7-大学物理讲稿（第7章+稳恒磁场）

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1、第7章 稳恒磁场我们已经知道,在静止电荷的周围存在着电场.当电荷运动时,在其周围不仅有电场,而且还存在磁场.本章将讨论运动电荷(电流)产生磁场的基本规律以及磁场对运动电荷(电流)的作用.7.1 磁场 磁感应强度一、磁场人们对磁现象的认识与研究有着悠久的历史,早在春秋时期(公元前6世纪),我们的祖先就已有“磁石召铁”的记载；宋朝发明了指南针,且将其用于航海.我国古代对磁学的建立和发展作出了很大的贡献.早期对磁现象的认识局限于磁铁磁极之间的相互作用,当时人们认为磁和电是两类截然分开的现象,直到18191820年奥斯特(H.C.Oersted,17771851)发现电流的磁效应后,人们才认识到磁与电

2、是不可分割地联系在一起的.1820年安培(A.M.Ampere,17751836)相继发现了磁体对电流的作用和电流与电流之间的作用,进一步提出了分子电流假设,即：一切磁现象都起源于电流(运动电荷),一切物质的磁性都起源于构成物质的分子中存在的环形电流.这种环形电流称为分子电流.安培的分子电流假设与近代关于原子和分子结构的认识相吻合.关于物质磁性的量子理论表明,核外电子的运动对物质磁性有一定的贡献,但物质磁性的主要来源是电子的自旋磁矩.与电荷之间的相互作用是靠电场来传递的类似,磁相互作用力是通过磁场来进行的.一切运动电荷(电流)都会在周围空间产生磁场,而这磁场又会对处于其中的运动电荷(电流)产生

3、磁力作用,其关系可表示为磁场和电场一样,也是客观存在的,它是一种特殊的物质,磁场的物质性表现在：进入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用；载流导线在磁场中运动时,磁场对载流导线要作功,即磁场具有能量.二、磁感应强度1 磁感应强度为了定量的描述磁场的分布状况,引入磁感应强度.它可根据进入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用来定义,下面就从运动电荷在磁场中的受力入手来讨论.实验发现,磁场对运动电荷的作用有如下规律：(1) 磁场中任一点都有一确定的方向,它与磁场中转动的小磁针静止时N极的指向一致.我们将这一方向规定为 磁感应强度的方向.(2) 运动试探电荷在磁场中任一点的受力方向均垂直于该点

4、的磁场与速度方向所确定的平面,如图7.1所示.受力的大小,不仅与试探电荷的电量、经该点时的速率以及该点磁场的强弱有关,还与电荷运动的速度相对于磁场的取向有关,当电荷沿磁感应强度的方向运动时,其受力为零；当沿与磁感应强度垂直的方向运动时,其受力最大,用表示.(3) 不管、和电荷运动方向与磁场方向的夹角如何不同,对于给定的点,比值不变,其值仅由磁场的性质决定.我们将这一比值定义为该点的磁感应强度,以B表示,即 (7.1)在国际单位制中,磁感应强度的单位为特斯拉（T）.有时也采用高斯单位制的单位高斯（G） 1G =1.010 -4 T2 磁感应线为了形象的描述磁场中磁感应强度的分布,类比电场中引入电

5、场线的方法引入磁感应线(或叫B线).磁感应线的画法规定与电场线画法一样.为能用磁感应线描述磁场的强弱分布,规定垂直通过某点附近单位面积的磁感应线数(即磁感应线密度)等于该点B的大小.实验上可用铁粉来显示磁感应线图形.磁感应线具有如下性质：(1) 磁感应线互不相交,是既无起点又无终点的闭合曲线；(2) 闭合的磁感应线和闭合的电流回路总是互相链环,它们之间的方向关系符合右手螺旋法则.7.2 毕奥萨伐尔定律及其应用一、 毕奥萨伐尔定律在静电学部分,大家已经掌握了求解带电体的电场强度的方法,即把带电体看成是由许多电荷元组成,写出电荷元的场强表达式,然后利用叠加原理求整个带电体的场强.与此类似,载流导线

6、可以看成是由许多电流元组成,如果已知电流元产生的磁感应强度,利用叠加原理便可求出整个电流的磁感应强度.电流元的磁感应强度由毕奥萨伐尔定律给出,这条定律是拉普拉斯(Laplace)把毕奥(Biot)、萨伐尔(Savart)等人在19世纪20年代的实验资料加以分析和总结后得出的,故称为毕奥萨伐尔拉普拉斯定律,简称毕奥萨伐尔定律,其内容如下：电流元Idl在真空中某一点P处产生的磁感应强度dB的大小与电流元的大小及电流元与它到P点的位矢 r 之间的夹角的正弦乘积成正比,与位矢大小的平方成反比；方向与Idlr的方向相同.（这里用到矢量Idl与矢量r的叉乘.叉乘Idlr的大小为Idlrsinq；其方向满足

7、右手螺旋关系,即伸直的右手,四指从Idl转向r的方向,那么拇指所指的方向即为Idlr的方向,如图7.2所示）其数学表达式为 (7.2)式中k为比例系数,在国际单位制中取为 (7.3)为真空的磁导率,其值为,所以毕奥萨伐尔定律在真空中可表示为 (7.4)其矢量形式为 (7.5)利用叠加原理,则整个载流导线在P点产生的磁感应强度B是(7.5)式沿载流导线的积分,即 (7.6)毕奥萨伐尔定律和磁场叠加原理,是我们计算任意电流分布磁场的基础,(7.6)式是这二者的具体结合.但该式是一个矢量积分公式,在具体计算时,一般用它的分量式.二、 毕奥萨伐尔定律应用举例1 直线电流的磁场设在真空中有一长为 L的载

8、流导线MN ,导线中的电流强度为I ,现计算该直电流附近一点P处的磁感应强度B .如图7.3 所示,设a为场点P到导线的距离,为电流元Idl与其到场点P的矢径的夹角,1、2分别为M、N 处的电流元与M、N 到场点P的矢径的夹角.按毕奥萨伐尔定律,电流元Idl在场点P产生的磁感应强度dB的大小为dB的方向垂直纸面向里（即Z轴负向）.导线MN上的所有电流元在点P所产生的磁感应强度都具有相同的方向,所以总磁感应强度的大小应为各电流元产生的磁感应强度的代数和,即 则上积分为 (7.7)B的方向垂直于纸面向里.对于无限长载流直导线( ),距离导线为a处的磁感应强度大小为 (7.8)2 圆电流轴线上的磁场

9、在半径为R 的圆形载流线圈中通过的电流为I ,现确定其轴线上任一点P 的磁场.在圆形载流导线上任取一电流元Idl,点P相对于电流元Idl的位置矢量为r,点P到圆心O的距离OP =x ,如图7.4所示.由此可见,对于圆形导线上任一电流元,总有Idlr ,所以Idl在点P 产生的磁感应强度的大小为 dB的方向垂直于Idl和r所决定的平面.显然圆形载流导线上的各电流元在点P产生的磁感应强度的方向是不同的,它们分布在以点P为顶点、以OP的延长线为轴的圆锥面上.将dB分解为平行于轴线的分量和垂直于轴线的分量.由轴对称性可知,磁感应强dB的垂直分量相互抵消.所以磁感应强度B的大小就等于各电流元在点P所产生

10、的磁感应强度的轴向分量的代数和.由图7.4可知 所以总磁感应强度的大小为 (7.9)B的方向沿着轴线,与分量的方向一致.在圆形电流中心(即x = 0)处,其磁感应强度为 (7.10)B的方向可由右手螺旋定则确定.而且圆形电流的任一电流元在其中心处所产生的磁感应强度的方向都沿轴线且满足右手定则.所以,圆形电流在其中心的磁感应强度是由组成圆形电流的所有电流元在中心产生的磁感应强度的标量和,对圆心角为的一段圆弧电流,在其圆心的磁感应强度为 (7.11)可以看出,一个圆形电流产生的磁场的磁感应线是以其轴线为轴对称分布的,这与条形磁铁或磁针的情形颇相似,并且其行为也与条形磁铁或磁针相似.于是我们引入磁矩

11、这一概念来描述圆形电流或载流平面线圈的磁行为,圆电流的磁矩m定义为 (7.12)式中S是圆形电流所包围的平面面积,n是该平面的法向单位矢,其指向与电流的方向满足右手螺旋关系.对于多匝平面线圈,式中的电流 I应以线圈的总匝数与每匝线圈的电流的乘积代替.利用圆电流在轴线上的磁场公式通过叠加原理可以计算直载流螺线管轴线上的磁感应强度.对于长直密绕载流螺线管,其轴线上的磁感应强度为,n是单位长度的匝数,I是每匝导线的电流强度.例7.1电流为I的无限长载流导线 abcde 被弯曲成如图7.5所示的形状.圆弧半径为R, 1=450,2= 135o.求该电流在O点处产生的磁感应强度.解：将载流导线分为ab,

12、bc,cd 及de四段,它们在O点产生的磁感应强度的矢量和即为整个导线在O点产生的磁感应强度.由于O在ab 及de的延长线及反向延长线上,由（7.7）式知 由图7.5知, bc弧段对O的张角为90 o ,由（7.11）式得 其方向垂直纸面向里.由（7.7）式得电流cd段所产生的磁感应强度为其方向亦垂直纸面向里.故O点处的磁感应强度的大小为方向垂直纸面向里.作业(P172)：7.14，7.187.3 运动电荷的磁场由于电流是运动电荷形成的,所以可以从电流元的磁场公式导出匀速运动电荷的磁场公式.根据毕奥萨伐尔定律,电流元Idl在空间的一点P 产生的磁感应强度为 如图7.6所示,设S是电流元Idl

13、的横截面的面积,并设在导体单位体积内有n个载流子,每个载流子带电量为q,以速度沿Idl的方向匀速运动,形成导体中的电流.那么单位时间内通过横截面S的电量为,亦即电流强度为,则,如果将q视为代数量,Idl的方向就是的方向,因此可以把dl中的矢量符号加在速度上,即.将Idl 这一表达式代入毕奥萨伐尔定律中就可得 其中dN = nSdl代表此电流元内的总载流子个数,即这磁感应强度是由dN = nSdl个载流子产生的,那么每一个电量为q ,以速度为运动的点电荷所产生的磁感应强度B为 (7.13)B的方向垂直于和r 所组成的平面,其指向亦符合右手螺旋法则.值得注意,对于高速运动电荷,上结果不再适用.需要

14、考虑相对论效应,其结果见14.5节.7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理稳恒磁场与库仑电场有着不同的基本性质,库仑电场的基本性质可以通过库仑场的高斯定理和环路定理来描述；稳恒磁场的基本性质也可以用关于磁场的这两个定理来描述.本节就来介绍稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理. 一、磁场的高斯定理1 磁通量在说明磁场的规律时,类比电通量,也可引入磁通量的概念.通过某一面积S的磁通量的定义是 (7.14)即等于通过该面积的磁感应线的总条数.在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(Wb).1Wb=1Tm2 .据此,磁感应强度的单位T也常写作Wb/m2 .2 磁场的高斯定理对于闭合曲面,若规定曲面各处的外法向为

15、该处面元矢量的正方向,则对闭面上一面元的磁通量为正就表示磁感应线穿出闭面,磁通量为负表示磁感应线穿入闭面.对任一闭合曲面S,由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线,不难想象,凡是从S某处穿入的磁感应线,必定从S的另一处穿出,即穿入和穿出闭合曲面S的净条数必定等于零.所以通过任意闭合曲面S的磁通量为零,即 (7.15)这是恒定磁场的一个普遍性质,称为磁场的高斯定理.二、安培环路定理由毕奥萨伐尔定律表示的电流和它的磁场的关系,可以导出稳恒磁场的一条基本规律安培环路定理.其内容为：在稳恒电流的磁场中,磁感应强度B 沿任何闭合路径 L的线积分(即B对闭合路径 L的环量)等于路径L所包围的电流强度的代数和的倍

16、,它的数学表达式为 (7.16)下面以长直稳恒电流的磁场为例简单说明安培环路定理.根据(7.8)式知,距电流强度为I的无限长电流的距离为r处的磁感应强度为 B线为在垂直于直导线的平面内围绕该导线的同心圆,其绕向与电流方向成右手螺旋关系.1）在上述平面内围绕导线作一任意形状的闭合路径L(如图7.7所示),沿L计算B的环量.在路径L上任一点P处,dl与B的夹角为,它对电流通过点所张之角为.由于B垂直于矢径r ,因而dlcos就是dl在垂直于r方向上的投影,它就等于所对的以 r为半径的圆弧长,由于此弧长等于r,所以 (7.17)此式说明,当闭合路径L包围电流I 时,这个电流对该环路上B的环路积分为.

17、2）如果电流的方向相反,仍按图7.7所示的路径L的方向进行积分时,由于B的方向与图示方向相反,所以应该得 可见积分的结果与电流的方向有关.如果对电流的正负作如下规定,即电流的方向与L的绕行方向符合右手螺旋关系时,此电流为正,否则为负,则B的环路积分的值可以统一用式(7.17)表示.3）如果闭合路径不包围电流,如图7.8所示,L为在垂直于载流导线平面内的任一不围绕电流的闭合路径.过电流通过点作L的两条切线,将L分为两部分,沿图示方向计算B的环量为 可见,闭合路径L不包围电流时,该电流对沿这一闭合路径的B的环路积分无贡献.上面的讨论只涉及在垂直于长直电流的平面内的闭合路径.易证在长直电流的情况下,

18、对非平面闭合路径,上述讨论也适用.还可进一步证明,对于任意的闭合稳恒电流,上述B的环路积分和电流的关系仍然成立.这样,再根据磁场的叠加原理可得到,当有若干个闭合稳恒电流存在时,沿任一闭合路径L,合磁场的环路积分为 式中是环路L所包围的电流的代数和.上式就是我们要证明的安培环路定理式.值得指出,闭合路径L包围的电流的含义是指与L所链环的电流,对闭合稳恒电流的一部分（即一段稳恒电流）安培环路定理不成立；另外,在安培环路定理表达式中的电流是闭合路径L所包围的电流的代数和,但定理式左边的磁感应强度B ,却代表空间所有电流产生的磁感应强度的矢量和.三、安培环路定理的应用1 载流长直螺线管内的磁场设有一长

19、直螺线管,长为L ,共有N匝线圈,通有电流I ,由于螺线管很长,则管内中央部分的磁场是均匀的,并可证明,方向与螺线管的轴线平行.管的外侧,磁场很弱,可以忽略不计.为了计算螺线管中央部分某点P 的磁感应强度.可通过P 点作一矩形闭合线 abcda如图7.9所示.在如图的绕行方向下,B矢量的线积分为 由于磁场方向与螺线管的轴线平行,故bc ,da段上B与dl 处处垂直,所以,又 cd 在螺线管外侧附近,其上磁感应强度为零,所以,于是有 (7.18)由于P 点是长直螺线管内的中央部分任一点,所以上式就是螺线管中央部分的磁场分布,它是一匀强磁场.2 环形螺线管内的磁场如图7.10是环形空心螺线管的示意

20、图.设线圈匝数为N ,电流为I ,方向如图所示.如果导线绕的很密,则全部磁场都集中在管内,磁感应线是一系列圆环,圆心都在螺线管的对称轴上.由对称性可知,在同一磁感应线上的各点,磁感应强度B的大小相等,B的方向为沿磁感应线的切线方向,为计算管内某一点P的磁感应强度B ,选通过该点的一条磁感应线为闭合路径（如图是半径为 r 的圆周）,应用安培环路定理得 (7.19a)可见,环形螺线管内的磁感应强度B的大小与r成正比.若环形螺线管的内外半径之差比r小得多,则可认为环内各点的B值近似相等,其大小为 (7.19b)其中,R是环形螺线管的平均半径, n=N/2R为平均周长上单位长度的匝数.n 作业(P17

21、3)：7.20，7.227.5 磁场对载流导线的作用一、安培定律磁场的基本属性就是对处于其中的运动电荷有力的作用,前面我们根据这一属性定义了磁感应强度.而大量电荷作定向运动形成电流.载流导线处于磁场中,由于作定向运动的自由电子所受的磁力,传递给金属晶格,宏观上就表现为磁场对载流导线的作用.关于磁场对载流导线的作用力,安培从许多实验结果的分析中总结出关于载流导线上一段电流元受力的基本定律,即安培定律,其内容如下：磁场对电流元Idl的作用力dF与电流元的大小Idl、电流元所在处的磁感应强度B的大小,以及B与Idl之间的夹角的正弦成正比,其方向垂直于Idl和B决定的平面,指向遵守右手螺旋法则,即Id

22、lB的方向(如图7.11所示).其数学表达式为 (7.20)任何形状的载流导线在外磁场中所受的磁场力(即安培力),应该等于各段电流元所受磁力的矢量和,即 (7.21)这是一个矢量积分,一般情况下应化为分量式求解.但若各电流元的受力都沿同一方向,矢量积分就自然化为标量积分.例题7.2半径为R,电流为I 的半圆形载流导线置于磁感应强度为B的均匀磁场中,B和I的方向如图7.12所示.求半圆形载流导线受到的安培力.解：建立如图7.12所示的直角坐标系XOY.在半圆环上任取一电流元Idl,它受到的安培力的大小为 方向沿电流元的位矢方向.由图可知,dF沿X轴的投影 在Y轴上的投影 dl = - Rd,故

23、即半圆形载流导线受到的安培力为F=2BIR,方向沿Y轴正向.二、两平行长直电流之间的相互作用电流能够产生磁场,磁场又会对处于其中的电流施加作用力.因此,一电流与另一电流的作用就是一电流的磁场对另一电流的作用,这作用力可利用毕奥萨伐尔定律和安培定律通过矢量积分获得,在一般情况下计算比较困难.下面讨论一种简单情形,即两平行长直电流之间的相互作用.如图7.13所示,两条相互平行的长直载流导线,相距为 a ,分别载有同向电流. 在导线2中各点所产生的磁感应强度的大小为 方向如图,它对导线2中的任一电流元的作用力 可由安培定律得 其方向如图在两平行导线所在平面内,垂直指向导线1.其大小为 那么载流导线2

24、中每单位长度所受载流导线1的作用力大小为 (7.22)用同样的方法可以求得导线1中单位长度所受载流导线2的作用力大小为 (7.23) 与大小相等、方向相反,体现为引力；若两平行导线中的电流方向相反,则彼此间的相互作用为斥力.在国际单位制中,电流强度被作为基本物理量,它的单位安培(A)作为基本单位.这一基本单位就是利用两条相互平行的长直载流导线间的相互作用力来定义的：真空中两条载有等量电流,且相距为1米的长直导线,当每米长度上的相互作用力为210-7N 时,导线中的电流大小定义为1安培.据此定义及式(7.22)可得 可见真空的磁导率是一个具有单位的导出量.三、磁场对载流线圈的作用利用安培定律可以

25、分析匀强磁场对载流线圈的作用.图7.14表示了一个矩形平面线圈ABCD,其中边长，线圈内通有电流I ,我们规定线圈平面法线n的正方向与线圈中的电流方向满足右手螺旋关系.将这个线圈放在磁感应强度为B 的匀强磁场中,并设线圈的法线方向与磁场方向成角.根据安培定律,AD边和BC边所受磁场力始终处于线圈平面内,并且大小相等,方向相反,作用在同一条直线上,因而相互抵消.而AB边和CD边,由于电流的方向始终与磁场垂直,它们所受磁力的大小相等为 它们的方向相反,但不在同一直线上,因而构成力偶,为线圈提供了力矩,如图7.14(b)所示.此力矩的大小为 (7.24) (7.26)可见,当 (即线圈平面与磁场方向

26、平行)时,线圈所受力矩最大.在此力矩作用下,线圈将绕其中心并平行于AB边的轴转动.随着线圈的转动,角逐渐减小,当= 0 (即线圈平面与磁场方向垂直)时,力矩等于零,线圈达到稳定平衡状态.当=时,力矩也等于零,也是线圈的平衡位置,但这个位置不是线圈的稳定平衡位置,稍受扰动就会立即转到= 0的位置上去.以上结论是通过对均匀磁场中的矩形载流线圈的讨论得到的,但可证明对均匀磁场中的任意形状的载流平面线圈,上结果均适用.可见,对均匀磁场中的任意平面刚性线圈,线圈所受磁力为零而不发生平动,但在不为零的磁力矩作用下将发生转动.如果线圈处于非均匀磁场中,线圈除受力矩的作用外,还要受合力的作用,这样线圈除转动外

27、,还要发生平动.例题7.3如图7.15所示,在通有电流的长直导线旁有一平面圆形线圈,线圈半径为R,线圈中心到导线的距离为l ,线圈通有电流,线圈与直导线电流在同一平面内,求线圈所受到的磁场力.解：如图7.15所示,由式(7.9)可得在线圈上任一电流元处的磁感应强度大小为 方向垂直于纸面向内.据安培定律,电流元受到的磁场力大小为 方向沿半径向外,垂直于.由对称性可知上半球所受的力与下半球所受的力在竖直方向上的分量互相抵消,即 所以整个线圈所受的力为方向沿X轴正向.作业(P174)：7.246.6 洛仑兹力一、洛仑兹力实验表明,运动电荷在磁场中会受磁力作用,这种力称为洛仑兹力.本章第一节正是用这一

28、力定义了磁感应强度.前已述及,磁场对电流元的作用是磁场对运动电荷作用的整体体现 ,即安培力起源于洛仑兹力.下面利用安培定律推出洛仑兹力公式.设电流元Idl的横截面积为S,如果载流子的电量为q,都以速度作定向运动而提供电流I .设导体单位体积内的载流子数为 n ,则 电流元Idl的方向就是正载流子作定向运动的方向,即的方向,于是安培定律可化为 式中N是电流元所包含的载流子总数.则单个载流子所受的力为 (7.27)这就是电量为q ,以速度为运动的带电粒子在磁感应强度为B的磁场中运动时所受的洛仑兹力.电量q是代数量,当 q 0 时,f 的方向与的方向相同；当 q 0 ,则离子受的电场力 其方向与板面

29、垂直向右.设离子运动的速度为,则离子所受的磁场力 其方向与板面垂直向左.当离子的速度大小恰好使离子所受的电场力与洛仑兹力等值反向时,离子方能沿原来的方向直线前进,并穿过速度选择器,即要满足 可见,只有当速度的离子,才可通过速度选择器.所以能利用调节E或B的大小改变通过离子的速度.将题中数据代入得 即只有速度等于的离子才能穿过速度选择器.二、带电粒子在磁场中的运动1 情形当带电粒子以垂直于磁场的方向进入磁场时,粒子在垂直于磁场的平面内作匀速圆周运动,洛仑兹力提供了向心力,于是有下面的关系 式中m和q分别是粒子的质量和电量,R是圆形轨道的半径.由上式可得粒子作圆形轨道的半径为 (7.28)粒子运动

30、的周期T,即粒子运动一周所需要的时间为 (7.29)以上关系表明,尽管速率大的粒子在大半径的圆周上运动,速率小的粒子在小半径的圆周上运动,但它们运行一周所需要的时间却都是相同的.这个重要的结论是回旋加速器的理论依据.2 间有任意夹角如图7.17所示, 间有任意夹角,我们可以将粒子的运动速度分解为垂直于磁场的分量和平行于磁场的分量,它们分别表示为 ， 显然,如果只有分量,带电粒子的运动如上1中情形讨论的结果,它将在垂直于磁场的平面内作圆周运动,运动周期由式(7.29)所给；如果只有分量,带电粒子不受磁场力,它将沿B的方向作匀速直线运动.一般当这两个分量同时存在,粒子则沿磁场的方向作螺旋线运动,如

31、图7.17(b)所示,在一个周期 T内,粒子回旋一周,沿磁场方向移动的距离为 (7.30)这个距离称为螺旋线的螺距.上式表示螺旋线的螺距h与无关.这意味着,无论带电粒子以多大的速率进入磁场,也无论沿何方向进入磁场,只要它们平行于磁场的速度分量 是相同的,它们螺旋线运动的螺距就一定相等.如果它们是从同一点射入磁场,那么它们必定在沿磁场方向上与入射点相距螺距h整数倍的地方又会聚在一起.这与光束经透镜后聚焦的现象相类似,故称为磁聚焦.电子显微镜中的磁透镜就是磁聚焦原理的应用.作业(P174)：7.27三、霍尔效应1879年霍尔(A.H.hall)发现下述现象：在匀强度磁场B中放一板状金属导体,使金属

32、板面与磁场垂直,金属板的宽度为a,厚度为 b,如图7.18所示,在金属板中沿着与磁场B垂直的方向通一电流I 时,在金属板的上下两表面间会出现横向电势差.这个现象称为霍尔效应,电势差称为霍尔电势差.实验测定,霍尔电势差的大小与磁感应强度B 的大小成正比,与电流强度I 成正比,与金属板的厚度b 成反比,即 或 (7.31)式中是仅与导体的材料有关的常数,称为霍尔系数.金属导体中的电流是电子的定向运动形成的,运动着的电子在磁场中受到洛仑兹力作用.如图7.18所示,以速度运动的电子受到向上的洛仑兹力的作用,在这力的作用下,电子向上漂移,使得导体的上表面积累过多的电子,下表面出现电子不足,从而在导体内出

33、现方向向上的电场.这电场对电子有向下的作用力,当这电场大到使其对电子的作用力-eE与电子受到的洛仑兹力大小相等时就达到稳态,相应的电场也就稳定下来,这时的电场称为霍尔电场,用表示,因此有 由此可求得霍尔电势差(导体上下表面之间的电势差)为 式中负号表示电势梯度的方向与的方向相反.设导体内电子的数密度为n ,于是,将由此得到的定向运动速度代入上式,可得 (7.32)与式(7.31)相比较,则得金属导体的霍尔系数 (7.33)霍尔效应不只在金属导体中产生,在半导体和导电流体(如等离子体)中也会产生.相应的载流子可以是电子,也可以是正、负离子.霍尔电势差和霍尔系数一般可表为 (7.34)其中q是载流

34、子的电量,可正可负,是代数量.通过对霍尔系数的实验测量可以确定导体或半导体中载流子的性质.据霍尔系数的大小,还可测量载流子的浓度.值得指出,金属是电子导电,霍尔系数应为负值,但实验发现对有些金属,如铁、钴、锌、镉和锑等,霍尔系数为正,对此,需用金属中电子的量子力学理论予以解释.等离子体的霍尔效应是磁流体发电的基本理论依据.工作气体(常用含有少量容易电离的碱金属的惰性气体)在高温下充分电离而达到等离子态,当以高速垂直通过磁场时,正、负电荷在洛仑兹力的作用下将向相反方向偏转并分别聚集在正、负电极上,使两极出现电势差.只要工作气体连续地运行,两极就会不断地对外提供电能.磁流体发电是直接将热能转变为电

35、能的,所以具有比火力发电高得多的效率,并且可以在极短的时间内达到高功率运行状态,从而可以方便地按时间合理分布电能生产的要求.7.7 磁力的功由于载流导线或线圈在磁场中会受到力或力矩的作用,因此当它们在磁场中运动时,磁力或磁力矩将会对导线或线圈做功.一、载流导线在磁场中运动所作的功载流导线在磁场中运动时磁力所作的功如图7.19所示,在磁感应强度为B 的均匀磁场中,有一导线ab长为l,可在含源导体框架上滑动.当框架上的电流为I时,ab导体所受的磁力大小F= IlB ,方向向右.当滑动距离不大时,ab中的电流可以认为不变,这时磁力的功为 (7.38)式中为通过载流回路所围面积的磁通量的增量.上式表明

36、,当载流导线在磁场中运动时,如果电流保持不变,磁力所作的功等于电流乘以通过回路所环绕的面积内磁通量的增量,即等于电流乘以载流导线ab在移动中所切割的磁感应线数.二、载流线圈在磁场内转动时磁场力所作的功载流线圈在磁场内转动时磁场力所作的功如图7.20所示,在磁感应强度为B的均匀磁场中,有一矩形载流线圈abcd,面积为S ,所载电流为I ,所受到的磁力矩.当线圈平面转过角度时,磁力矩作的元功 (7.39)式中负号表示磁力矩作正功时将使减小.当线圈从转到时,磁力矩所作的总功 若在转动过程中 I 保持不变,则 (7.40)式中。上式表明,当载流线圈在磁场中转动时,如果电流保持不变,磁力矩所作的功也等于

37、电流乘以线圈中磁通量的增量.可以证明,一个任意的闭合电流回路在磁场中改变位置或形状时,如果保持回路中电流不变,则磁力和磁力矩所作的功都可按计算,这是磁力作功的一般表示.7.8 物质的磁性一、磁介质的磁化及磁化强度1 磁介质及其磁化在磁场中,凡受到磁场的作用并能够对磁场发生影响的物质都属于磁介质.实验表明,一切物质都能够对磁场发生影响,所以都属于磁介质.磁介质在磁场作用下的变化称为磁介质的磁化.实验证明,在匀强磁场(如一载流长直螺线管内的磁场)中,如果放有均匀磁介质,那么在磁化了的磁介质中,磁感应强度B可能大于、也可能小于磁介质不存在时真空中的磁感应强度.磁介质中的磁感应强度B ,是和磁介质因磁

38、化而产生的磁感应强度叠加的结果,即 (7.41)按磁性,物质可分为三类：一类为顺磁质,例如锰、铬、氧、铂、氮等,这些物质中, 与同向,因此；第二类为抗磁质,例如水银、铜、铋、氢、银、金、铅等,这些物质中, 与反向,因而,第三类为铁磁质,有铁、钴、镍、扎及这些金属的合金等,这些物质中B与成非线性关系,通常 .物质的磁性可以从其电结构中得到解释.构成物质的原子中每一个电子同时参与两种运动,一种是绕核的轨道运动,一种是自旋.这两种运动都对应一定的磁矩：与绕核的轨道运动相对应的是轨道磁矩,与自旋相对应的是自旋磁矩.整个原子的磁矩是它所包含的所有电子轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和.不同物质的原子包含的电子数

39、目不同,电子所处的状态不同,其轨道磁矩和自旋磁矩合成的结果也不同.所以有些物质的原子磁矩大些,有些物质的原子磁矩小些,还有些物质的原子磁矩恰好为零.另外,有些物质的原子磁矩虽然不为零,但多个原子合成一个分子时,合成的结果使分子磁矩等于零.分子磁矩不为零的物质,其分子磁矩可以看作为由一个等效的圆电流所提供的,这个圆电流称为分子电流.在无外磁场时,由于分子的热运动,物质中各分子磁矩混乱取向,致使任何宏观体积元内的分子磁矩的矢量和等于零,所以宏观上不显磁性.当受到外磁场作用时,分子磁矩将在一定程度上沿外磁场方向排列,任何宏观体积元内所有分子磁矩的矢量和不再为零,从而对外显示磁性,并且外磁场越强,分子

40、磁矩排列的有序程度越高,相同体积内分子磁矩的矢量和也越大,对外所显示的磁性也就越强.分子热运动是会破坏分子磁矩的有序排列的,一旦将外磁场撤除,分子磁矩立即回到无序状态,磁性也就消失了.这种磁性称为顺磁性,具有顺磁性的物质便为顺磁质.分子磁矩为零的物质,其磁性来源于原子中电子在外磁场的作用下所产生的附加运动(即进动),这种附加运动也等效为某一圆电流并对应一定磁矩.但由于电子带负电,这种磁矩的方向总是与外磁场的方向相反,故得名为抗磁性.具有抗磁性的物质便是抗磁质.2 磁化强度为描述磁介质磁化的强弱程度,可引入一个新的物理量磁化强度矢量M,其定义为单位体积分子磁矩矢量和,即 (7.42)式中是体积内

41、的分子磁矩矢量和.如果磁介质中各处的磁化强度的大小和方向都一致,就称为均匀磁化.3 磁化强度与磁化电流的关系磁介质磁化的另一个宏观表现是出现束缚电流(即磁化电流),例如载流直螺线管中圆柱形磁介质的磁化,在圆柱侧面就会出现磁化电流.显然,磁化电流和磁化强度是同一物理现象的不同表现,它们之间一定存在着某种确定的关系,下面就来讨论这一关系.在被磁化了的介质内任取一闭合回路L,现我们来计算穿过L的磁化电流.磁化电流是分子电流的宏观表现,如图7.21(a)所示,对于闭合回路L,分子电流有如下三种情况：一是与L所围的曲面相交两次；二是与上曲面不相交；三是与上曲面相交一次(即与L所环绕的分子电流).显然只有

42、第三种情况的分子电流对穿过L的电流有贡献.如图7.21(b)在L上选一线元dl,设其上分子电流圈的面矢为a,现以dl为轴,作一底面为a的斜圆柱.那么中心处于这一圆柱的分子,其分子电流均与dl 所链环,由此可得与dl 所链环的电流为 其中i 是每个分子的电流,n是单位体积的分子数.对整个闭路L积分就可得穿过L的磁化电流为 (7.43)这就是磁化电流与磁化强度的关系.将上关系应用于已被磁化的介质的表面,进一步可得磁化强度与介质表面磁化电流的关系 (7.44)其中是磁化强度M沿介质表面的切向分量.二、磁场强度 有介质时的安培环路定理磁化电流与传导电流一样,也有磁效应,所以空间总的磁感应强度就如(7.

43、41)式所表示.考虑到磁化电流的贡献,有介质时磁场的安培环路定理为 (7.45)磁化电流I 不能预先知道,也不能实验测量,所以有必要用可测物理量来代替.将(7.43)式中的磁化电流代入上式并整理得 (7.46)对于给定的介质,B与M有一确定的关系,这可用实验测定,从而知道电流I 就可确定B的分布.为方便,引入一个新的物理量磁场强度H ,即 (7.47)此式也称为磁介质的性能方程,这样式 (7.46)变为 (7.48)此即有介质时的安培环路定理.它表明磁场强度H沿磁场中任意闭合路径L的线积分(即H的环量),等于此闭合回路所包围传导电流的代数和.在磁场分布具有一定对称性时,可利用式(7.48)求解

44、磁介质中给定电流分布时磁场强度H的分布,并进一步求出磁感应强度B的分布.对于各向同性线性非铁磁物质,实验表明磁化强度M与磁感应强度B成正比,进而磁化强度M与磁场强度H成正比,即 (7.49)式中称为磁介质的磁化率,将式(7.49)代入式(7.47)得 (7.50)式中称为磁介质的相对磁导率, 称为磁介质的绝对磁导率.式(7.50)是式(7.47)在各向同性线性非铁磁物质情况下的关系.当时,就回到了真空情形.所以本章前面对真空情形的所有关系,只要将换为就可将其推广到各向同性线性非铁磁物质中来.在国际单位制中,磁化强度M和磁场强度H的单位都是安培米-1 (Am-1 ).三、抗磁性（不讲）四、铁磁质

45、铁磁质具有很大的磁导率,在外磁场的作用下,铁磁质将产生与外磁场方向相同,量值很大的磁感应强度.不仅如此,铁磁质还有如下特性：(1) 铁磁质的磁导率(以及磁化率)不是恒量,而随所在处的磁场强度H而变化,且有较复杂的关系；(2) 有明显的磁滞效应.下面简单介绍铁磁质的特性.用实验研究铁磁质的性质时通常把铁磁质试样做成环状,外面绕上若干匝线圈(如图7.23).线圈通电后,铁磁质就被磁化.当这励磁电流为 I 时,环中的磁场强度H为 式中N为环上线圈的总匝数,r为环的平均半径.这时环内B可以用另外的方法测出,于是可得一组对应的H和B的值,改变电流 I ,可以依次测得许多组H和B的值(由于磁化强度M和H及

46、B有一定的关系,所以也就可以求得许多组H和M的值),这样就可以绘出一条关于试样的H-B(或H-M)关系曲线以表示试样的磁化特点.这样的曲线叫磁化曲线.1 磁化曲线如果从试样完全没有磁化开始,逐渐增大电流I ,从而逐渐增大H,那么所得的磁化曲线叫起始磁化曲线 ,一般如图7.24所示.H增大时,B随H成正比的增大.H再稍大时B就开始急剧地但也约成正比的增大,接着增大变慢,当H达到某一值后再增大时,B就几乎不再随H的增大而增大了.这时铁磁质试样达到了一种磁饱和状态,它的磁化强度M达到了最大值.根据 ,可以求出不同H值时的值, 随H变化的关系曲线也对应的以虚线画在图7.24中.实验证明,各种铁磁质的起

47、始磁化曲线都是“不可逆”的,即当铁磁质达到饱和后,如果慢慢减小磁化电流以减小H的值,铁磁质中的B并不沿起始磁化曲线逆向逐渐减小,而是减小的比原来增加时慢.如图7.25中ab线段所示,当I = 0,因而H =0时,B并不等于0,而是还保持一定的值.这种现象叫磁滞效应.H恢复到零时铁磁质内仍保留的磁化状态叫剩磁,相应的磁感应强度常用表示.要想把剩磁完全消除,必须改变电流的方向,并逐渐增大这反向的电流(图7.25中bc段).当H增大到时,B = 0 .这个使铁磁质中的B 完全消失的值叫铁磁质的矫顽力.再增大反向电流以增大H,可以使铁磁质达到反向磁饱和状态(cd段).将反向电流逐渐减小到零,铁磁质会达

48、到所代表的反向剩磁状态(de段).把电流改回原来的方向并逐渐增大,铁磁质又会经过表示的状态而回到原来的饱和状态(efa 段).这样磁化曲线就形成了一个闭合曲线,这一闭合曲线叫磁滞回线.当从起始磁化曲线的不同位置开始减小电流(磁场强度H)将得到不同的磁滞回线.由磁滞回线可以看出,铁磁质的磁化状态并不能由激励电流或H值单值的确定,它还取决于该铁磁质此前的磁化历史.不同铁磁质的磁滞回线的形状不同,表示它们具有不同的剩磁和矫顽力.纯铁、硅钢、坡莫合金(含铁、镍)等材料的很小,因而磁滞回线比较瘦(图7.26(a),这些材料叫软磁材料,常用作变压器和电磁铁的铁芯.碳钢、钨钢、铝镍钴合金(含Fe、Al、Ni

49、、Co、Cu)等材料具有较大的矫顽力,因而磁滞回线显得肥胖(图7.26(b),当外磁场撤去后,这种材料能保留很强的剩磁,这种材料叫硬磁材料,常用来作永磁体.锰-镁铁氧体、锂-锰铁氧体,其磁滞回线接近于矩形(图7.26(c),这种材料叫矩磁材料,其特征是矫顽力很小,且剩磁非常接近于饱和值.因此当外磁场趋于零时,只能处于和-两种剩磁状态.当外磁场方向改变时,可以从一个稳定状态“翻转”到另一个稳定状态,若用这种材料的两种剩磁状态分别代表计算机二进制中的两个数码0和1,则能在计算机中起“记忆”作用.电子计算机储存元件的环形磁芯,录音、录象磁带以及现代电机的铁芯均要用到这样的材料.实验指出,铁磁质反复磁

50、化时将要吸热,硬磁物质较软磁物质更为显著,由此引起的能量损失称为磁滞损耗,理论和实践都证明,铁磁质反复磁化一次的磁滞损耗,与磁滞回线所包围的面积成正比,而磁滞损失的功率与反复磁化的频率成正比.2 铁磁质磁化特性的微观解释磁畴铁磁性不能用一般的顺磁质的磁化理论来解释.因为铁磁质的单个原子或分子并不具有任何特殊的磁性.例如铁原子和铬原子的结构大致相同,铁是典型的铁磁质,而铬是普通的顺磁质.另一方面,铁磁质总是固相,这一事实都说明了铁磁性是一种与固体结构有关的性质.现代的理论和实验都证明在铁磁质内存在许多线度约为的小区域,在这些小区域内相邻原子间存在着一种特殊的相互作用力,称为交互耦合作用,这种相互

51、作用致使它们的磁矩平行排列,在无外磁场时这些小区域已自发磁化到饱和状态.这种自发磁化小区域叫磁畴.对未磁化的铁磁质,各磁畴的磁矩取向是无规则的,因而整块铁磁质在宏观上没有明显的磁性.当在铁磁质内加上外磁场并逐渐增大时,其磁矩方向与外磁场方向相近的磁畴体积逐渐扩大,而方向相反的磁畴体积逐渐缩小,直至自发磁化方向与外磁场偏离较大的那些磁畴全部消失.而后随着外磁场的进一步增加,留存的磁畴逐渐转向外磁场方向,直到所有的磁畴都与外磁场的方向相同,磁化就达到饱和状态.上述磁化过程是一不可逆过程.在磁化停止后,各磁畴之间的某种排列仍保留下来,而表现为剩磁和磁滞现象.振动和加热能够促进去磁作用,也证实上述观点.铁磁性和磁畴结构的存在是分不开的,当铁磁体受到强烈震动,或在高温下剧烈的热运动使磁畴瓦解时,铁磁体的铁磁性也就消失了,居里(P.Curie)曾发现,对任何铁磁质来说,各有一特定的温度,当铁磁体的温度高于这一温度时,铁磁性就完全消失而成为普通的顺磁质,这一温度叫居里温度或居里点.如铁的居里温度是770oC,铁硅合金的居里温度是690oC.作业(P175)：7.2927