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1、东北师范大学附属中学网校（版权所有 不得复制）期数： 0511 SXG3 031学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松审稿老师：杨志勇 同步教学信息预 习 篇预习篇二十四 高三文科数学总复习十九 数列的求和【学法引导】等差数列和等比数列是数列的两个重要的基本模型，是高考中的最大热点之一，利用等差数列和等比数列求数列的和，也是高考的热点，应掌握一些基本方法.【基础知识概要】求数列的前n项和的常见的几种方法：（1）公式法：对等差数列或等比数列；（2）分解法：Cn=an+bn其中an是等差数列，bn是等比数列；（3）倒序相加法：同等差数列前n项和公式的推导；（4）错位相减法：数列anbn,其中
2、an是等差数列，bn是等比数列；（5）拆项相消法：形如，其中an是等差数列.【应用举例】例1 求下列数列的前n项和Sn：(1)；(2)1,11,111,1111, 解：（1）通项公式为an=(2n-1)+()n,所以 Sn=1+3+5+(2n-1)+() =（2）通项公式为 an=,所以 Sn= =评析：以上两小题从数列的通项来看既不是等比数列也不是等差数列，但它们都有一个特点：都可以写成两个或几个前n项和的数列（比如等差数列和等比数列）相加减的形式，这样就可以把原数列的前n项和写成几个数列（已知其Sn）的前n项的和，我们把这种求数列前n项和的方法称为“分解求和法”.例2 求和：1+a+a2+
3、a3+an.分析：本题初看上去是一个等比数列求前n项和的题，其实由于通项公式是由字母表示的，应对字母的取值分类讨论.解：令an=an-1，当a=0时，a1=1, an+1=0, 此时1+a+a2+a3+an=1;当a=1时，an=1, 此时1+a+a2+a3+an=n+1;当a0，且a1时，数列an为公比不为1的等比数列，此时1+a+a2+a3+an=所以， 1 (a=0)1+a+a2+a3+an= n+1 (a=1) (a0,且a1)例3 求和：Sn= x+2x2+3x3+nxn.解：当x=0时，数列不是等比数列，Sn=0.Sn= x+2x2+3x3+nxn xSn= x2+2x3+(n-1
4、)xn+nxn+1 -得：(1-x)Sn=Sn-xSn= x+(x2+xn)-nxn+1.当x1时，(1-x)Sn=所以 Sn=当x=1时，Sn=1+2+n=. 0 (x=0)Sn= (x=1) (x0,且x1)评析：（1）若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，则可采用上述的方法，我们把这种方法叫做错位相减法.（2）如等比数列公比为字母，要对字母分q=1和q1两种情况讨论，有时甚至讨论数列是否为等比数列，比如此题x=0时，不是等比数列.例4 求下列数列的前n项和Sn:(1)(2)解：(1)an= 所以Sn= = =(2)an= Sn= = =评析：（1）以上两题的解法有一个特点：
5、将数列的每一项“一分为二”，即每一项拆成两项之差，以达到消项的目的. 我们不妨称这种方法为“拆项相消法”.（2）在使用时应注意以下两点： 拆项时应注意是否为恒等变形，防止漏去系数； 消项时应注意观察消项的规律，像（1）中是前后两项相消，而（2）中相消时前两个括号中留下两个正项，而最后两个括号中留下两个负项.【强化训练】一、选择题1等比数列an的前n项和Sn=2n-1，则等于（ ）A(2n-1)2 B(2n-1)2C4n-1 D(4n-1)2公差为-2的等差数列an中，若a1+a4+a7+a97=50, 则a3+a6+a9+a99的值为（ ）A-182 B-78 C-148 D-823设Sn=1
6、-2+3-4+(-1)n-1n, 则S4m+S2m+1+S2m+3(m)的值为（ ）A0 B3 C4 D随m的变化而变化4已知数列an的前n项和Sn = n2, 则式子的值为（ ）A BC D5数列1的前n项和为（ ）A2- BC D二、填空题6设an是首项为2，公差为3的等差数列，则=_71+_8数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+2n-1，的前n项和Sn=_9已知an=3n-1，则a1+a4+a7+a3n-2=_三、解答题10求和Sn=12+22+32+n2.11求通项公式为的数列的前n项和.12求和参考答案一、1D 2D 3B 4A 5C 二、6 7 82n+1-n-2 9 三、10解：13-03=312-31+1 23-13=322-32+1 33-23=333-33+1 n3-(n-1)3=3n2-3n+1以上几个式子相加得n3=3Sn-3， Sn=.11解： = =12解：当时，；当时，将两边同时乘以得 ， 两式相减得， 即，故.
高三文科数学031
