工程力学基础

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1、1.1 物体的受力分析及其平衡条件第第1章章 工程力学基础工程力学基础1.6 应力分析和组合变形的强度计算应力分析和组合变形的强度计算2n为解决构件的强度问题，我们已经分别研究了杆件在为解决构件的强度问题，我们已经分别研究了杆件在发生四种基本变形时，其横截面上的应力情况，并根发生四种基本变形时，其横截面上的应力情况，并根据以实验为基础的许用应力，建立了相应的强度条件。据以实验为基础的许用应力，建立了相应的强度条件。这些强度条件无外乎以下两种形式：这些强度条件无外乎以下两种形式：n但是，对于但是，对于同时受到正应力与剪应力作用同时受到正应力与剪应力作用的截面，无的截面，无法用上述强度表达式描述构

2、件的强度条件。法用上述强度表达式描述构件的强度条件。n此外，上述强度条件表达式并不能完全解释此外，上述强度条件表达式并不能完全解释材料破坏材料破坏的根本原因的根本原因。1.6.1 问题的提出问题的提出max max 31.6.1 问题的提出问题的提出n同样的直杆拉伸，低碳钢与铸铁试件的断口不一样；同样的直杆拉伸，低碳钢与铸铁试件的断口不一样；同样的圆轴扭转，低碳钢与铸铁试件的断口也不一样。同样的圆轴扭转，低碳钢与铸铁试件的断口也不一样。铸铁受扭断口铸铁受扭断口低碳钢受扭断口低碳钢受扭断口41.6.1 问题的提出问题的提出n对于对于受两种或两种以上基本变形的复杂受力构件受两种或两种以上基本变形的

3、复杂受力构件的强的强度分析，需要通过全面分析受力构件内度分析，需要通过全面分析受力构件内一点处任意截一点处任意截面上的应力变化面上的应力变化，结合材料破坏的根本原因，才能建，结合材料破坏的根本原因，才能建立适合各种复杂应力状态受力构件的强度条件。立适合各种复杂应力状态受力构件的强度条件。mPPm 51.6.2 应力状态的概念和分类应力状态的概念和分类1.一点的应力状态一点的应力状态n通过受力构件上任一点的所有各个不同截通过受力构件上任一点的所有各个不同截面上应力的集合称为该点的面上应力的集合称为该点的应力状态应力状态。n研究一点的应力状态通常围绕该点取一个研究一点的应力状态通常围绕该点取一个微

4、小正六面体，称为微小正六面体，称为单元体单元体。n应尽可能选取各应力已知或可以求得的截应尽可能选取各应力已知或可以求得的截面作为其侧面。一般来说，三对平行平面面作为其侧面。一般来说，三对平行平面的应力是可以计算出来的，或是给定的；的应力是可以计算出来的，或是给定的；通常我们截取的一对平行平面是通常我们截取的一对平行平面是两个横截两个横截面面。n当一个材料单元体的三个坐标平面上的应当一个材料单元体的三个坐标平面上的应力为已知时，通常可用截面法求出任意方力为已知时，通常可用截面法求出任意方向面上的应力。因而，向面上的应力。因而，当单元体三个坐标当单元体三个坐标平面的应力已确定时，就称该单元体的应平

5、面的应力已确定时，就称该单元体的应力状态已确定。力状态已确定。x面、面、y面、面、z面面61.6.2 应力状态的概念和分类应力状态的概念和分类PPmmABCDE PABCDE71.6.2 应力状态的概念和分类应力状态的概念和分类2.主应力与主平面主应力与主平面n单元体中剪应力为零的平面称为单元体中剪应力为零的平面称为主平面主平面；主平面上的；主平面上的正应力称为正应力称为主应力主应力。n可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。由主平面组成的单元体称为互相垂直的主平面。由主平面组成的单元体称为主应主应力单元体力单元体。n三个主

6、应力用三个主应力用 1、2、3表示，按表示，按代数值大小代数值大小顺序排顺序排列，即列，即 1 2 3。81.6.2 应力状态的概念和分类应力状态的概念和分类3.应力状态的分类应力状态的分类n单向应力状态：主应力单元体上只有一对主应力不等于零。单向应力状态：主应力单元体上只有一对主应力不等于零。n二向应力状态：主应力单元体上有两对主应力不等于零。二向应力状态：主应力单元体上有两对主应力不等于零。n三向应力状态：主应力单元体上有三对主应力都不等于零。三向应力状态：主应力单元体上有三对主应力都不等于零。1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 3 39xyxyyxxxyyyyxxyx1.6.3 平面

7、应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析10：拉应力为正；：拉应力为正；：顺时针转向为正；：顺时针转向为正；：逆时针转向为正。：逆时针转向为正。yyyxxxxyyxnxxyy1.6.3 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析n求斜截面上的应力求斜截面上的应力111.6.3 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析yxxyyyxxxytyyxxxyndAdAdAdAdAFdAdAdAdAdAF0cossinsinsin sincoscoscos0sinsincossin coscossincosxAA sinyyxxyAcosnt121.6.3 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力

8、分析2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx22cos22sinxyyxdd131.6.3 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析n 0和和 0+90o 确定了两个相互垂直的平面，其中一个是最大正应力确定了两个相互垂直的平面，其中一个是最大正应力所在平面，另一个是最小正应力所在平面所在平面，另一个是最小正应力所在平面n 0+45o和和 0-45o 确定了两个相互垂直的平面，其中一个是最大剪确定了两个相互垂直的平面，其中一个是最大剪应力所在平面，另一个是最小剪应力所在平面应力所在平面，另一个是最小剪应力所在平面02sin22cos02cos22sin110010 xyyx

9、xyyxdddd902tan2cot22tan1802tan22tan00100 xyyxyxxy141.6.3 平面应力状态的应力分析平面应力状态的应力分析max22min()22xyxyxymax22maxminmin()22xyxy 15n沿沿 1方向的方向的纵向线应变纵向线应变n垂直沿垂直沿 1方向的方向的横向线应变横向线应变E E1.6.4 广义胡克定律广义胡克定律 1 116n沿沿 1方向的线应变方向的线应变n 1引起的引起的n 2引起的引起的n 3引起的引起的n当三个主应力同时作用时，沿当三个主应力同时作用时，沿 1方向的线应变应为各主应力方向的线应变应为各主应力单独发生时的线应

10、变量的叠加单独发生时的线应变量的叠加12 E13 E11231E（）11E1.6.4 广义胡克定律广义胡克定律 1 1 2 2 3 317112322313312111EEE（）（）（）1.6.4 广义胡克定律广义胡克定律n广义胡克定律广义胡克定律181.6.5 常用的几种强度理论及其应用常用的几种强度理论及其应用n材料破坏的基本形式有两种：脆性断裂和塑形屈服。材料破坏的基本形式有两种：脆性断裂和塑形屈服。n相应地，强度理论也可分为两类：相应地，强度理论也可分为两类：n关于脆性断裂的强度理论关于脆性断裂的强度理论n关于塑性屈服的强度理论关于塑性屈服的强度理论19关于脆性断裂的强度理论关于脆性断

11、裂的强度理论n最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）n无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的主应力无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的主应力 1达达到单向拉伸断裂时的极限应力到单向拉伸断裂时的极限应力 o，材料即破坏。，材料即破坏。n最大拉应变理论（第二强度理论）最大拉应变理论（第二强度理论）n无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点的最大伸长线无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点的最大伸长线应变应变 1达到单向拉伸断裂时应变的极限值达到单向拉伸断裂时应变的极限值 o，材料即破坏。，材料即破坏。1 1.6.5 常用的几种强度理论及其应用常用的几种强度理论及其

12、应用 123()20关于塑性屈服的强度理论关于塑性屈服的强度理论n最大剪应力理论（第三强度理论）最大剪应力理论（第三强度理论）n无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的最大剪应力无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的最大剪应力 max达到单向拉伸屈服剪应力达到单向拉伸屈服剪应力 o时，材料就在该处出现明显塑时，材料就在该处出现明显塑性变形或屈服。性变形或屈服。n形状改变比能理论（第四强度理论）形状改变比能理论（第四强度理论）n复杂应力状态下材料的形状改变比能达到单向拉伸时使材料复杂应力状态下材料的形状改变比能达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料即会发生屈服。屈服的形状改变比能时

13、，材料即会发生屈服。1.6.5 常用的几种强度理论及其应用常用的几种强度理论及其应用13 12122232312()()()211.6.5 常用的几种强度理论及其应用常用的几种强度理论及其应用n四个强度理论的强度条件可写成统一形式：四个强度理论的强度条件可写成统一形式：r rrrr112123313412223231212()()()()r：相当应力：相当应力221.6.5 常用的几种强度理论及其应用常用的几种强度理论及其应用几种强度理论的比较几种强度理论的比较n第一强度理论与许多脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在第一强度理论与许多脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏

14、发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。n许多脆性材料在轴向压缩试验时，试件将沿垂直于压力的方向发许多脆性材料在轴向压缩试验时，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。论的结果相近。n第三强度理论曾被许多塑性材料

15、的试验结果所证实，且稍偏于安第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力 2的影响，其带来的的影响，其带来的最大误差不超过最大误差不超过15，而在大多数情况下远比此为小。，而在大多数情况下远比此为小。n第四强度理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断第四强度理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的。碳素钢的屈服失效是相当准确的。231.6.5 常用的几种

16、强度理论及其应用常用的几种强度理论及其应用强度理论选用的一般依据强度理论选用的一般依据n一般说来，在一般说来，在常温和静载常温和静载的条件下，的条件下，脆性材料多发生脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性材脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。n影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低温能提影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动载荷作用下高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。脆性提高，在

17、低速静载荷作用下保持塑性。n在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；坏，所以应采用最大拉应力理论；n在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。形，所以应该采用第三或第四强度理论。241.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算n外力作用下，构件同时产生外力作用下，构件同时产生两种以上的基本变形两种以上的基本变形，称，称为为组合变形组合变形。n室外直立的高塔，由于自重作用将产生轴向压缩变形，而在室外直立的高塔，由于自重作用将产

18、生轴向压缩变形，而在风载荷作用下将引起弯曲变形。风载荷作用下将引起弯曲变形。n钻床工作时立柱部分受到拉伸与弯曲变形；钻床工作时立柱部分受到拉伸与弯曲变形；n厂房立柱也受到了压缩与弯曲变形。厂房立柱也受到了压缩与弯曲变形。qAGh25 1.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算n计算组合变形构件截面上的应力时，只要材料服从胡计算组合变形构件截面上的应力时，只要材料服从胡克定律和小变形条件，可认为每一种基本变形各自独克定律和小变形条件，可认为每一种基本变形各自独立互不影响，因此可采用立互不影响，因此可采用叠加原理叠加原理。即。即将构件上的载将构件上的载荷分解为引起基本变形的相当载荷，分别计算

19、在各个荷分解为引起基本变形的相当载荷，分别计算在各个基本变形下所产生的应力，然后进行代数相加基本变形下所产生的应力，然后进行代数相加，就得，就得到原载荷在构件该截面上的应力。由此，确定构件危到原载荷在构件该截面上的应力。由此，确定构件危险点的应力，并进行强度计算。险点的应力，并进行强度计算。261.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算1.拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲的组合变形与弯曲的组合变形n如下图所示，长为如下图所示，长为L的矩形截面悬臂梁，轴线的矩形截面悬臂梁，轴线AB在纵在纵向对称平面内，过向对称平面内，过A点在纵向平面内作用有集中力点在纵向平面内作用有集中力P，与梁轴线成与梁轴线

20、成角。试校核梁的强度。角。试校核梁的强度。P外力分析外力分析内力分析内力分析应力分析应力分析强度分析强度分析271.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算n外力分析外力分析 nPx使梁产生轴向拉伸，使梁产生轴向拉伸，Py使梁产生平面弯曲。使梁产生平面弯曲。n在力在力P作用下，梁的变形是弯曲与拉伸的组合变形。作用下，梁的变形是弯曲与拉伸的组合变形。cosxPPsinyPP PPxPy281.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算n内力分析内力分析 n梁的轴力图如图梁的轴力图如图 Nmax=Pcosn梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图 Mmax=PLsinn梁的梁的固定端是危险截面固定端是危

21、险截面 PPxPyNPcos MPLcos 291.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算n应力分析应力分析n在分力在分力Px单独作用下，梁上各横截单独作用下，梁上各横截面的拉应力为：面的拉应力为：n在分力在分力Py单独作用下，梁固定端截单独作用下，梁固定端截面上的最大弯曲正应力为：面上的最大弯曲正应力为：AaPANcoszzWaPlWMsinmax 301.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算n将危险截面上的弯曲正应力与拉伸正应力按代数值叠加，可将危险截面上的弯曲正应力与拉伸正应力按代数值叠加，可得得截面上、下边缘各点的总应力截面上、下边缘各点的总应力：n叠加后，正应力沿截面高

22、度按直线规律分布的情况：叠加后，正应力沿截面高度按直线规律分布的情况：若若 min0,如左图所示；若如左图所示；若 min 0,则如右图所示。则如右图所示。zWMANmaxmax zWMANmaxmin max min max min+=or31n强度分析强度分析n对塑性材料，可建立强度条件为对塑性材料，可建立强度条件为n对脆性材料，若对脆性材料，若 min0，应分别建立如下强度条件，即，应分别建立如下强度条件，即maxmaxzWMANmaxmaxmaxmin2|tzcMNAWMNAW1.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算321.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算n【例题【

23、例题1】一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力，试求圆杆的最大拉应力 t和最大压应力和最大压应力 c。331.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算 （1）支座的约束反力）支座的约束反力（2）任意横截面）任意横截面x处的内力处的内力（3）危险截面上的正应力）危险截面上的正应力 NANBNAyNAxxy kN4kN3AyAxNNmkN 4)(kN 4kN 3xxNxMNQNNAyAyAx危险截面危险截面MPa 9.811.81321084103 3323tddWMANZcmkN 82)2(AyNMZWMNAZWM【解

24、【解】341.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算n偏心拉伸或压缩偏心拉伸或压缩力的平移力的平移35NAPcd 62cdPaWMyy62dcPbWMzz1.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算 压缩压缩 弯矩弯矩Pa 弯矩弯矩Pb6622dcPcdPdcPWMWMANbazzyyct361.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算2.扭转与弯曲的组合变形扭转与弯曲的组合变形A截面为危险截面截面为危险截面PlMPaT37k1k2PZWTWM132222201.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算16 ,3233dWdWPZmax22min()22xyxyxy38r313224224PZWTWMZWTM22r412223231212()()()223ZWTM2275.01.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算393275.03224223dWWTMWTMZZrZr 1.6.6 组合变形的强度计算组合变形的强度计算n圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力