微分中值定理的证明推广与应用

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1、个人收集整理 勿做商业用途第一章 引言11研究的背景微积分思想真正的迅速发展与成熟是在 16世纪以后。1400年至 1600年的欧洲文艺 复兴，使得整个欧洲全面觉醒 . 一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发 展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题。这一时期，对 运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题 , 以常量为主要研究对象的古典数学已不 能满足要求 , 科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究 对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段。微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类 型的科学问题：

2、 第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和 加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急 ; 第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避； 第三类是, 确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极 大值、极小值问题也急待解决； 第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等， 又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究 . 在 17 世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具.什么是微积分？它是一种数学思想， 无限细分就是微分，无限求和 就是积分。 无

3、限就是极限 , 极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如 ,子 弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念， 子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概 念如果将整个数学比作一棵大树 , 那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树 枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从 17 世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题 要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学 时代，即微积分不断完善成为一门学科 .整个 17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究， 但使 微积分成为数学的一个重要分支的还是牛

4、顿和莱布尼茨 .牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。（l ）“已知流量之间的关系，求它们的流数的关系” ，这相当于微分学。（2） 已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系.这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。（3） “流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值、求曲线的切线和曲率，求曲 线长度及计算曲边形面积等。牛顿已完全清楚上述 （l ）与（2 ）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积 分学之间的联系。牛顿在 1665年 5 月 20 目的一份手稿中提到“流数术” ，因而有人把这一天作为诞生微 积分的标志。莱布尼茨使微积分更加简洁和

5、准确而德国数学家莱布尼茨（ GWLeibniz 1646 1716）则是从几何方面独立发现了 微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了 开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的 , 不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积 分的途径与方法与牛顿是不同的 . 莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积， 运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合 了运动学 , 造诣较莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于 牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。莱布尼茨创造的微积分符号 ,正

6、像印度 - 阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样 促进了微积分学的发展 , 莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。牛顿当时采用 的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用 . 莱布尼茨比别 人更早更明确地认识到 , 好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的 关键之一。以标志微积分作为一门独立科学的诞生 . 前驱者对于求解各类微积分问题确 实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性 . 虽然有人注意到这些问题之 间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来 , 作为微积分基本特征的 积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视 . 因此，在更高的

7、高度将以往个别的贡献 和分散的努力综合为统一的理论，成为 17 世纪中叶数学家面临的艰巨任务。12研究的价值人 们对 微分 中值 定理的研 究 , 大约经历了二百多年的时间。从费马定 理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段。人们正 是在这一发展过程中，逐渐认识到微分中值定理的普遍性。 微分中值定理的形成 历史和发展过程深刻的揭示了数学发展是一个推陈出新 , 吐故纳新的过程， 是一 些新的有力工具和更简单方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程， 是一个由低级向高级发展过程，是分析、代数和几何统一的过程。 正像龚昇先生 指出的 : “ 数学中每一步真正的发展都

8、与更有力的工具和更简单的方法的发现密 切联系着, 这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧、复杂的东西抛到一 边。 数学科学发展的这种特点是根深蒂固的 . ”文档为个人收集整理 , 来源于网络本文为互联网收集，请勿 用作商业用途而我们从整个数学，特别是现代数学在 21世纪变得更加重要来认识微分中值定理的 重要性. 美国数学评论 2000年新的分类中，一级分类已达到 63个，主题分类已超过 5600多个，说明现代数学已形成庞大的科学体系 , 并且仍在不断向纵深化发展。它在自 然科学、工程技术、国防、国民经济（如金融、管理等）和人文社会科学（ 如语言学、心理学、历史、文学艺术等 ） 以至我

9、们的日常生活中的应用都在不断深化和发展。它为 我们提供了理解信息世界的一种强有力的工具， 它也是新世纪公民的文化和科学素质的 重要组成部分。而微分中值定理在数学中又处于独特的地位。13研究的方法本文归纳和总结了一些微分中值定理的证明、推广与应用的方法与技巧，突出了微 分中值定理的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握 微分中值定理的思想方法； 注重对一些著名微分中值定理的推广及应用的介绍 ,以便更好 地理解和运用 .我们知道任何知识体系都不是孤立的 , 它们相互联系相互渗透，而不同体 系的“知识交汇”更能有效地培养学生的综合思维能力。所以在写这篇论文时, 在整合以上参

10、考文献时，在不同的证明方法和不同的角度和思维的相互交汇下，我受益匪浅 .拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握 . 微分中值定理主要指拉格朗日中 值定理，它的特例是罗尔定理 , 它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。 拉格朗日中值定理是沟通函数及其导数的桥梁 , 是数学分析的重要定理之一。构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题 的一种重要手段， 通过巧妙地数学变换 , 将一般问题化为特殊问题 , 将复杂问题化为简单 问题，这种论证思想也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。14 文献综述数学问题(猜想)的重要性先哲们已有过精辟的阐述 .的确，形

11、式优美、新颖、内涵 丰富的不等式问题 ,不仅丰富了我们的研究素材 ,而且孕育了新思想、新方法的胚芽 .当探 索者在艰难的跋涉中感到困倦和乏味时 ,它就会突然放出奇光异彩， 照亮一片天地。 人们 之所以能孜孜不倦地向未知领域探求， 也正是问题那充满诱惑力的深情呼唤 .新的东西可 以刷新我们的视野 .由于微分中值定理的多样性与广泛性，各有各的证明特色，所以我阅读许多文献。 华东师范大学数学系数学分析(第三版上册)M.北京：高等教育出版社，2004是我参考的第一本文献 .文中介绍了一些常见的证明方法及一些例子的应用 . 我还参考了 刘振航关于拉格朗日中值定理的证明J天津商学院学报，2002(5):

12、35 36;杜明芳拉格朗日中值定理的证明与思考J北京印刷学院学报，2002 (2): 5657;刘应辉经济应用数学M 中国财政经济出版社，2002;施昭常微积分自学指导 M 暨南大学出版社，1993;裴礼文数学分析中典型问题与方法M 北京：高等 教育出版社，2004;马振元.数学分析中的方法与技巧选讲M.兰州.兰州大学出版社， 1999;程其襄,张奠宙等实变函数与泛函分析基础(第三版 )北京：高等教育出版社， 2005;刘玉琏，傅沛仁数学分析M 北京：高等教育出版社，2003;同济大学高 等数学M 北京：高等教育出版社，2003;霍凤芹，陶金瑞微分中值定理的证明与 推广东J 邢台学院学报，20

13、07 (2) :96-97;侯谦民中值定理的推广J.武汉 职业技术学院学报， 2003(6)： 8182;胡付高微分中值定理的推广及应用孝感学 院学报(自然科学版)，2000( 11): 1618; B. N吉米多维奇著.数学分析习题集M.北 京：高等教育出版社， 1958 等一些文献，从中收获很大 ，为本文的写作提供了很多参考 资料。 本文为互联网收集 ，请勿用作商业用途文档为个人收集整理 ， 来源于网络微分中值定理的证明方法有很多，而且非常的灵活、精彩 .这些有关微分中值定理 的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却 常常像变戏法似的神秘莫测。这就是数学

14、的魅力所在吧。本论文虽然经过多次的修改，但由于水平有限，论文肯定会存在不足之处，甚至是 手误.第二章微分中值定理的证明微分中值定理分为：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式。 其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理 ，又(统)称为微分学基本定理、 有限改变量定理或有限增量定理， 是微分学的基本定理之一。内容是说一段连续光滑曲 线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同现通过几何意义、辅助函数结合图形来证明各个定理。 个人收集整理，勿做商业用途文档为个人收集整理，来源于网络2. 1 罗尔定理的证明罗尔定理(Rolle):如果函数f(x)满足下列条件: 在闭区间a,

15、b上连续， 在开区间(a,b)内可导， f(a) f(b),则在区间(a,b)内至少存在一点E,使得f (E)0 .罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度 相等，则至少存在一条水平切线。证明:因为f在a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用 M与m表示，现分两和情 况来讨论：(a)若M = m，则f在a,b上必为常数，从而结论显然成立(b)若Mm，则因f(a) f (b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在a,b 内某点 处取得，从而 是f的极值点.由条件，f在点 处可导，故由费马定理推知 f ( E)0 o2. 2拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理

16、的证明过程就是对所构造的辅助函数(该辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件)应用罗尔中值定理.由于构造辅助函数的思路不同，拉格朗日中值定理的证法就有多种 拉格朗日中值定理(Lagrange):设函数f (x)满足下列条件: 在闭区间a,b上连续,f(b) f(a)b a 在开区间(a,b)内可导,则在区间(a,b)内至少存在一点E,使得f ( E)这个式子也可表示成f (b) f (a) f ( E)(b a)2. 2. 1直接作辅助函数如数学分析中直接作辅助函数来证明拉格朗日中值定理。作辅助函数 F(x) f (x) f(a) f(b) f(a) x a。显然，F(a) F(b) ( 0)，且

17、b aF在a,b上满足罗尔定理的另两个条件。故存在 E (a,b)，使得F()0，所以f(E甘成立.11从上面的证明可知道罗尔定理是拉格朗日定理当f(a) f (b)时的特殊情形一般地,验证函数在闭区间上是否满足上述定理的条件时，需要同时考虑定理中的条件，只有当定理中所列的条件全部满足了，才能说函数在这个闭区间上满足定理 并能求出定理结论中相应的E。2. 2. 2利用坐标旋转构造辅助函数b a显然满足罗尔定理条件，通过罗尔定理即可得出结论为此,可引入旋转坐标变换:x X cos Y sin y X si n Y cos记取旋转角X (x) xcosf (x)s inY(x) xsinf(x)c

18、osarctan时，Y(x)在a,b内连续，在a,b内可导b a由tan_,可得 a sinf (a)xcosbsinb af (b)cos即 Y(a)Y(b)，因此，Y(x)满足罗尔定理的条件，故至少存在一点0即sinf( )cos 0, f( )tanf(b)血.b aa,b使丫()因为 D=cossin-sincos所以有逆变换X xcos丫 xsinysi nycos2. 2. 3利用分析表达式构造辅助函数在中学我们就知道一阶导数是可以作为函数的斜率。则由拉格朗日中值定理的结论得 k f(b)一徑f (b) f(a) k(b a) 0，b a可构造辅助函数 g(x) f (x) f (

19、a) k(b a),则g(x) f(x) k且g(x)在闭区间a,b上连续，在 a,b内可导，g(a) g(b) 0，根据罗尔定理，存在一点 a,b使g f ( ) k 0，即f( ) k f(b)一，定理得证b a或者由拉格朗日中值定理结论f(b) f(a) f k，辅助函数应满足f(x) k，b a即f (x) k0的形式。所以，可构造辅助函数g(x) f (x) k。由于g(x)应满足g(a)故辅助函数为g(b),即然 f (a) ka f (b kb)f(b) f(a)b ag(x) f(x) ka f(x)f(bb f(a)xb a所以对g(x)在a,b内用罗尔定理即可证明2. 2.

20、 4利用向量矢量积的几何意义构造辅助函数引理1在平面直角坐标系中，已知 ABC三个顶点的坐标分别为A a, f(a) ,B(b, f(b),C(x, f(x)，则 ABC 面积为 S(x)f (a)f(b)f(x)若f(x)在a,b内连续，在a,b内可导，则S(x)在a,b内连续,在a,b内可导,于是可以利用引理证明拉格朗日中值定理如下且 S(a) S(b) 0所以由罗尔中值定理知：在a,b内至少存在一点，使得S(S(x)a) (f(b)of (a) f(b) f(x)f (a)f(a)f() f(b) f(a)2. 3柯西定理的证明在前面本文已经证明了拉格朗日中值定理，可以看出如果在拉格朗日

21、定理中加上f a f b的条件，就得到罗尔定理的结论，从而拉格朗日定理包含了罗尔定理.那么在柯西定理中， 若令g x x，是否得到拉格朗日定理呢？现则对柯西中值定理进行 证明.柯西中值定理(Cauchy):如果函数f x及g x满足以下条件：(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间a,b内可导，且g x 0，那么在a,b骨至少有一点a,bf_ f(b) f(a)g g(b) g(a)2. 3. 1 利用作辅助函数因g x在区间a,b上连续，在a,b内可导，所以根据拉格朗日中值定理可知存在 a,b ,使得 g(b) g(a) g b a ,又因 g x 0，x a,b，故 g0，因此 g(b)

22、 g(a) 0。作辅助函数 H x f(x) f(a)丄翌一凹 g(x) g(a) g(b) g(a)因f x与g x在a,b上连续,在a, b内可导，故H x在a, b上连续，在a,b内可导，而H(a) H(b) 0,因此作辅助函数满足罗尔定理的条件所以由罗尔定理可知至少存在一点a,b，使1Hff(b) f(a)gy g(b) g(a)0 ,因 g0故上式可化为：ff(b) f gg(b) g(a)a, b定理证毕。2. 3. 2 利用参数方程在证明之前为了方便起见，先引进两个辅助定理：定理1设函数g x在开区间a,b内可导，且g x 0 ,则在该区间内g x的 符号相同。定理2如果函数v

23、g x在闭区间a,b上连续且单调增加(减少),则在对应的 函数值区间g(a), g(b) g(b),g(a)上必存在着单值的反函数x g 1 v且该反函数也 连续且单调增加(减少).由于上述两个辅助定理的证明比较简单，在此就不加以证明了。下面给出利用参数的证法。设U f(x) (2。 3.2 1)其中x看成参数v g(x)因在开区间a,b内g x 0,由辅助定理1可知在该区间内g x同号,不失一般 性，可设g x 0,故g(x)在该区间a,b内单调增加，显然在a,b上也单调增加.又因g(x)在a,b上连续，则由辅助定理2可知在v g(x)区间g(a), g(b)上必存在着单值反函数x g v，

24、且该反函数也连续且单调增加.在参数方程(2。3。2 1)中消去参数x,可得到以v为自变量的函数u f g 1 vv g(a),g(b)。1因x g v在闭区间g(a), g(b)上连续且单调，而u f (x)在闭区间a,b上连续,由复合函数的连续性可知u f g 1 v在g(a), g(b)上连续。又因v g(x)在开区间(a,b)内可导,且g x 0 ,由反函数的导数定理可知x g 1 v在g(a), g(b)内可导.注意到u f(x)在开区间a,b内可导,由复合函数的导数定理可知u在g(a),g(b)内可导， 并且有:du f x idv g xg(a),g(b)，使得下列等式成立由拉格朗

25、日中值定理可知至少存在一点fg g(b)f gg(a)dug(b)g(a)dv即f(b)f (a)dug(b)g(a)dvv而duf(x) ，1x g(v)，如果令g1()dvg(x)则有：duf()1dvvg()因 g(a), g(b)，所以 a,b，因此有： 丄fa,bg(b) g(a) g定理证毕。以上给出了柯西定理的两种证明方法，第一种是常用的，它的方法是构造一个辅助函数，再利用罗尔定理来证明。第二种它的方法是利用参数方程以及复合函数的相关 性质和定理，然后再利用拉格朗日定理来证明。2. 4泰勒公式的证明泰勒公式(Taylor )中值定理：如果函数f (x)在含有冷的某个开区间a,b内

26、具有直到(n+1)阶的导数，则当x在a,b内时，f(x)可以表示为x x0的一个n次多项式Pn(x)与一个余项Rn(x)之和：f (x) Pn(x) Rn(x)f(X)f(X)(XX。)f(Xo)2!(X Xo)2f(n)(Xo)(X Xo)n!Rn(x)其中Pn (X)称为f (X)在Xo的n次Taylor多项式，Rn (x)称为n次Taylor多项式的余Lagrange型余项 Rn(x)4(x(n 1)!Xo)n 1, 在Xo与X之间。Peano型余项 Rn(x) o(x xo)n)。证明：由假设，Rn(x)在a,b内具有直到n 1阶导数，且Rn XoRn XoRnnXoRnXoo n 1

27、两函数Rn (X)及X Xo在以Xo及X为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得(1在Xo与X之间)Rn XRn XRn XoRn 1n 1n 1nxxoxxoo n 11 xo两函数Rn x及n 1 X Xo n在以Xo及1为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得Rn1Ri1 Rn Xonn 11xon 1 x xoRnn2n 1n n 12xo(2在X0与,之间)如此下去，经过n 1次后,得因为 Rn1则由上式得Pn XXon 1Rn XRnn 1.n 1 !在Xo与n之间,也在Xo与X之间)XoRnkXoXk o k !所以RnnXo( 在Xo与X之间)XoXo称为f (X)按X幕展开的

28、n次近似多项式R x称为f (x)按x Xo的幕展开的n阶泰勒公式个人收集整理勿做商业用途1Rn(X)(n 1()(xXo)n（在Xo与X之间）(n 1)()Xo)n./ (X Xo)n 1 n 1 !及吧啓 0 即 Rn(X)0(X X0)n所以f(x)：叩( Xo)k o(X X0)n从上面的式子可以看出当n0时，泰勒公式即为拉格朗日中值定理12f(X) f (Xo)f ( )(X Xo)（在Xo与X之间）即泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的 推广个人收集整理 勿做商业用途16第三章 微分中值定理的推广微分中值定理是微分学的重要定理，是应用导数研究函数性质的重要工具，是沟通 函数及导数之间关

29、系的桥梁，也是研究函数在某个区间内的整体性质的重要工具， 历来受 到人们的重视。3. 1 罗尔中值定理的推广罗尔中值定理是微积分理论中的一个重要而有用的结论，但要求函数f x满足条件：(1)在a,b上连续；(2) 在a,b内可导；(3) f a f b .并且这些条件缺一不可。那么对于其他一些不满足在a,b内可导的连续函数，是否有类似的中值定理？本文尝试减弱f x应满足的条件(2)，进而得出一般的中值定理。3. 1从单侧可导上的推广引理2若函数f x在左开右闭区间a,b上连续，在左开右闭区间a,b上存在左 导数f x。函数f x在开区间a,b上单调增加(单调减少)，则在区间 a,b上有 f x

30、 0 ( f x 0 )。证明：对于任意x a,b及自变量的改变量 x 0 (使x x a,b ),由于函数f x在 区间a,b上单调增加，故有f x f x x，即 fx x f x 0 ,从而已知函数ff x x f x0 .xx在点x存在左导数，根据极限保号性得：f x x f x limx 0同理可证f x在a,b上单调减少的情形定理3若函数f x满足下列条件:(1) 在闭区间a,b上连续,(2) 在左开右闭区间a,b上存在左导数f x ,(3) f a f b ；则在a,b上至少存在一点，对于任意0,存在 0,当 时，有f f 0证明：因f x在闭区间a,b上连续,故f x在闭区间a

31、,b上取到最大值M和最小值 m ,下面分两种情况讨论：如果M m,则函数在闭区间a,b上是常数，于是，对任意x a,b有f x 0即 f x 0，所以a,b上的任意一点都可当作 ，使得 0，a 0当 时,有 f -f 0 .如果M m，由条件(3) f a f b可知，函数f x在闭区间a,b两个端点a 与b上的函数值fa与f b不可能同时取得最大值或最小值， 即在开区间a,b内至 少存在一点，函数f x在点取到最大值或最小值，不妨假设取得最小值，于是函数f x在点 处必取得局部极小值，即为极小值点由极小值的定义,必存在0 ,使函数fx在,上单调减少，在，上单调增加，由引理2,函数fx在，上有

32、f1x0,在，上有f x 0.对于任意0，当时,有f 0，f:0 ,从而ff 0。即存在a,b对于任意0，存在0当时，有ff 0 .3. 2拉格朗日中值定理的推广3. 2由可导推广到单侧可导定理4若函数f x满足下列条件：(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在左开右闭区间 a,b上存在左导数f x ;则在开区间a,b内至少存在一点，对于任意0,存在0,当时，有1f b f af bf aff0。b aba证明：作辅助函数F xf b f af x f a xb a已知函数f x在a,b上连续，在左开右闭区间 a,b上存在左导数f x ,所以函数F x在a,b上连续,在a,b上存在左导数F x

33、又有F a F b 0即函数F x满足定理3的三个条件,由定理3可知,在a, b上至少存在一点，对于任意 0 ,存在 0,当时，有F -F3. 3 柯西中值定理的推广定理5 若函数f x与g x满足下列条件：(1 )在闭区间a,b上均连续；(2) 在左开右闭区间a,b上分别存在左导数f x与g x ;(3) g x 在 a,b 上单调，且 x a,b，有 g x 0;则在a,b上至少存在一点，使得对于任意 0，存在 0,当 时，有ff bfaff bfa； ； 0 .gg bg agg bg a证明：作辅助函数F x f x f a丄x，g b g a已知函数f x与g x在a,b上连续，在a

34、,b上存在左导数，故F x在a,b连续，在 a, b 上存在左导数 F x f x f-b匚 g x ,且Fa F b 0，所 g b g a以函数F x满足定理3的三个条件,根据定理3可知,在a,b上至少存在一点，对于任意 0 ,存在 0 ,当时，有F -F0，即f bfafbfa，“小八g* fg0(3.3-1)g b g ag b g a又因为g x在a,b上单调, 时，由引理2 x a,b有g x 有g x0，由此可知g 与g 把(3。3-1 )式两边同除以g g且x0 ;当a,b 有 g gx在同号,x 0,故当ga,b单调减少时,即 g 0得：x在a,b单调增加 由引理2 x a,

35、b ,0.个人收集整理 勿做商业用途不难看出，在定理5中,x x时,定理5就成为定理4。3. 4举例说明验证fsin x在 ,1上满足定理3的条件和结论。2解:易证2,1上连续，在2,1上存在左导数fx ，且1，故fx满足定理3的三个条件。2,1上存在一点0，对于任意0 ,存在13 0,当时，有1, f 01所以f 01,满足定理3的结论。24x 1,1 x 3例2 验证f x2，在0,3上满足定理4的条件和结论。x 1,0 x 1解：易证f x在0,3上连续，在0,3上存在左导数f x，故f x满足定理4的两个条件。取1,0,1 0，当0时,有f 110, f 10,又f 3f 03 102

36、1130331f 3f 0f 3f 01f1* f 1-1 0 - 030303所以f x满足定理4的结论。说明：上述定理与引理2中将左导数f x改为右导数f x ,同样可以得到相应结论第四章微分中值定理的应用微分中值定理是一元函数微分学的理论基础，也是一元函数微分学通往应用的桥梁其应用非常广泛。现利用微分中值定理来求根的存在、判定级数的敛散性等4. 1用来证明存在性问题，如根的存在性引理3若实函数y f x在开区间a,b内可导，且f xif X2f X3f Xn ,其中为丛兀,Xn是a,b内的n个互不相同的实数，则方程f X 0在a,b内至少有n 1个不同的实根.用Xi,X2,X3,Xn按顺

37、序可分成n 1个区间，并在每个区间上应用罗尔定理即可得到 上述结论。定理6 若实函数y f x在开区间a,b内有m阶导数,且fXifX2fX3fXn，其中为丛兀,Xn是a,b内的n个互不相同的实数，则方程f m x 0在a,b内至少有n m个不同的实根。证明：由引理3知方程f x0在a, b内至少有n 1个根,不妨设这n 1个根为ni，则 f10,由引理3可得方程f x 0在a,b内至少有n 2个根。以此类推，fm x 0在a, b内至少有n m个根。推论若实函数y f x在开区间a,b内有m阶导数，且方程fm x 0在a,b内只有n个不同的实根，则方程f x 0在a,b内至多有n m个不同的

38、实根。 例3证明方程2X x2 1 0有且只有三个实根,并估算根的范围。证明：令 f x 2X x2 1, x R,则 f x2Xln22 2因方程2X In2 2 2 0只有1个实根,所以由推论知方程2X x2 10最多有3个实根.又f 4 f 5 0由根的存在定理知，在4,5内原方程至少有一个实根，又X10,X21都是原方程的根，故原方程只有3个实根,其根分别为为0,x2 1, x34,5 .例4 若函数f x在a,b上连续，在a,b内可导，且f x 0， x a,b则在a,b内存在两数n,x2,使得f x1If x2f x2成立.证明：（辅助函数法）令 g x fxfabx,贝 U g

39、a g b。由罗尔定理得：a,b，使得g 0,即f fab f f a b 0.fabfab。并令 x a b ,则本题得证。例5:证明方程 n 在0与1之间至少有一个实根证明：不难发现方程左端丨是函数八 的导数:fx） = 5 -4x + l函数八八二上-f ?在0, 1上连续，在（0,1）内可导,且1，由罗尔定理可知，在0与1之间至少有一点c,使-，即F =也就是：方程;-,;14-在0与1之间至少有一个实根罗尔定理的推论：若f在x-! ,x2上连续，在x1, x2上可导，f x,f x2 0，则存（简言之:可导函数的两个之间必有导数的零点 ）。我们来看一例,例6:证明等式：设a0an0

40、.证明：在（0,1）内至少有一个x满足n 1a。a2x2anxn0分析：讨论f x 0在（a，b）内的根的存在性问题，一般有两种途径:（1）验证0,禾U用连续函数的零点定理即可；（2）寻找一个函数Fx适合方程f xx a。x且Fa F b，利用罗尔定理，就有xca,b0的根。本题采用第二种方法，不难看出，若令a2x2anxn 则取 F xaxa1x23a2x3xg0，即xg为n 1坐，就有n 1证作辅助函数F xax23a1xa2xn 1anXn 1易见 F 0,1 D 0,10,F 1ao（已知条件）n 1由罗尔定理知至少有一个x0,1 ,使 F2axa?xn- anX例7。设f x在0,1

41、上连续，在（0,1）内可导，且f0,f。试证:存在一点0,1使f0.,使得分析：即证f x 1 0有一个根 0,1 ,我们希望找到一个函数FF x f x 1，且F x在（0, 1） 上满足罗尔定理的条件，可利用原函数构造辅助函数，由f 1 fx1 fxx fxx 0令辅助函数为F x f x x证明令F x f x x显然F x在0,1 上连续，在（0，1）内可导，因此f 10,所以F 11f1 11 又因为f 21所以11102 22由零点定理可知，存在中值定理的条件，由罗尔定理知，存在F 00。故F x在区间0 ,上满足罗尔0,在（0,1）区间上，使F 0即f 0 Fn n 1n n2“

42、2n2un2*；n n 1.；n 2n 1即an2 22卞1an -=2 .2n2从而02,2 21 an1nn2.2n2由极限存在准则知lim ann2.2 2。例15 设f x在0,1上连续,fc 0,c0,1 ,且在 0,1内恒有,其中k为小于1的常数，试证fx为常数函数。4. 5用来证明函数恒为常数025证明:0,1 ,不妨设c x，则同理k ，k 1,2,，nk2所以knf在0,1上连续，从而f x有界故lim kn fnlim f xn个人收集整理 勿做商业用途即f x 0（当c x时同样成立），从而f x 0, x 0,1 , 故在0,1上f x为常数函数。注意：当c取区间端点值

43、时上例结论也成立，若区间长度较大时，可分区间解决微分中值定理应用非常广泛（在使用定理时应特别注意验证定理的条件），以上只介绍使用该定理的一些方法，如辅助函数法、原函数法、递推法和累加法，并介绍它在几个 方面的应用。4. 6 用来证明等式在对于一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明， 很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明。 已知有这样一个推论，若函数f在区间I上可导，且f x 0,则f为I上的一个常量函数。它的几何意义为： 斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。这个推论的证明应用拉格朗日中值定理，在 这里不做具体介绍了 应用这个推论的例子很多，我

44、们来看一个： 例 16.证明：在 1,1 上恒有 arc sinx arccosx 2证 构造辅助函数f设f x arcsinx arccosx,则在开区间（一1， 1） 上恒有f x 0，由推论知在（一1,1） 上 f x c。因为f 0所以c -。又由于f 1,故在2 2 2-1,1上恒有上题结论成立。由于关于反三角函数的计算很少有公式，直接应用很难算出，所以只有间接的应用 中值定理来得出结论例 17。证明 arctan x12xarccos 221 x30这一题和上一题很相似同样也应用辅助函数可得出要证的结论1 2x证明:令 f x arctanx arccos2，而 f x 0x1 于

45、是得出2 1 x2arctanx arccos 2x2 c x 1(c 为常数)去 x 1 时得到 c 1 x41 2x即卩 arctan xarccos 22 1 x 4例 18 证明：arcsi nx arccosx , x 0,1.2证明设 f (x)arcsin x arccosx . f (x)_1_1x21f (x) c。又 f(0), 因此 f(x) , 即 arcsinx arccosx , x 0,1。以上是对于证明等式的几个例子，我们从例子中看出对于这样的等式证明，导数是易于求的，而且其和为0,这样的题目多数利用上述的定理推论，是中值定理的一个证明 恒等式的很好的应用。结束

46、语由于微分中值定理有多条，证明方法也是有多种，可以从几何方面入手，但是可以 看出，证明方法都离不开怎样去构造辅助函数。 而本毕业论文则主要是介绍微分中值定 理的证明、推广与应用 . 在证明过程中会发现罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理它们 的证明大致是相同的 , 基本上都是要做辅助函数来证明。 同时, 它们在某种特殊条件下可 以转换，并且从它在特定条件下，可以看出罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理它们有 包含关系， 并且一个比一个应用更加广泛。 而在微分中值定理的推广上，可以从导数到 单侧导的推广，也可以是函数的推广。我们都知道微分中值定理是微分定理的基础 , 在 函数的极限、凹凸函数等方面应用非

47、常广泛， 而本文只是浅谈一下微分中值定理的应用， 并且则重于介绍拉格朗日定理与柯西定理的应用 .参考文献1 华东师范大学数学系数学分析(第三版上册)M 北京：高等教育出版社，20042刘振航.关于拉格朗日中值定理的证明J.天津商学院学报，2002 ( 5): 35-36:3杜明芳拉格朗日中值定理的证明与思考J 北京印刷学院学报，2002(2) :56-57:4刘应辉.经济应用数学M.中国财政经济出版社,2002:5施昭常.微积分自学指导M.暨南大学出版社，1993:6裴礼文.数学分析中典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，20047 马振元.数学分析中的方法与技巧选讲M.兰州.兰州大学出版社

48、，19998程其襄，张奠宙等.实变函数与泛函分析基础(第三版).北京 :高等教育出版社， 2005:9刘玉琏，傅沛仁.数学分析M .北京：高等教育出版社,200310 同济大学.高等数学M.北京：高等教育出版社，200311 霍凤芹，陶金瑞.微分中值定理的证明与推广东J .邢台学院学报，2007 ( 2): 96 97:12侯谦民.中值定理的推广J.武汉职业技术学院学报，2003 ( 6):81-8213 胡付高.微分中值定理的推广及应用.孝感学院学报(自然科学版)， 2000(11)：161814 B. N吉米多维奇著.数学分析习题集M .北京：高等教育出版社，195815 孙贺琦.泰勒公式

49、的一种推广 J .数学通报， 1994(1):404116 胡广平.Rolle中值定理的推广J.河西学院学报，2005(21) : 17-18致谢本文的研究工作是在李承红老师的精心指导和悉心关怀下完成的， 在我的学业和论 文的研究工作中无不倾注着导师辛勤的汗水和心血 . 导师的严谨治学态度、 渊博的知识、 无私的奉献精神使我深受启迪。 从尊敬李老师身上， 我不仅学到了扎实、宽广的专业知 识，也学到了做人的道理 . 在此我要向李老师致以最衷心的感谢和深深的敬意。由于个人的学识有限 , 终究还是有一些地方难以让自己满意 , 更难以让李老师满意。 论文写作过程中意识到自己所存在的种种不足，恳请老师和读者给予谅解和批评指正。在此，向所有关心和帮助过我的领导、老师、同学和朋友表示由衷的谢意 ! 衷心地 感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、教授 !也感谢每一位老师、朋友、同学在我四年大学学习期间所给予我的支持与帮助。当 然更要感谢我的父母，感谢他们给予我生命 , 并用自己的辛苦劳作养育我。毕业之际，也是即将踏上工作岗位之时 , 在此对所有的亲人、朋友、师长、同学说 一声：谢谢 , 并请大家相信我会继续努力的。签名:2008年6月