一元一次不等式组知识要点及典型题目讲解

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1、一元一次不等式组知识要点及典型题目讲解一、重点难点提示重点：理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。难点：一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。 二、学习指导：1、几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。但这“几个一元一次不等式”必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次不等式组了。 2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时，两个方程不是独立存在的（代入法和加减法本身就说明了这点）；而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。（我们主要学习由两个一元一次不等式组成的不

2、等式组）。 3、在不等式组中，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。（注意借助于数轴找公共解） 4、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）类型（设ab）不等式组的解集数轴表示1.（同大型，同大取大）xa2.（同小型，同小取小） xb3.（一大一小型，小大之间） bx 解不等式(2)得x4 （利用数轴确定不等式组的解集） 原不等式组的解集为-1,解不等式(2)得x1, 解不等式(3)得x2, 在数轴上表示出各个解为： 原不等式组解集为-1-1, 解不等式(2), |x|5, -5x5, 将(3)(4)解在数轴上表示出来如图， 原不等式组

3、解集为-14x-5得：x3，解不等式1得x2， 原不等式组解集为x2，这个不等式组的正整数解为x=1或x=2 1、先求出不等式组的解集。2、在解集中找出它所要求的特殊解， 正整数解。 例5，m为何整数时，方程组的解是非负数？ 分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用m的代数式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。 解：解方程组得 方程组的解是非负数， 即 解不等式组此不等式组解集为m, 又m为整数，m=3或m=4。 例6，解不等式0。 分析：由“”这部分可看成二个数的“商”此

4、题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。(1) 或(2)因此，本题可转化为解两个不等式组。 解：0, (1) 或(2) 由(1)无解，由(2)-x, 原不等式的解为-x。 例7.解不等式-33x-15。 解法（1）:原不等式相当于不等式组 解不等式组得-x2，原不等式解集为-x2。 解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上1，得-23x6, 将这个不等式的两边和中间都除以3得， -x2, 原不等式解集为-x2。 例8.x取哪些整数时，代数式与代数式的差不小于6而小于8。 分析：(1)“不小于6”即6, (2) 由题意转化成不等式问题解决， 解：由题意

5、可得，6-, 原不等式组解集为-x6,-x6的整数解为x=3, 2, 1, 0, 4, 5, 6。 当x取3，2，1，0，4，5，6时两个代数式差不小于6而小于8。 例9.有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数。 分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未知数-十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数十位上的数+2,一个不等关系：20原两位数40。 解法（1）:设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2), 由题意可得：2010x+

6、(x+2)40, 解这个不等式得，1x3, x为正整数，1x3的整数为x=2或x=3， 当x=2时，10x+(x+2)=24, 当x=3时，10x+(x+2)=35, 答：这个两位数为24或35。 解法（2）:设十位上的数为x, 个位上的数为y, 则两位数为10x+y, 由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。 将(1)代入(2)得，2011x+240, 解不等式得：1x3, x为正整数，1x3的整数为x=2或x=3, 当x=2时，y=4，10x+y=24, 当x=3时，y=5, 10x+y=35。 答：这个两位数为24或35。 解法

7、（3）:可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上的数只能是2和3。当十位数为2时，个位数为4，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。 例10.解下列不等式：(1)|4；(2)0。 （1）分析：这个不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。但由绝对值的知识|x|0)可知-axa, (a0)则xa或x-a。 解：|4, -44, 由绝对值的定义可转化为： 即 解不等式(1)，去分母：3x-1-8, 解不等式(2)去分母：3x-18, 移项：3x-8+1,移项：3x8+1, 合并同类项：3x-7 合并同类项：3x9,

8、 系数化为1，x-, 系数化为1：x3, ，原不等式的解集为-x3。 （2）分析：不等式的左边为是两个一次式的比的形式（也是以后要讲的分式形式），右边是零。它可以理解成“当x取什么值时，两个一次式的商是负数？”由除法的符号法则可知，只要被除式与除式异号，商就为负值。因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次不等式组的问题。 解： 0，3x-6与2x+1异号， 即：I 或II 解I的不等式组得, 不等式组无解，解II的不等式组得, 不等式组的解集为-x2,原不等式的解集为-x0, (3x-6)与(2x+1)同号， 即I或II 解I的不等式组得, 不等式组的解集为x2,解II的不等式组得, 不

9、等式组的解集为x2或x0(或0)与ab0（或0(或0), a、b同号， 即I或II , 再分别解不等式组I和II， 如例10的（3）题。 （2）ab0（或0）, ab0(或0), a、b异号， 即I或II, 再分别解不等式组I和不等式组II。 例11.已知整数x满足不等式3x-46x-2和不等式-1, 并且满足方程3(x+a)=5a-2试求代数式5a3-的值。 分析：同时满足两个不等式的解的x值实际是将这两个不等式组成不等式组，这个不等式组的解集中的整数为x值。再将x值代入方程3(x+a)=5a-2，转化成a的方程求出a值，再将a代入代数式5a3-即可。 解：整数x满足3x-46x-2和-1,

10、 x为，解集的整数值， 解不等式(1)，得x-, 解不等式(2)得，x1,的解集为-x1。 -x3，则m的取值范围是（ ）。A、m3B、m=3C、m3，得3m, 选D。 例3（2001年重庆市中考题）若不等式组的解集是-1x1，那么(a+1)(b-1)的值等于_。 解：化简不等式组，得 它的解集是-1x2的解集为，则a的取值范围是（ ）。A、a0B、a1C、a0D、a1 解：对照已知解集，结合不等式性质3得：1-a1，选B。 例5（2001年湖北荆州市中考题）若不等式组的解集是xa，则a的取值范围是（ ）。 A、a3D、a3 解：根确定不等式组解集法则：“大大取较大”，对照已知解集xa,得a3

11、, 选D。 变式（2001年重庆市初数赛题）关于x的不等式(2a-b)xa-2b的解集是，则关于x的不等式ax+b0的解集为_。 三、利用性质，分类求解例6已知不等式的解集是，求a的取值范围。 解：由解集得x-20时，得解集与已知解集矛盾； 当a-1=0时，化为0x0无解； 当a-10时，得解集与解集等价。 例7若不等式组有解，且每一个解x均不在-1x4范围内，求a的取值范围。 解：化简不等式组，得 它有解， 5a-63aa3；利用解集性质，题意转化为：其每一解在x4内。于是分类求解，当x4时，得42。故或2a3为所求。 评述：(1)未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，

12、须得分正、零、负讨论求解；对解集不在axb 范围内的不等式(组)，也可分xa或x b 求解。(2)要细心体验所列不等式中是否能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号。 四、借助数轴，分析求解 例8（2000年山东聊城中考题）已知关于x的不等式组的整数解共5个，则a的取值范围是_。 解：化简不等式组，得有解，将其表在数轴上，如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。由图1得：-4a-3。 变式:(1)若上不等式组有非负整数解，求a的范围。 (2)若上不等式组无整数解，求a的范围。(答：(1)-11) 例9关于y的不等式组 的整数解是-3，-2，-1，0，1。求参数t的范围。 解：化简不

13、等式组，得 其解集为 借助数轴图2得 化简得 , 。 评述：不等式(组)有特殊解(整解、正整数解等)必有解(集)，反之不然。图2中确定可动点A、B的位置，是正确列不等式(组)的关键，注意体会。 五、运用消元法，求混台组中参数范围例10. 下面是三种食品A、B、C含微量元素硒与锌的含量及单价表。某食品公司准备将三种食品混合成100kg，混合后每kg含硒不低于5个单位含量，含锌不低于4.5个单位含量。要想成本最低，问三种食品各取多少kg? A B C 硒（单位含量/kg） 4 4 6 锌（单位含量/kg） 6 2 4 单位（元/kg） 9 5 10 解设A、B、C三种食品各取x，y，z kg，总价

14、S元。依题意列混合组 视S为参数，(1)代入(2)整体消去x+y得：4(100-z)+6z500z50,(2)+(3)由不等式性质得：10(x+z)+6y950,由(1)整体消去(x+z)得: 10(100-y)+6y950y12.5，再把(1)与(4)联立消去x得：S=900-4y+z900+4(-12.5)+50,即S900。 当x=37.5kg, y=12.9kg, z=50kg时，S取最小值900元。 评述：由以上解法得求混合组中参变量范围的思维模式：由几个方程联立消元，用一个(或多个)未知数表示其余未知数，将此式代入不等式中消元(或整体消元)，求出一个或几个未知数范围，再用它们的范围来放缩(求出)参数的范围。 涉及最佳决策型和方案型应用问题，往往需列混合组求解。作为变式练习，请同学们解混合组其中a, n为正整数，x，y为正数。试确定参数n的取值。 - 16 -