曲线拟合问题

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1、曲线拟合问题（三）一、摘要本文采用最小二乘法、最小一乘法的分析方法，通过建立非线性规划模型 利用Matlab、Lingo编程实现曲线拟合，以探究两个相关量y量与x量之间的关 系。对于问题一，在拟合准则为绝对偏差总和最小的前提下，采用最小一乘法， 并将无约束不可微最优化问题转化为解决非线性规划问题，通过Matlab编程得 到，构造非线性规划模型，得到a = 0.160，b = -0.805，c = 1.000，则 y = 0.16回-0. 8h05 1为所拟合的曲线。对于问题二，在拟合准则为最大偏差极小化的前提下，也是构造非线性规 划模型，得到a = 0.025，b = 0.766，c = 0.

2、469，则 y = 0.05 x2 40.766 xQ469 为 所拟合的曲线。对于问题三，要求拟合的是二次曲线，拟合完后发现均呈现函数值与观测 值都存在一定的偏差，说明拟合的曲线并非是关于y量和x量的最佳拟合曲线。 故而可以重新观察散点图的图像特点，充分考虑之前拟合曲线中的奇异点的位 置，分别尝试拟合指数函数曲线和对数函数曲线，以找到关于y量和x量的最佳 拟合曲线。关键词最小二乘法；最小一乘法；线性规划；曲线拟合CURVE FITTING QUESTION (3)ABSTRACTUsing the least squares method, a multiplication of the m

3、inimum analytical methods, through the establishment of a linear programming model and nonlinear programming model and other means, the amount of volume between the two related to the amount of use of Matlab, Lingo programming curve fitting to inquiry relationship.For a problem in fitting the guidel

4、ines for the next smallest deviation absolute sum of the premise, with a minimum of a multiplication, and no Nondifferentiable optimization problem into a nonlinear programming problem solving, obtained by Matlab programming, a nonlinear programming model, get 0.160, -0.805, 1.000, compared with the

5、 fitted curve.For question two, in the case fit the guidelines for the maximum deviation of minimizing the premise of non-linear programming model is constructed to give 0.025, 0.766, 0.469, compared with the fitted curve.For question three, it requires fitting a quadratic curve fitting after the di

6、scovery showed a function and observed values there are some deviations, indicating fitted curve is not the best fit on the amount and quantity. Therefore the characteristics of the observed image can be re-scatter plot, curve fitting position before take full account of the singular points, respect

7、ively, to try to fit an exponential function and logarithmic function curve, in order to find the best fit curve on the amount and quantity.Key words: Least squares; least absolute deviation; linear programming; curve fitting目录1. 摘要12. 问题重述43. 问题分析44. 模型的建立与求解54.1针对问题一中的拟合准则求解问题54.2针对问题二中的拟合准则求解问题64

8、.3问题三模型的建立和解答75. 模型评价86. 参考文献87. 附录9二、问题重述已知一个量y依赖于另一个量x。现收集有数据如下:x0.00.51.01.51.92.53.03.54.04.5y1.00.90.71.52.02.43.22.02.73.5（1）求拟合以上数据的曲线y =心2+ bx + cx，目标为使y的各个观察值同按 直线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小。（2）求拟合以上数据的曲线y =心2+ bx + cx，目标为使y的各个观察值同预 期值的最大偏差为最小。（3）求拟合以上数据的最小二乘拟合曲线）= qx2+ bx + c。对以上结果进行 比较分析。三、问题分析由题目可

9、知，y量依赖于x量，也就是说y量与x量之间存在着必然的联系。这就要求我们通过曲线拟合的方式来探究y量与x量之间的关系。对于问题一，拟合题中所给数据的曲线y = ax2 + bx + c，目标为使y的 各个观察值同按曲线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小。对于要在拟合准则 绝对偏差总和最小的情况下拟合曲线，应采用最小一乘法原理，又因求解存在一 定的困难，其困难就在于绝对值的存在，应设法化去绝对值，所以在所要求拟合 的曲线函数形式简单的前提下，将问题转化为了非线性规划的求解问题。对于问题二，拟合题中所给数据的曲线y = ax2 + bx + c，目标为使y的 各个观察值同按直线关系所预期的值的最大

10、偏差为最小。对于要在拟合准则最大 偏差为最小的情况下拟合曲线，可以在第一问的基础上加以改进，继续采用非线 性规划模型，并利用Lingo编程进行问题的求解。对于问题三，因为要求拟合的是二次曲线，拟合完后发现均呈现函数值与观 测值都存在一定的偏差，说明拟合的曲线并非是关于y量和x量的最佳拟合曲 线。故而可以重新观察散点图的图像特点，充分考虑之前拟合曲线中的奇异点的 位置，分别尝试拟合指数函数曲线和对数函数曲线，以找到关于y量和x量的最 佳拟合曲线。四、模型的建立与求解设中（x）（i = 1,2, n）表示按拟合曲线 =中（x）求得的近似值，它不同于实测 i值），两者之间的差值匕=中（土）-七就是大

11、家熟知的偏差（或残差）。通常我们构造拟合曲线有2种准则可供选择（即如题所问），具体内容如下：1、最大偏差达到最小：max钏=min.2、偏差的绝对值之和达到最小：不|匕| = min i-1模型的建立和解答4.1针对问题一中的拟合准则求解问题对于拟合准则为绝对偏差总和最小，通过建立如下非线性规划模型min 云 kJ =云niiti （环 + 跆）,i-i i-i ,8 = y - cx 2 一 bx 2 一 a8 = u v和利用Matlab编程（详见附录1）得出a = 0.1601, b = -0.805, c = 1.000,即 可得出拟合的函数曲线方程为y = 0.160x2 0.805

12、 +1.000。拟合后的图像如下图1：*/图2,函数拟合结果，246810124.2针对问题二中的拟合准则求解问题对于拟合准则为绝对偏差总和最小，通过非线性规划模型作=y - cx 2 - bx 2 - a i i i i ，& - u 一 V和利用Lingo编程（详见附录2）得出a =0.025，b = -0.766，c = 0.469，即可 得出拟合的函数曲线方程为y = 0.025x2 + 0.766x + 0.469，拟合后的图像如下图2：y=0.025 (x2)-K)766 x-0.4694.3问题模型的建立和解答重新观察散点图的图像特点，充分考虑之前拟合曲线中的奇异点的位置，分 别

13、尝试拟合指数函数曲线和对数函数曲线，以找到关于y量和x量的最佳拟合曲 线（采用最小二乘法）。4.3.1拟合指数函数曲线利用Matlab编程（详见附录1）得出拟合的函数曲线方程为y = 0.943（0.240 ）x拟合后的图像如下图：4.3.2拟合对数函数曲线利用Matlab编程（详见附录1）得出拟合的函数曲线方程为y = 2.566ln （x + 0.809）拟合后的图像如下图:由图像观察可得，因拟合得的指数函数的图像较对数函数图像，以及前两问中拟 合的二次函数图像而言，指数函数的图像中的分散点在曲线上更为均匀地分布，奇异点较少，且更为美观，故而将y量与x量之间的关系拟合为指数函数的曲线更为合

14、适。五、模型的评价优点1、曲线拟合转变为数学规划模型，降低了算法的难度，增强了结果的准确性。2、建立的模型对于实际应用具有一定意义。缺点1、算法较为简单，不够严谨。2、曲线拟合方法只采用了最小二乘法，方法较为单一，应尝试多种方法，以求 得更为完善的模型。总结与第一二问拟合相比较，可以看出指数函数的图像中的分散点在曲线上更为均匀 地分布，奇异点较少，且更为美观，故而将y量与x量之间的关系拟合为指数 函数的曲线更为合适。在这次得课程设计中不仅检验了我所学习得知识，也培养 了我们如何去把握、如何去做好一件事，培养自我学习的能力。我学习到了如何 用最小二乘法求拟合曲线的，并且会简单的运用MATLAB软

15、件。以上结果可以看到用最小二乘拟合来求解问题时，有时候他的结果很接近实际 情况，有时候跟实际情况里的太远，因为所求得多项式次数太小时数据点之间差 别很大，次数最大时误差最小但是有时后不符合实际情况，所以用最小二乘法时 次数要取合适一点。从上面的拟合中也可以得到多项式拟合误差平方和随着拟合 多项式次数的增加而逐渐减小，拟合的曲线更靠近实际数据。拟合更准确。课程设计是我们专业课程知识综合应用的实践训练，着是我们迈向社会， 从事职业工作前一个必不少的过程.”千里之行始于足下”，通过这次课程设计， 我深深体会到这句千古名言的真正含义.我今天认真的进行课程设计，学会脚踏 实地迈开这一步，就是为明天能稳健

16、地在社会大潮中奔跑打下坚实的基础。六、参考文献1 王福昌，胡顺昌，张艳芳，最小一乘回归系数估计及其MATLAB实现，防 灾科技学院学报，2007年12月。2 张小勇，徐香勤，基于LINGO的曲线拟合，2007年1月。3 杨启帆，何勇，谈之奕，数学建模，浙江：浙江大学出版社，2006年5 月。4 刘卫国主编.MATLAB程序设计教程（第1版）.北京：中国水利水电出版 社，2006： 142-146.5 李庆扬 王能超.数值分析（第4版）.武汉：华中科技大学出版社， 2014:105-139， 163-185.6 李荣华.偏微分方程数值解法（第二版）.北京:高等教育处版社，2014:88-95.七

17、、附录附录一：matlab相关程序%数据为题目所给源数据，手动输入%计算结果为生成拟合函数的相关系数%大部分程序为顺序结构，部分运用了创建和调用函数的方法，结合循环结构完 成算法*%第三问求解%猜测使用指数、对数函数来拟合题目所给数据%数据来源同上%运用matlab的拟合工具箱，以及设定拟合形式来进行最小二乘拟合%结果为函数的相关系数%程序为顺序结构*%指数函数拟合x=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5;y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5;cftool(x,y)%调用拟合工具箱*%对数函数拟合clear

18、 all;clc;x=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5;y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5;f = fittype(a*log(x+b); %拟合自定义函数的形式fit1 = fit(x,y,f,StartPoint,x(1) y(1);a = fit1.a; % a 的值b = fit1.b; % b 的值fdata = feval(fit1,x); %用拟合函数来计算yfigureplot(x,y,*r); hold onplot(x,fdata,r); hold offlegend(Ori da

19、ta, Fitting data);% 作图例附录二：lingo相关程序!数据为题目所给源数据，手动输入；!运用lingo的线性规划工具进行求解，；!输出所求的最小距离；!程序为顺序结构;*!第一、二问求解；model:sets:f/1.19/:x,y,u,v,e; endsets data: x=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5; y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5; enddata min=sum(f(i):u(i)+v(i);!第一种方法目标函数，使用时将下句注释； min=max(f(i):u(i)+v(i);!第二种方法目标函数，使用时将上句注释； for(f(i):e(i)=y(i)-c*x(i)2-b*x(i)-a); for(f(i):e(i)=u(i)-v(i); free(a); free(b); End *