；,6、无论f(x) 还是 ，都有f(f(x) ； 7、若y=f(x) (或 )，则其反函数也是(或 ).,练 习 题,二、证明,在,上的单调性,.,三、证明任一定义在区间,上的函数可表,示成一个奇函数与一个偶函数之和,.,四、证明函数,的反函
5、数是其本身,.,练 习 题,一、填空题:,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、极限概念的引入,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,二、数列的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,Ex.,Ex.,三、数列的极限,B,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,例1,例2,例3,四、数列极限的性质,1、有界性,例如,有界,无界,定理1 收敛的数列必定有界.,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,2、唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一
6、个极限.,定理3 收敛数列的任一子数列也收敛,且极限相同,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,注意：,二、自变量趋向有限值时函数的极限,例4,例2,例3,例5,3.单侧极限:,例如,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例6,证,三、函数极限的性质,1.有界性,2.唯一性,3.不等式性质,定理(保号性),推论,4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定理,例7,证,思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,思考题,例,一、极限运算法则,定理,推论1,推论2,二、求极限方法举例,例1,解,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(
7、无穷小因子分出法),答案：A,例5,解,先变形再求极限.,例7,解,左右极限存在且相等,意义：,例8,解,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,一、极限存在准则,1.夹逼准则,注意:,例1,解,由夹逼定理得,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,极限,例2,证,(舍去),例3,解,二、两个重要极限,(1),(2),例4,解,例5,解,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,一、无穷小,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,2、无穷小与函数极限的关系:,3、无穷小的运
8、算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,定理3 有界函数与无穷 小的乘积是无穷小.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,不是无穷大,无界，,A,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,四、小结,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
9、,一、无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,定义:,例如，,例1,解,例,解,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,二、等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,例,解,不能滥用等价无穷小代换.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,注意,例,解,例,解,解,错,练 习 题,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,
10、或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例6,解,例7,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,判断下列间断点类型:,例8,解,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),定理 一切初等函数在其定义
11、区间内都是连续的.,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,思考题,练 习 题,练 习 题,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,闭区间连续函数性质,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、介值定理,定义:,几何解释:,推广的零点定理：,若函数 f(x) 在区间（a,b）内连续，且满足,则至少存在一点 （a,b），使得 f() 0.,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,练 习 题,一、,证明方程,，其中,，至,少有一个正根，并且它不超过,.,二、,若,在,上连续，,则在,上必有,x,，使,.,
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