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1、四、二次曲面,第三节,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,曲面及其方程,第八章,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,定义1.,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,两
2、个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状,( 必要时需作图 ).,故所求方程为,例1. 求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面 .,例2. 研究方程,解: 配方得,可见此方程表示一个球面,说明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,的曲面.,表示怎样,半径为,球心为,一个球面, 或点, 或虚轨迹.,定义2. 一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面
3、上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 .,例如 :,建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yOz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解: 在yOz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例4. 求坐标面 xOz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解: 绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所
4、成曲面方程为,所成曲面方程为,三、柱面,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xOy 面上，,表示圆C,沿圆周C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xOy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,一般地,在三维空间,柱面
5、,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xOz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xOy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yOz 面上的曲线 l2.,母线,四、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形统称为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),1. 椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,与,的交线为椭圆：,(4) 当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(
6、3) 截痕:,为正数),2. 抛物面,(1) 椭圆抛物面,( p , q 同号),(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）,( p , q 同号),特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,3. 双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时, 截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,虚轴平行于x 轴）,时, 截痕为,时, 截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,(2) 双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,P18,图形,4. 椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .
7、,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到, 见 P28 ),内容小结,1. 空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如, 曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .,2. 二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yOz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的 圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1. 指出下列方程的图形:,2. P30 题3 , 10,题10 答案:,在 xOy 面上,作业,P30 2 ; 4; 7 ; 8 (1); 11,第四节,
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