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1、 第三章 量子力学中的力学量1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）证 由厄米算符的定义厄米算符的平均值 即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）（2）（3）解：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。3. 设归一化，是的本征函数，且 （1）试推导表示式（2）求征力学量F的态平均值（3）说明的物理意义。解：（1）给左乘再对积分因是的本函，所以具有正交归一性 （2）是的本征函数，设其本征值为 则 即 （3）的物理意义；表示体系处在态，在该态中测量力学量F，得到本征值的几率为。4. 一维谐振子处于基态y0（x）态，求该态中（1）
2、 势能的平均值（2） 动能的平均值（3） 动量的几率分布。解：(1) （） (2) 或 (3) 动量几率分布函数为 5. 氢原子处于 态，求（1） r的平均值。（2） e2/r的平均值（3） 最可几半径.（4） 动能平均值.解：(1) （ ） (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 令 当为几率最小位置 是最可几半径。 (4) 6. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为 ， 证：电子的电流密度为 在球极坐标中为 式中为单位矢量 中的和部分是实数。 可见， 7. 由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成(1) 求一圆周电流的磁矩 (2) 求证氢原子磁矩为 解：(1)
3、一圆周电流的磁矩为 （为圆周电流，为圆周所围面积） (2)氢原子的磁矩为 原子磁矩与角动量之比为 8. 求一维无限势阱中粒子动量与位置的测不准关系解设宽为a的一维无限势阱的波函数为 9. 证明氢原子中电子与是守恒量证明氢原子的哈密顿算符 因与是相互对易的 且与也是对易的。 ，与t无在，只与有关。 又 与也是对易的，且氢原子中电子和是守恒量。（判断守恒量的条件：与t无关，且与哈密顿算符对易）10. 设线性谐振子处于描述状态，则在该态中，能量可能取哪些值？几率各是多少？能量的平均值是多少？解线性谐振子能级 ，而是振子的两个本征态。所以能量可能取 因所以未归一化的波函数，则几率求法应为 对应几率 对
4、应几率 平均值（即第11题）方法I由平均值公式 方法 （未归一化） 由正交归一性可得12. 设粒子处于态，求该态中平均值。解 是的本征函数 同理 13. 一刚性转子的转动惯量为I,它的能量经典表达式是H=L2/2I,这儿L 为角动量,求与此对应的量子体系在下列条件下的定态波函数和定态能量。（1） 转子绕一固定轴转动。（2） 转子绕一点转动。解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 哈米顿算符 其本征方程为 (无关，属定态问题) 令 ，则 取其解为 (可正可负可为零)由波函数的单值性，应有 即 m= 0，1，2，转子的定态能量为 (m= 0，1，2，)可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波
5、函数为 A为归一化常数，由归一化条件 转子的归一化波函数为 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 无关，属定态问题，其本征方程为 (式中设为的本征函数，为其本征值) 令 ，则有 此即为角动量的本征方程，其本征值为 其波函数为球谐函数 转子的定态能量为 可见，能量是分立的，且是重简并的。14 若都是厄米算符，问（1）是否是厄米算符（2）是否是厄米算符 不是厄米算符其中为两任意函数（2）同样为两任意函数是厄米算符判断是否是厄米算符可用厄米算符定义来判断15设，证明是厄米算符，其中均是厄米算符。证明 是厄米算符。16. t0时，粒子处于态 求此时粒
6、子平均能量和平均动能。解： 可见，动量的可能值为 动能的可能值为 对应的几率应为 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得 动量的平均值为 17. 证明若两算符对易，则两算符有组成完全系的共同本征函数证明设 为两任意算符，且=0设的本函为，本征值为，只需证也是的本征函数即可。因= 给上式右乘=是算符本征值为的本征函数，由F是非简并的分立谱与应是同一状态，它们之间互多差一常数。即= （是任意常数）也是的本征函数=0 有共同的本征函数。逆命题：若两算符有组成完全系的共同本函，则这两算符对易。证：设的共同本函为，本征值为 =设为任一量子态，则=-=- =- =- =0=0 （）18. 下列算符哪些是
7、厄米算符 解： ，是厄米算符 不是厄米算符 是厄米算符也是厄米算符是厄米算符也是应厄米算符我们在前边第14题已证明是厄米算符，且则不是厄米算符。且却是厄米算符不是厄米算符，即不是厄米算符同样：也不是厄米算符，即不是厄米算符。19. 设氢原子处于求氢原子能量、角动量平方及z分量的可能值，可能值出现的几率，并求其平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 角动量平方有确定值为 角动量Z分量的可能值为 其相应的几率分别为 ， 其平均值为 20. 证明自由粒子能级是简并的证明：动量算符 其本征函数 自由粒子的哈密算符 显然=0 因此它们肯定有共同本函 即 本征值求法如下：所以能量 对应和对应两个状态
8、， 但能量 所以自由粒子能级是二度简并。21. 求的本征方程解 设的本征函数为 两边积分 （C为归一化常数）由归一化条件 本征方程为其中 22. 求解自由一维粒子的能量本征方程解自由粒子的哈密顿算符为设其本征函数为 则令 则此微分方程的特解为： k可取一切实数值均为全空间的连续有限函数，所以能量E的取值可以连续变化，能谱是连续的，定态波函数可以表示为： 由归一化条件又 即： 所以 即 本征方程为其中 推广到三维（x,y,z）运动，动量本征函数取为：23. 一维运动粒子的状态是 其中l0，求（1） 粒子动量的几率分布。（2） 粒子平均动量。解：(1)先求归一化常数，由 动量几率分布函数为 (2) 24. 证明 证明 （1） 与无关 （3） 25. 设体系处于态中，求（1）力学量的可能值与平均值。（2）的可能值与平均值。解 （1）角动量z分量的本征方程让作用于 由此可看出不是的本征函数，是的本征函数的线性迭加，可能取的值为平均值（2）角动量平方的本征方程让作用于由此可看出 是的本征函数，出现的可能值，几率为1，所以平均值为。26. 试求角动量平方算符，当本函为本征值解 角动量平方算符的本征方程 是本征值在球坐标下 让作用于 是的本征函数， 且本征值为A=223
第三章-表示力学量的算符-习题答案
