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1、近 世 代 数(Abstract Algebra),主讲教师 ： 蔡 炳 苓,（河北师范大学数学与信息科学学院),第3节 整环, 除环和域,河北师范大学,第三章 环与域,定义 一个交换的,有单位元,且,的无零因子环,称为整环.,例 1 整数环, 高斯整环都是整环,而偶数环为无零因子的交换环。,定义：设,是有单位元的环,且,如果,中每个非零元都可逆,则称,为除环.,交换的除环称为域.,例2,都是域.,例3,为域.,是有单位元的交换环.,的每个非零元都可逆.,证明,证明 可证,下证,例4 模m的剩余类环,零元为0,单位元为1.而且有结论,为域,为素数.,为此先考虑以下性质即可：,性质1 设,则,为
2、,的零因子,(1),(2),为,的可逆元,证：(1)若,为,的零因子,则存在,使得,故,.若,则,所以,矛盾.于是,.,反之,如果,设,则,所以,但,于是,是零因子.,(2)若,为,的可逆元,则,即,于是,使得,也就是,所以,反之, 如果,则,因此,故,可逆.,剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.,性质2,为无零因子环,为素数.,为素数，若,则,，,或者,，即,若,不是素数，则,证：设,为无零因子环.,为有零因子环.,例 5,解 (1),(2),直接计算可知,相应的逆元为,全部零因子:,全部可逆元:,域的除法,设,为域, 则对任意的,有,，记作,由此可定义域,的除法: 设,规定,称,为以,除
3、,的商.,且有下列运算法则:,说明：（1）整环，除环和域都是无零因子的环;,(2)R中至少2个元，则 环R为除环当且仅当R中全体非零元集合 R*关于乘法做成群； 环R为域当且仅当(R,+)和(R*,.)都是交换群.,（3）除环中,例5,第4节 无零因子环的特征,我们知道，任意数环中，任意两个非零数之积还是非零数，而且对有,在模n的剩余类环中，,而且满足条件的最小正整数n是存在的.,不难发现，以上性质和环中元的加法阶有关.,定理1：,无零因子环中任意非零元对加法的阶相同.,证明：若都无限，阶相同.,定义：对于加法来说，一个无零因子环R的非零元的相同的（加法）阶叫做环R的特征。,记作charR。,注：若无零因子环R的特征是n，则R的所有非零元的n倍为零元。,定理2：,无零因子环的特征或者无限，或者为素数.,证明：（反证法）设有限且为合数,与无零因子环矛盾，故假设不成立.,推论： 整环，除环和域的特征或为无限大或,为素数p.,性质：在特征为p的交换环R里，有,
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