2013年陕西高考理科数学试题及答案详解

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）（陕西卷）第一部分（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1. （2013陕西，A.1,11）U（1，+）.2. （2013陕西，的值为（）理1）设全集为R，函数f（x）=J1-x2的定义域为M,则匚皿为（）.RB.（1,1）C.（b,1U1,+b）D.（b,1）U（1,+b）理2）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出yf工冬50Theny=0*5事rr:IiEl.seiI:y=25+0.6*（.t50）:1IEndIf:I:输出:IA.25B.30C.3

2、1D.613. （2013陕西，理3）设a,b为向量，则“|ab=a|b|”是“a局”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. （2013陕西，理4）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为（）.A. 11B.12C.13D.145. （2013陕西，理5）如图，在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随

3、机地选一地点,则该地点无信号的概率是（）.1-nA.4B.C.2-n2D.6.（2013陕西，理6）设n4是复数，则下列命题中的假命题是（）.A.若|z1z2|=0,则Zi=Z2B.若Z1=Z2，则Z1=Z2C.若|z1|=|z2|，则Z1Z1-Z2,Z27.（2013陕西，理7）设厶ABC的内角A,B,ABC的形状为（）.A.锐角三角形B.直角三角形D.若|z1|=|z2|，贝Ijz12=z22C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则C.钝角三角形D.不确定8.（2013陕西，理8）设函数f（x）则当x0时，ff（x）表达式的展开式中常数项为A.20B.20C.1

4、5D.159.（2013陕西，理9）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是（）A15,20C10,30B12,25D20,3010. （2013陕西，理10）设収表示不大于X的最大整数，则对任意实数X,丫，有（）.A.x=xB.2x=2xC.x+yWx+yD.xyWxy第二部分（共100分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）x2y2511. （2013陕西，理11）双曲线厂二=1的离心率为t，则m等于16m412. （2013陕西，理12）某几何体的三视图如图

5、所示，则其体积为13. （2013陕西，理13）若点（x,y）位于曲线y=|x1|与y=2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为.14. （2013陕西，理14）观察下列等式12=11222=3122232=612223242=10照此规律，第n个等式可为.15. （2013陕西，理15）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）已知a,b,m,n均为正数，且a+b=1,mn=2,贝J（am+bn）（bm+an）的最小值为B. （几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于；0内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,

6、则PE=C. （坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角9为参数，则圆x2+y2x=0的参数方程为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)(1)厂16. (2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量8=cosx,厅,b=(3sinx,cos2x),xWR,k设q工1,证明数列a+1不是等比数列.n丿设函数f(x)=ab.(1) 求f(x)的最小正周期；n(2) 求f(x)在0,2上的最大值和最小值.17. (2013陕西，理17)(本小题满分12分)设a是公比为q的等比数列.n(1) 推导a的前n项和公式；n2013陕西理科数学第5页

7、18. (2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图,中心，A0丄平面ABCD,AB=AA=.(1) 证明：AC丄平面BBDD；1111(2) 求平面0CB与平面BB1D1D的夹角0的大小.19（2013陕西，理19）（本小题满分12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X表示3号歌手得到观众甲、

8、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.20. (2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1) 求动圆圆心的轨迹C的方程；(2) 已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是ZPBQ的角平分线，证明直线l过定点.21. (2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=exxWR.若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值;(2)设x0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m0)公共点的个数;设aVb,比较牛凹与芈匕凹2b-a的大小，并说明理由.2013陕西理科数

9、学第11页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（理科）（陕西卷）第一部分（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1.答案：D解析：要使函数f（x）=、：ix2有意义，贝yix2o,解得一iwxwi,贝ym=i,i,m=（b,R1）u（1,+b）.答案:解析:由算法语句可知y二2.0.5x,x50,所以当x=60时，y=25+0.6X(6050)=25+6=31.3.答案：C解析：若a与b中有一个为零向量，则“|ab|=|a|b|”是“ab”的充分必要条件；若a与b都不为零向量，设a与b的夹角为。，则ab=|a|b

10、|cos。，由|ab|=|a|b|得|cos。|=1,则两向量的夹角为0或n,所以ab.若8贝9a与b同向或反向，故两向量的夹角为0或n,贝y|cos。|=1,所以|ab|=|a|b|,故“|ab|=|a|b|”是“ab的充分必要条件.4.答案：B解析：840三42=20，把1,2,，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为1,则第k段抽取的号码为1ll1+（k1）20,1W1W20,1WkW42.令481W1+（k1）20W720,得25+莎WkW37刃.由1W1W20,则25WkW36满足条件的k共有12个.5.答案：An解析：S矩形abcd=1X2=2，S扇形ADE=S扇形cbf=4由

11、几何概型可知该地点无信号的概率为SSS221兀P=矩形ABCD扇形ADE扇形CBF=1S24.矩形ABCD6.答案：D_解析：对于选项A,若|zz|=0,贝yz=z，故Z=z，正确；对于选项B,若z=z，则z=z=Z,121_21212122正确；对于选项C,zz=|z|2,zz=|z|2,若|z|=|zI，则z-z=z-z，正确；对于选项D,111222121122如令z=i+1,z=1i,满足|z|=|z|,而Z2=2i,z2=2i，故不正确.1212127.答案：B解析：*.*bcosC+ccosB=asinA,由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,.：sin(B+

12、C)=sin2A,n即sinA=sin2A.又sinA0,.sinA=1,.：A=，故ABC为直角三角形.厶8.答案：A-解析：当x0时，f(x)=7x1,解析：由y=|x1|=及y=2画出可行域如图阴影部x+1,x/3sinx,cos2x)k2丿1cosxsinxcos2x2运.1sin2xcos2x22=cos-sin2xsinncos2x666丿=sin2 n2n(1)f(x)的最小正周期为T=兀o2即函数f(x)的最小正周期为n.n(2)TOWxW-,厶ncn5n2x.由正弦函数的性质,666nnn当2x=，即x=时，f(x)取得最大值1.623cnn1当2x=，即x=0时，f(0)=

13、,662宀n5n当2X6=6n，即X=2时2013陕西理科数学第17页因此，f(x)在0,2上最大值是1,最小值是-2.17解：设an的前n项和为Sn，当q=1时，S=a+a+a=na；n1111当qH1时，S=a+aq+aq2亠+aqn-i,n1111qS=aq+aq2aqn，n11一得，(1q)S1=aaqn,S1na,q=1,i=*/AC=(1,0,1),BD=(0,2,0),BB=(1,0,1),1”,ACBD=0,ACBB11.AC丄BD,AC丄BB,111AC丄平面BBDD.证法二：TA卩丄平面ABCD,又TABCD是正方形，BD丄AC,.BD丄平面AOC,BD丄AC.又*/0A1

14、是AC的中垂线，一1丄AC.又Bbaa,.acbb,11111_11(2)解设平面OCB的法向量n=(x,y,z),TOC=(1,0,0),OB=(1,1,1),11=A0丄BD.1.AA=AC=p2，且AC=2,.AC2=AA2+AC2,.AAAC是直角三角形,Z.AC丄平面BBDD.n-OC=x=0,.0.8-2bk由求根公式得，X+x2=，12k2b2xx=12因为x轴是ZPBQ的角平分线,y所以xti二yZx+112即y(x+1)+y(x+1)=0,1221(kx+b)(x+1)+(kx+b)(x+1)=0,12212kxx+(b+k)(x+x)+2b=0,1212将，代入得2kb2+

15、(k+b)(82bk)+2k2b=0,.*.k=b,此时A0,直线l的方程为y=k(x1),即直线l过定点(1,0).21解：(1)f(x)的反函数为g(x)=lnx.设直线y=kx+1与g(x)=lnx的图像在P(x0，y0)处相切,100则有y=kx+1=lnx,k=g(x)=0000xx01解得x=e2,k=-；.0e2曲线y=ex与y=mx2的公共点个数等于曲线y二芯与y=m的公共点个数.令(x)=，则0(x)=(x刁,x2x3(2)=0.当xe(0,2)时，z(x)0,(x)在(2,+)上单调递增,(x)在(0,+0上的最小值为申=午.4当0m4时，在区间(0,2)内存在xi：一使得

16、(X)m,在(2,+)内存在X2=me2,使得(xjm.由(x)的单调性知，曲线y二与y=m在(0,+)上恰有两个公共点.x2综上所述,当x0时,若0m专，曲线y=f(xTy=mx2有两个公共点.(3)解法可以证明f(a)+f(b)f(b)-f(a)b-a事实上,f(a)+f(b)f(b)-f(a)b-aea+ebeb-eaoo2b-ab-aeb-eab-a_2eab-a_2(*)O1-O1-(ba).2eb+ea2eb+ea2eb-a+1x2令屮(x)=+-1(x0),2ex+1则屮)=*-2ex(ex+1)2(ex+1)24ex(ex一1)22(ex+1)22(ex+1)20（仅当x=0时

17、等号成立）,.巾（x）在0,+-）上单调递增，.x0时,巾（x）巾（0）=0.令x=b-a,即得（*）式，结论得证.解法二：f(a)+f(b)一f(b)-f(a)=eb+ea2b-a2eb-eab-abeb+bea-aeb-aea-2eb+2ea2(b-a)ea=(ba)eb-a+(ba)2eb-a+2,2(b-a)设函数u(x)=xex+x2ex+2(x0),则u(x)=ex+xex+12ex,令h(x)=U(x)，贝yh(x)=ex+ex+xex2ex=xex三0(仅当x=0时等号成立),.u(x)单调递增，.当x0时，U(x)U(0)=0,.u(x)单调递增.当x0时，u(x)u(0)=0.令x=ba,则得(ba)eb_a+(ba)2eba+20,eb+eaeb-ea-0,2b-a因此，f(a)+f(b)f(b)-f().2b-a