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1、第三节 平面与直线,一、点的轨迹方程及概念 二、平面 三、直线 四、平面直线间的夹角 五、点到平面的距离,一、点的轨迹方程的概念,如果曲面,上所有的点都满足方程,，且不在曲面,上的任何点都不满足方程 .,则称方程,为曲面,的方程，而称,为,的图象。,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,二、平面1.平面的点法式方程,平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,例1 求过点（1,-2,0）且与向量a=（-1,3,-
2、2）垂 直的平面方程.,解 根据平面得法向量的概念，向量a=（-1,3,-2） 是所求平面的一个法向量，所以由式（3）得所求平 面的方程为,即,例2 求过三点,的平面方程,解 由于点,在平面上，故向量,均在平面上，根据向量积的概念及立体几何的知识，向 量积 与向量 及 都垂直，且与所 求的平面也垂直，因此它是平面的一个法向量，而,于是平面的法向量为,所以，所求的平面方程为,即,2.平面的一般方程 平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 B=0,C=0 的情形.,例3 求过x轴和点,的平面方程.
3、,解 方法一 因为平面过x轴，故原点0在平面上，,于是可设平面的方程为,又因为点,在平面，于是有,解得,将,代入方程,而,因此所求的平面方程为,向量,方法二 因为平面过x轴，故原点0在平面上，,在平面上，又x轴的,单位向量,与平面平行，于是向量积,与平面垂直，即它是平面的一个法向量。而,根据点法式向量方程，得所求平面方程为,例4,解,返回,三.直线,1.直线的一般方程,注意,反过来，,2.空间直线的对称式方程和参数方程,方向向量：,设,几点说明：,例5 求过点,的直线方程。,解 向量,是所求直线的一个方向,向量，因此所求直线方程为,即,例6 把直线 的一般方程,化为点向式方程和参数方程.,解
4、方法一 先在直线,上找一点,取,代入直线,的一般方程中，得,解方程组，求得,则点,在直线,上.,因为直线 是两个平面的交线，故直线 与两 个平面的法向量 都垂直，,即与向量积 平行，从而向量 是直线,的一个方向向量。而,参数方程为,所以，直线 的点向式方程为,方法二 从所给方程组分别消去 和 ，得,上式可变形得,并由此可写出参数方程。,四.平面、直线间的夹角,定义：,例7,解,两直线的位置关系,夹角：,注意,结论：,直线与平面的位置关系,定义：,结论：,设,特别地,例8 求直线,在平面,解 过直线,上的投影直线方程.,作平面,与平面,垂直.显然直线,的方向向量,及平面,的法向量,都与平面,平行，故向量,与平面,垂直，即它是平面,的一个法向量，而,又直线,上的点,在平面,上，于是平面,的方程为,即,所以，投影直线的方程为,例,解,五、点到平面的距离,返回,
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