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1、一 预备知识 二 多元函数的概念 三 多元函数的极限 四 多元函数的连续性,第一节 多元函数的极限及连续性,1.邻域,一、预备知识,2. 内点,3. 边界,注：,4. 连通集,5. 区域,连通的开集称为区域或开区域,开区域连同它的边界一起称为闭区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,6 有界点集、无界点集,例如，,7 n维空间,设两点为,比如：,当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,二、多元函数的概念,类似地可定义三元及三元以上函数,多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念,1 多元函数的定义,例1 求 的定义域,例2 求 的定义域,说明：二元函数的图形通常是一张曲面.,
2、如二元函数的图形是以原点为球心，半径为的上半个球面；,而表示以坐标原点为顶点的上半个锥面,三、多元函数的极限,聚点,内点一定是聚点；,说明：,边界点可能是聚点,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,证,例1 求证,当,时,原结论成立,证,例2 求证,当 时，,所以结论成立,证,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,例3 证明 不存在,取,确定极限不存在的方法：,1 定义,四、多元函数的连续性,解,当 时，,故函数在(0,0)处连续.,解,取,故函数在(0,0)处不连续,2 间断点,函数的间断点的判定（只要满足下列一条）：,（1）函数在此点处无定义；,（2）函数在此点处有定义，但无极限；,（3）函数在此点处有定义，有极限，但极限 不等于函数值,注意：（1）多元函数的间断点有可能是一点， 也可能形成一条曲线；,（2）多元初等函数在其定义区域内是 连续函数定义区域是指包含在定 义域内的区域,解,例6 求,函数的定义域,显然,故,例,解,例8,解,3 闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,
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