整理空间角的计算

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1、空间角的计算（教案）一、一、教材分析1、1、 地位和作用空间角的计算是对空间线与线，线与面，面与面位置关系的一种定量研 究，它与空间距离的计算相结合，对上述诸几何对象间的位置关系作出准确 的刻划。空间角的计算问题联系广，涉及面宽，便于综合考察学生分析问题、 解决问题的能力，是高考每年必考的内容。通过这部分内容的学习，可以培 养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和快速、准确的运算能力，强化转化 与化归、分类讨论等数学思想方法的应用意识，养成用运动、变化、联系的 观点看问题的习惯，培养辩证唯物主义世界观。2、2、 教学内容空间角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。本节课 的内容就是复习

2、这三种角的求法和用法。3、3、 教学目的通过教学，使学生（1）了解空间特殊角的特殊求法。（2）会用“平移法”求异面直线所成的角。（3）掌握直线与平面所成角的求法。（4）掌握用三垂线定理或其逆定理作二面角平面角的方法，理解通过作 与二面角的棱垂直的平面或作与二面角的两个面垂直的平面得到二面角平 面角的方法，了解用“投影法”求二面角的方法。会求二面角的平面角。（5）深刻领会转化与化归的数学思想方法，增强用分类讨论思想研究问 题、解决问题的意识。（6）提高空间想象能力、逻辑推理能力和快速、准确的运算能力，能进 行正确的书面表达。（7）受到辩证唯物主义思想教育、数学应用意识教育和数学审美教育， 提高学

3、习数学的积极性。4、4、 教学重点、难点、关键本节课的重点是一般情形下三种角的求法。在二面角的求法中，用三垂 线定理或其逆定理作二面角的平面角是重点；难点是三种角的作法，对非常 规位置图形的观察和识别，“无棱二面角”的求法；在作角过程中，关键要 把握住有利于发挥已知条件的作用，便于已知与未知的沟通等原则，寻找到 最合适的作图位置。二、二、教法分析这是一节复习课，采用“知识梳理”一“范例分析” 一 “归纳总结” 一 “巩 固训练”的程式进行教学。“知识梳理”用框图形式给出，让知识结构一目了然；“范例分析”重在分 析，同时指出书面表达中应注意的一些问题，分析过程中尽量调动学生参与；“归纳小结”将本

4、节课的主要内容用几句简炼的语言总结出来，便于学生领会、记忆;“巩固训练”是为了巩固本节教学效果给学生留的一组训练题，在“巩固训练” 里继续给学生提出一些问题的思考方向（见第1题），每个题都经过认真挑选， 各自代表了一个方面的典型问题，希望不仅能巩固效果，而且能够扩大效果。为 了节约时间，对知识梳理的框图和每个例题的图形课前准备了灯片。三、三、学法指导教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的。因此，在学法上 对学生进行指导是教学中必须重视的问题。本节课是复习课，除了给学生复习指 定的具体内容外，还应该让学生学到正确复习的方法。课前的“梳理”，可以让 学生学会整理，使知识条理化；课后的“

5、小结”，让学生学会总结、提炼，形成 方法论。四、四、教学程序1、引入课题开门见山，给出讲座的题目“空间角的计算”，指出这一内容在中学数学和 高考中的地位和作用，说明本次讲座的基本安排。2、知识梳理出示知识结构框图，并作简要讲解：特殊情形（垂直） 一异面直线所成的角一-一般情形（平移）厂线在面内或线面平行 持殊情形一空间角的求法线面角一垂直般情形（斜足、垂足，射黔 成角）二面角特寐情形（垂直）一般情形-直接法（作出平面角）-定义法-三垂线定理法-线面垂直法 一面面垂直注间接方法（投影法）3、范例分析例 1、四面体 ABCS 中，SA、SB、SC 两两垂直，NSBA=45o，NSBC=6O。求:（

6、1）（1）BC与面SAB所成的角；（2）（2）SC与面ABC所成角的正弦值。分析：（1） 6Oo。略（2）为找到SC在面ABC内的射影，应过点S作面ABC的垂线，为此， 应先找到过点S且与面ABC垂直的平面。取AB中点M，连SM、CM,则可得 出面SCM面ABC。作SHXCM于H，则SH面ABC。从而ZSCH是SC与面ABC 所成的角。但在 SCH中求ZSCH有困难，换在 SCM中求较容易。设AB=2,77即可求得SM=1，CM=。故smZSCM=，这即为SC与面ABC所成角的正弦值。评注：（1）作（或找）线面角的关键是作（或找）出斜线在平面内的射影;（2）要适应对非常规位置的图形的观察和识别

7、。A例2、已知两条异面直线段的长度分别是a、b，所成的角为。，距离为h。1八求证：以此二异面直线段为对棱的四面体的体积为-abhsin9。ABA与CD所成角为。的条件，可在面BCD内过点B作CD的平行线，在此基础上， 为使所作的平行线促成体积的转化，再过点C作BD的平行线，两线交于点E，则有V = V。问题转化为求V。由于BECD，故ZABE =9（或兀-9），ABCDABCEABCE分析：如图（一），已知AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为。，距离为h，ABCD求V 。难点在于所给条件对求体积无法用上，因此必须考虑转化。为用出AB且CD面ABE，从而CD到面ABE的距离是h，进而点C到面

8、ABE的距离是h。于 是ABCDABCECABE 326V = V= V= ( ab sin9 ) - h = abhsin9。评注：1、等价转化是一种重要的数学思想方法，在本题中得到了深刻体现;2、本题结论通过变形，可以用来解决一些求异面直线所成角的问题 和求异面直线距离的问题。例3、点M为正方体ABCD-A1B1C1D】的棱AA】的中点。求截面DMB】与底面ABCD 所成的二面角。111111分析：这是一个“无棱二面角”的计算问题，我们给出三种解法：法（一）作出棱，分析棱的特征，得出平面角（如图二）设面DMB1与RC交于点N，则四边形DMBN是平行四边形，从而点N为RC的 中点， 于是 m

9、NaC，从而AC面DMB。设二面角的棱为EF，则ACEF。又BDjLaC， 所以BDXEF。但BD是BD】在面ABCD1内的射影，于是DBEF，故/BB是所求二面角的平面角，易求得/BDB二arccos重，这即为所求二面角的大小。13法（二）用面面垂直法，不必作出二面角的棱而得出平面角（如图三）图（一、由 AC面 BB D D,知面 ABCDW BB D D,又 MNAC，所以 MN面 BB D D, 从而面DMB上面Bbd D,因此，/B DB是所求二面角的平面角。以下同法（一）。法（三）用投影法，不必作平面角在图（一）中，连BD,则 DMB在面ABCD内的射影是 DAB，从而可立 即得出结

10、果。1评注：（1）对“无棱二面角”的计算，本题的三种解法很有代表性，应 注意总结；（2）平常注意一题多解的总结，可培养学生多角度观察问题、思 考问题的习惯；考场上注意一题多解，可择其善者而用之。4、归纳小结本节所讲内容，简要归纳如下：线线角，用平移，妙选顶点。线面角，作射影，二足相连。二面角，求法多，择优选用， 平面角，三垂线，抓住重点。熟划归，三角形，算准结果，作、论、求，三环节，环环相连。5、巩固训练（1）如果异面直线a与b所成角为500，点P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是300的直线有且仅有()A、1条 B、2条 C、3条 D、4条思考：若将本题中a与b所成的角改为600，

11、结论又是什么？改为700 呢？(2)如图在三棱锥 P-ABC中，AB=AC， PB=PC，E、F分别是棱PC、AB上的点，且 PE : EC=AF : FB =3：2。i) 求证：PA1BC；ii) 设EF与PA、BC所成的角分别为a、P， 求证：a + p =9Oo。(3)BC=BB=1，切值。1在长方体 ABCD-ABCD中，AB=2，E为D1C1的中点，求上商角E-BD-C的正(4)是长方体ABCD-A BCD的上底面ABCD内任意一点，若AP与交于点11111111A的三条棱所成的角分别为a、p、y，则cos2a + cos2 P + cos2y =；若AP 与交于点 A 的三个面所成

12、的角分别为 a、p、y，贝，cos2 a + cos2 p + cos2 y =。(5) 在直角坐标系中，A (3, 2)，B (-3, -2)，沿y轴把坐标平面折成平 面角为a的二面角A - oy - B后，使ZAOB = 900，求cos a。(6) 在长方体 ABCD-A BCD 中，AD=0.5cm，AB=1cm，AA户2cm，求异面. 11111直线A1C1与BD1所成的角。(7) 在左ABC中，ADXBC于D，E是线段AD上一点，且AE：ED=1：2。 过点E作MNBC，MN交AB于M，交AC于N。以MN为棱将 AMN折起，得二面 角AMN-D，设此二面角的大小为a，连A，B，A，D，A，求 A，MN与 A，BC 所成二面角的余弦值(用a表示)。