专题10 函数中点的存在性问题（原卷版）[共10页]

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1、决战2020年中考典型压轴题大突破模块三 中考压轴题函数综合题专题考向导航函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型。近几年的中考压轴题多以数学综合题的形式出现。解数学综合题一般可分为认真审题、理解题意,探求解题思路,正确解答三个步骤。解数学综合题必须要有科学分析问题的方法。数学思想是解数学综合题的灵魂,要善于总结数学综合题中所隐含的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等,更要结合实际问题加以领会与掌握,这是学习解综合题的关键。函数是初中数学的重点,也是难点,更是中考命题的主要考查对象,由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想,能较全面

2、地反映学生的综合能力,因此是各地中考的热点题型,并且长盛不衰,年年有新花样。 专题10 函数“存在性”问题方法点拨这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是:假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断,导出矛盾,就做出不存在的判断.由于“存在性”问题的结论有两种可能,所以具有开放的特征。在假设存在性以后进行的推理或计算,对基础知识、基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性,正确、完整地解答这类问题,是对我们知识能力的一次全面的考验。精典例题(201

3、9白银)如图,抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3,0）,B（4,0）两点,与y轴交于点C,连接AC,BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PMx轴,垂足为点M,PM交BC于点Q试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由；（3）过点P作PNBC,垂足为点N请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少？【点睛】（1）由二次函数交点式表达式,即可求解；（2）分ACAQ、ACCQ、CQAQ三种情况,分别求解即可；（

4、3）由PNPQsinPQN=22（-13m2+13m+4+m4）即可求解稳固突破1(2020青白江区模拟)如图,抛物线yax2+bx+c与x轴相交于A（3,0）、B两点,与y轴交于点C（0,3）,点B在x轴的负半轴上,且OA3OB（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点,求ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M,使BM+22CM的值最小？若存在,请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在,请说明理由2(2019青海)如图1（注：与图2完全相同）,在直角坐标系中,抛物线经过点A（1,0）、B（5,0）、C（0,4）三点（1）求抛

5、物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点,求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E,使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在,请求出点E坐标,若不存在请说明理由（请在图2中探索）3(2020锦江区模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+c的图象与x轴交于A（4,0）,B两点,与y轴交于点C（0,2）,对称轴x=32与x轴交于点H（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线ykx+1（k0）与y轴交于点E,与抛物线交于点 P,Q（点P在y轴左侧,点Q在y轴右侧）,连接CP,CQ,若CPQ的面积为17

6、2,求点P,Q的坐标；（3）在（2）的条件下,连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将线段GK绕点G逆时针旋转90,使点K恰好落在抛物线上,若存在,请直接写出点K的坐标；若不存在,请说明理由4(2020下陆区模拟)如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为（0,8）,点C的坐标为（6,0）抛物线y=-49x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合）,点Q为线段AC上一个动点,AQCP,连接PQ,设CPm,CPQ的面积为S求S关于m的函数表达式；当S最大时,在抛物线y=-49x2+bx+c的对称轴l上

7、,若存在点F,使DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在,请说明理由5(2019临朐二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+1交y轴于点A,交x轴正半轴于点B（4,0）,与过A点的直线相交于另一点D（3,52）,过点D作DCx轴,垂足为C（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O,C重合）,过P作PNx轴,交直线AD于M,交抛物线于点N,NEAD于点E,求NE的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点,设OP的长为t是否存在t,使以点M,C,D,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由6(2019恩施州)如图,抛

8、物线yax22ax+c的图象经过点C（0,2）,顶点D的坐标为（1,-83）,与x轴交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（2）连接AC,E为直线AC上一点,当AOCAEB时,求点E的坐标和AEAB的值（3）点F（0,y）是y轴上一动点,当y为何值时,55FC+BF的值最小并求出这个最小值（4）点C关于x轴的对称点为H,当55FC+BF取最小值时,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使QHF是直角三角形？若存在,请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由7(2019阜新)如图,抛物线yax2+bx+2交x轴于点A（3,0）和点B（1,0）,交y轴于点C（1）求这个抛物线的函数表达式（2）点D的坐标为（1

9、,0）,点P为第二象限内抛物线上的一个动点,求四边形ADCP面积的最大值（3）点M为抛物线对称轴上的点,问：在抛物线上是否存在点N,使MNO为等腰直角三角形,且MNO为直角？若存在,请直接写出点N的坐标；若不存在,请说明理由8(2019通辽)已知,如图,抛物线yax2+bx+c（a0）的顶点为M（1,9）,经过抛物线上的两点A（3,7）和B（3,m）的直线交抛物线的对称轴于点C（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点）,是否存在点D,使得SDAC2SDCM？若存在,求出点D的坐标；若不存在,请说明理由（3）若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当

10、以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P的坐标9(2019长沙模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x1与抛物线y=-512x2+bx+c相交于A,B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为6,点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与点A,B重合）（1）求该抛物线的解析式；（2）连接PA,PB,在点P运动的过程中,是否存在某一位置,使得PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）过点P作PDy轴交直线AB于点D,以PD为直径的E与直线AB相交于点G,求DG的最大值10(2019硚口区区模拟)抛物线y=a

11、x2-12x+54经过点E（5,5）,其顶点为C点（1）求抛物线的解析式,并直接写出C点坐标（2）将直线y=12x沿y轴向上平移b个单位长度交抛物线于A、B两点若ACB90,求b的值（3）是否存在点D（1,a）,使抛物线上任意一点P到x轴的距离等于P点到点D的距离？若存在,请求点D的坐标；若不存在,请说明理由11(2020云南模拟)如图,抛物线yax2+bx+3经过点 B（1,0）,C（2,3）,抛物线与y轴的交点A,与x轴的另一个交点为D,点M为线段AD上的一动点,设点M的横坐标为t（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线,交抛物线于点P,设线段PM的长为1,当t为何值时,1的长最

12、大,并求最大值；（先根据题目画图,再计算）（3）在（2）的条件下,当t为何值时,PAD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下,是否存在点P,使PAD为直角三角形？若存在,直接写出t的值；若不存在,说明理由12(2019大渡口区模拟)如图,抛物线y=-35x2+125x+3与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,连结BC（1）如图1,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN、BN点P是直线AB上的动点当NBC面积取得最大值时,求出点N的坐标及NBC面积的最大值,并求此时PN+CP的最小值；（2）如图2,点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM、PC

13、,是否存在这样的点P,使PCM为等腰三角形,PMB为直角三角形同时成立？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由13(2019崇安区一模)已知二次函数yax29ax+18a的图象与x轴交于A,B两点（A在B的左侧）,图象的顶点为C,直线AC交y轴于点D（1）连接BD,若BDOCAB,求这个二次函数的表达式；（2）是否存在以原点O为对称中心的矩形CDEF？若存在,求出这个二次函数的表达式,若不存在,请说明理由14(2019长沙一模)如图,已知直线ykx6与抛物线yax2+bx+c相交于A,B两点,且点A（1,4）为抛物线的顶点,点B在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二

14、象限图象上是否存在一点P,使POB与POC全等？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点,且ABQ为直角三角形,求点Q的坐标15(2019海南)如图,已知抛物线yax2+bx+5经过A（5,0）,B（4,3）两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合）,设点P的横坐标为t当点P在直线BC的下方运动时,求PBC的面积的最大值；该抛物线上是否存在点P,使得PBCBCD？若存在,求出所有点P的坐标；若不存在,请说明理由16(2019山西)综合与探究如图,抛物线yax2+bx+6经过点A（2,0

15、）,B（4,0）两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m（1m4）连接AC,BC,DB,DC（1）求抛物线的函数表达式；（2）BCD的面积等于AOC的面积的34时,求m的值；（3）在（2）的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由17(2019眉山)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-49x2+bx+c经过点A（5,0）和点B（1,0）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P是抛物线上A、D之间的一点,过点P作PEx轴于点E,PGy轴,交抛物线于点G,过点G作GFx轴于点F,当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标；（3）如图2,连接AD、BD,点M在线段AB上（不与A、B重合）,作DMNDBA,MN交线段AD于点N,是否存在这样点M,使得DMN为等腰三角形？若存在,求出AN的长；若不存在,请说明理由知识改变命运