[其它]概率统计第三章

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1、第三章第三章 条件概条件概率与事件的独立性率与事件的独立性 一、一、条件概率条件概率 例例1.4.1袋中有袋中有5球，球，3新新2旧，从中任取一球，无返回的取旧，从中任取一球，无返回的取 两次，两次，A=第一次取新球，第一次取新球，B=第二次取新第二次取新球。球。352434这是当第一次取新球时，第二次取新球的概率这是当第一次取新球时，第二次取新球的概率这是当第一次取旧球时，第二次取新球的概率这是当第一次取旧球时，第二次取新球的概率条件概率的直观定义：设有事件条件概率的直观定义：设有事件A，B，P（A）0，在事件，在事件A发生的条件下，发生的条件下，B发生的概率称为条件概率。记为发生的概率称为

2、条件概率。记为P（B|A）3P(B)5在上例中：2P(B|A)43P(B|A)4=P(B)310P(AB)例例1.4.2 某班有学生某班有学生40人，其中团员人，其中团员15人，全班分为人，全班分为4组，第一组组，第一组 10人，其中团员人，其中团员4人，今从班内任抽一人去执行某项任务，人，今从班内任抽一人去执行某项任务，令：令：A=抽出第一组的同学，抽出第一组的同学，B=抽出团员。抽出团员。P(A)P(B)P(AB)P(A|B)P(B|A)求：，10P(A)40，4P(A|B)5 144015404P(B|A)10440104015P(B)40，4P(AB)40解：解：P(AB)P(B)P(

3、AB)P(A)可看出可看出 1.原来的无条件概率是条件概率的特款原来的无条件概率是条件概率的特款2.条件概率中的条件是把原来的样本条件概率中的条件是把原来的样本 空间缩小了。空间缩小了。P(A)AP(A|B)ABB如图：是 在 中所占的比例，是在 中所占的比例。1.4.1FPBP(B)0,P(AB)AP(A|B)BP(B)A定义设（，）为概率空间，且则对，称（）为在 发生的条件下，发生的条件概率。F F P(A)B=P(A|)P(A)P()特别 当时条件概率的性质：条件概率的性质：iijiii 1i 11AP(A|B)02P(|B)13Ai=1 2A A,ij,i,1,2P(A|B)P(A|B

4、)j（）非负性：对，有；（）规范性：=；（）可列可加性；若，.，且则有；F F(4)P(|B)0iijnniii 1i 15Ai=1 2A A,ij,P(A|B)P(A|B)（）有限可加性；若，.，且则有；F P(A|B)1P(A|B)特别：(6)ABP(B-A)|CP(B|C)P(A|C)（减法公式）若，则(7)P(A+B)|CP(A|C)P(B|C)P(AB|C)（一般加法公式）nniiiji=1i 11 i j nn 1ijk12n1 i j k n(8)(P(A|B)P(A|B)P(A A|B)P(A A A|B).(1)P(A A.A|B)多除少补原理）计算条件概率的方法：计算条件概

5、率的方法：1.从实际出发，直接计算；从实际出发，直接计算；2.利用定义的公式利用定义的公式例例1.4.3 据统计，人的寿命超过据统计，人的寿命超过60岁的可能性为岁的可能性为0.4，超过，超过70岁岁 的可能性为的可能性为0.28，今有一位老人，今有一位老人61岁，问他能超过岁，问他能超过70 的概率是多大？的概率是多大？X 解：设人的寿命为，P(X60)0.4.P(X7.0)0.28根据已知条件，有：P(X60X70)P(X70|X60)P(X60)P(X70)P(X60)0.280.70.4这位老人的寿命超过这位老人的寿命超过70岁的可能性为岁的可能性为70%，远大于，远大于0.4，真是越

6、活越有希望！？真是越活越有希望！？应用定义应用定义例例1.4.5 有一对青年夫妇已有两个女孩，欲生第三胎，有一对青年夫妇已有两个女孩，欲生第三胎，要个男孩，问第三胎是男孩的概率是多少？要个男孩，问第三胎是男孩的概率是多少？解：有三个孩子的家庭，其情形为：解：有三个孩子的家庭，其情形为：男，男，男，男，男，女，男，女，男，男，女，女，女，男，男，女，男，女，女，女，男，女，女，女设设 A=前两胎是女孩前两胎是女孩 B=第三胎是男孩。第三胎是男孩。1 P(B|A)2显然P(AB)P(A|B)P(B)性质2：由条件概率P(AB)P(B)P(A|B)称为乘法公式下面我们推出多个事件积的计算公式下面我们

7、推出多个事件积的计算公式123P(A A A)12312P(A A)P(A|A A)312P()P()P(A|A A)二、乘法公式二、乘法公式 看到如此乘法公式，不难联想人生道路的坎坷，看到如此乘法公式，不难联想人生道路的坎坷，要成为一个伟人或做成一件大事是多么的不容易！要成为一个伟人或做成一件大事是多么的不容易！123nP(A A A.A)P()P()4123P(A|A A A).n123n 1.P(A|A A A.A)312P(A|A A)例例1.4.6（抽样问题）罐中有抽样问题）罐中有a个红球、个红球、b个黑球，每次随机的任个黑球，每次随机的任 取一球，取后返回，同时加进取一球，取后返回

8、，同时加进c个同色球和个同色球和d个异色球，若个异色球，若 连续从罐中取三次，求取出两个红球和一个黑球的概率？连续从罐中取三次，求取出两个红球和一个黑球的概率？iAii=1 2 3解：设“第 次取出红球”，。B“三次取球中两次取红球和一次取黑球”。123123123B=A A AA A AA A A则aab123121312P(A A A)P(A)P(A|A)P(A|A A)acabcd b2dab2c2d123121312P(A A A)P(A)P(A|A)P(A|A A)aabbdabcd acdab2c2d 123121312P(A A A)P(A)P(A|A)P(A|A A)babad

9、cab2c2d从上面的三项计算中可看出，概率与黑球在第几次被抽有关。从上面的三项计算中可看出，概率与黑球在第几次被抽有关。adabcd a(ac)(b2d)a(bd)(acd)b(ad)(adc)P(B)(ab)(abcd)(a+b+2c+2d)1、当、当 c=，时；，时；无返回抽样，前次抽取结果影响后次抽去结果。无返回抽样，前次抽取结果影响后次抽去结果。但只要抽取红球和黑球的个数确定，但只要抽取红球和黑球的个数确定，概率与红黑球出现的次序无关。概率与红黑球出现的次序无关。123123123a(a1)bP(A A A)P(A A A)P(A A A)(a+b)(a+b-1)(a+b-2)2、当

10、，时，、当，时，有返回抽样，前次抽取结果不影响后次抽去结果。有返回抽样，前次抽取结果不影响后次抽去结果。21231231233a bP(A A A)P(A A A)P(A A A)(ab)为无返回抽样为无返回抽样为有返回抽样。为有返回抽样。此模型称为波利亚（此模型称为波利亚（Polya)模型，有下列各种变化模型，有下列各种变化(3)c0,d0当时，每次取出球后，就会增加下一次取出同色球的概率。每次取出球后，就会增加下一次取出同色球的概率。1aP(A)ab312accP(A|A A)abcc 21acP(A|A)abc(4)c0,d0当时，每次发生了事故（红球取出），每次发生了事故（红球取出），

11、安全工作就会抓的紧一些，安全工作就会抓的紧一些，下次出现事故的概率就减少了。下次出现事故的概率就减少了。1aP(A)ab21aP(A|A)abd312aP(A|A A)ab2d称为传染病模型。为安全模型。全概率公式计算比较复杂事件的概全概率公式计算比较复杂事件的概率率,它们实质上是加法公式和乘法公式它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。的综合运用。综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0 三、全概率公式三、全概率公式123n00iiji=1123niii 1BBB.B.1B2B Bij,i,j1

12、,2,.n.BBB.B.AP(A)P(B)P(A|B)定理：(全概公式）若，满足条件：就称，为完备事件组。则对任意有F P(A)P(A)证明：ii=1P(AB)ii 1P(B A)iii 1P(B)P(A|B)ii 1P(AB)1B2B3B.nB.1AB2AB3ABnAB若事件若事件A的发生是由多种原因之一所引起的，则事件的发生是由多种原因之一所引起的，则事件A发生可能性的大小是由各原因自所占的发生可能性的大小是由各原因自所占的“地位地位”及其及其“内部素质内部素质”所决定所决定例例1.4.7袋袋中有中有5球，球，3新新2旧，从中任取一球，旧，从中任取一球，无无 返回的取两次，求第二次取得新球

13、的概率？返回的取两次，求第二次取得新球的概率？AB解：设第一次取新球，第二次取新球。P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)3 22 335 45 45AA显然与构成完备事件组例例.15.7某厂甲乙丙三个车间生产同种产品，其产量分别为总产的某厂甲乙丙三个车间生产同种产品，其产量分别为总产的 50%，30%，20%。在生产中各自出现次品的概率分别为。在生产中各自出现次品的概率分别为 0.05 0.03 0.01 此产品放在同一库中。此产品放在同一库中。今欲从库中任取一件产品，求取得次品的概率？解：1 23BBBA设，分别表示抽出甲、乙、丙生产的产品，=抽出次品。依题意：1P(B)0.5,

14、2P(B)0.3，3P(B)0.2，1P(A|B)0.052P(A|B)3P(A|B)=0.03 =0.01112233P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)3iii 1P(B)P(A|B)0.036甲50%乙30%丙20%乙中3%丙中1%甲中5%现在，我们对例现在，我们对例7再提出一个问题：若取一件产品发现是次品，再提出一个问题：若取一件产品发现是次品，问这件产品是哪个车间生产的可能性大？问这件产品是哪个车间生产的可能性大？1P(B|A)11P(B)P(A|B)P(A)1P(A B)P(A)0.5 0.050.6940.03622P(B A)0.09P(B|A)

15、0.25P(A)0.03633P(B A)0.02P(B|A)0.056P(A)0.036 同理同理也即是说，总的次品中：也即是说，总的次品中：69.4%是甲生产的是甲生产的25%是乙生产的是乙生产的 5.6%是丙生产的是丙生产的甲50%乙30%丙20%四、四、Bayes公式公式123n00iiji=1123njjjiii 1BBB.B.1B2B Bij,i,j1,2,.n.BBB.B.P(B)P(A|B)AP(B|A)P(B)P(A|B)定理：(贝叶斯公式）若，满足条件：就称，为完备事件组（或样本空间 的一个分割）。则对任意有F iP(B)称为先验概率（在实验之前）对我们已掌握的情况反映，i

16、P(B|A)称为后验概率，（在实验后）对结果发生“来源”，各种可能性大小的反映 注：在使用这两个公式时，从实际出发，分清“原因”和“结果”，求“结果”的概率，要用全概公式，求“原因”的概率（结果已发生），要用逆概公式。贝叶斯公式在实际中有很多应用，它贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生）发生的最可能原因的最可能原因.例例1.4.81.4.8、8 8支步枪中有支步枪中有5 5支已校准过支已校准过,3,3支未校准。一名射手用校支未校准。一名射手用校准准 过的枪射击时过的枪射击时,中靶的概率为中靶的概率为0.8;0.8;用未校准的枪射击时

17、用未校准的枪射击时,中靶中靶的概率为的概率为0.30.3。现从。现从8 8支枪中任取一支用于射击支枪中任取一支用于射击,求（求（1 1）击中目标）击中目标的概率？的概率？（2 2）结果中靶，所用的枪是校准过的概率。）结果中靶，所用的枪是校准过的概率。设设A=A=射击时中靶射击时中靶,B B1 1=使用的枪校准过使用的枪校准过,B,B2 2=使用的枪未校准使用的枪未校准,解解:12B,B 构成完备事件组，1111122(|)()(|)(|)()(|)()P A B P BP BAP A B P BP A B P B50.840853490.80.3881122P(A)=(|)()(|)()P A

18、 B P BP A B P B53490.80.38880例例1.4.9 盒内有盒内有12个乒乓球，其中个乒乓球，其中9新新3旧，第一次任取旧，第一次任取3个使用，个使用，用后放回，第二次任取用后放回，第二次任取3个使用，求第二次用球全新的概个使用，求第二次用球全新的概 率？若第二次用球全新率？若第二次用球全新，问第一次用球也全新的概率？，问第一次用球也全新的概率？iBii0 1 2 3A3解：设第一次使用 个新球，。=第二次使用 个新球。0123BBBB显然，构成完备事件组。330312CP(B)C且12931312C CP(B)C21932312C CP(B)C393312CP(B)C38

19、1312CP(A|B)C390312CP(A|B)C372312CP(A|B)C363312CP(A|B)C 00112233P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)由全概公式：33123213333993893796333333331212121212121212CCC CCC CCCC441CCCCCCCC30253P(B|A)由Bayes公式；33P(B)P(A|B)P(A)3396331212CC30255CC44121例例 1.4.9 某地区居民的肝癌发病率为某地区居民的肝癌发病率为0.000.4，用甲胎蛋白进行，用甲胎蛋白进行 普查，

20、医学研究表明，化验结果可能会出现错误，已知患有普查，医学研究表明，化验结果可能会出现错误，已知患有 肝癌的人化验结果肝癌的人化验结果99%呈阳性，没有患有肝癌的人，其结果呈阳性，没有患有肝癌的人，其结果 99.9%的呈阴性，现某人化验结果为阳性，问他患肝癌的概率？的呈阴性，现某人化验结果为阳性，问他患肝癌的概率？“患肝癌患肝癌”和和“呈阳性呈阳性”哪一个是原因？哪一个是原因？哪一个是结果？哪一个是结果？?BA解：设此被检验者患肝癌，化验结果呈阳性。P(B)0.0004P(B)0.9996P(A|B)0.99P(A|B)0.001由题设知：P(B)P(A|B)P(B|A)P(B)P(A|B)P(

21、B)P(A|B)由逆概公式得0.0004*0.990.2840.0004*0.990.9996*0.001如果我们把检查结果呈阳性的人群再进行一次复检，若再如果我们把检查结果呈阳性的人群再进行一次复检，若再次呈阳性，则可能患肝癌的概率，由逆概公式得：次呈阳性，则可能患肝癌的概率，由逆概公式得：P(B)P(A|B)P(B|A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.284*0.990.9970.284*0.990.716*0.001这样用甲胎蛋白法检查肝癌的精确度就大大提高了。这样用甲胎蛋白法检查肝癌的精确度就大大提高了。乍一看，不切合实际！乍一看，不切合实际！事实上，这是普查中所有呈现阳性

22、的人群，事实上，这是普查中所有呈现阳性的人群，其中其中28.4%的可能患肝癌。的可能患肝癌。医生初步诊断某病人可能患肝癌，再令其做血液检查，若呈医生初步诊断某病人可能患肝癌，再令其做血液检查，若呈阳性，则患肝癌的可能性是相当大的。阳性，则患肝癌的可能性是相当大的。二者考虑问题的空间是不一样的二者考虑问题的空间是不一样的例例1.5.11 伊索寓言伊索寓言“孩子与狼孩子与狼”讲的是一个小孩每天上山放羊，山上可能有狼出讲的是一个小孩每天上山放羊，山上可能有狼出 没，第一天他在山上喊没，第一天他在山上喊“狼来了狼来了”，山下村民闻声山上打狼，发现狼没有来，山下村民闻声山上打狼，发现狼没有来，第二天仍如

23、此，第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人上山第二天仍如此，第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人上山 救他，因为村民不相信他了，试分析小孩的可信度是怎样下降的？救他，因为村民不相信他了，试分析小孩的可信度是怎样下降的？解：分析：解：分析：令令 A=“小孩说谎小孩说谎”，B=“小孩可信小孩可信”。在平时生活中，一个人说谎多了，会使人们对他产生不信任。在平时生活中，一个人说谎多了，会使人们对他产生不信任。所以所以A是原因，是原因，B是结果。是结果。而在此问题中，小孩的可信度（而在此问题中，小孩的可信度（B）是引起村民是否上山）是引起村民是否上山的原因。的原因。可信度高，村民认

24、为他没说谎，（可信度高，村民认为他没说谎，（A不发生不发生）就上山就上山可信度低，村民认为他说谎，可信度低，村民认为他说谎，（A发生）发生）就不上山就不上山假设：村民平时对此小孩的印象（可信度）假设：村民平时对此小孩的印象（可信度）P（B）=0.8，村民们习惯评判标准为村民们习惯评判标准为：P(A|B)0.1(10诚实的人说的话，%是谎话）P(A|B)0.5(50不诚实的人说话,%是谎话）“是谎言才使世界显得格外美丽是谎言才使世界显得格外美丽”。“不说谎话办不成大事不说谎话办不成大事”。因为我们研究的是可信度，所以要用逆概公式因为我们研究的是可信度，所以要用逆概公式第一次村民上山打狼，发现狼没

25、有来，即小孩说第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说谎（谎（A发生），村民对小孩的可信度改变为：发生），村民对小孩的可信度改变为：1P P(B|A)0.8*0.10.4440.8*0.10.2*0.5P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)2P 0.444*0.10.1380.444*0.10.556*0.5 小孩第一天小孩第一天说说了了谎谎，可信度由，可信度由0.8下降到下降到0.444，第二天说了谎，第二天说了谎，可信度下降到可信度下降到0.138第二次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说第二次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说谎（谎（A发生），村民对小孩的可信度

26、改变为：发生），村民对小孩的可信度改变为：村民经过两次上当，对此小孩的可信度降到村民经过两次上当，对此小孩的可信度降到0.138，如此低的可信度，如此低的可信度，当村民听到第三次呼叫时，认为他还是撒谎，就不会上山了。当村民听到第三次呼叫时，认为他还是撒谎，就不会上山了。11.5.1231n 4例假设明天的天气与今天相同的概率为，新年第一天是晴天的概率为，求第 天是晴天的概率？iAii=1 2 3.解：设“第 天是晴天”，i-1i 1AA-则与构成完备事件组。i i 1ii 112P(A|A)P(A|A)33依题意i 1i 1ii 1ii 1iP(A)P(A)P(A|A)P(A)P(A|A)i

27、1i 112P(A)(1 P(A)33ii 121 P(A)P(A)33即：n 1i1111P(A)P(A)232 所以（）n 11nnn 111111P(A)P(A)()4234211(1)24 3 将代入得：ii-1111P(A)P(A)232 将上式改写nnii-1i=2i 2111P(A)(P(A)232于是有nn 1i-1i 211()P(A)32 ii 121 P(A)P(A)33即：例例1.5.14（敏感性问题调查）求学生中有阅读黄色书籍（敏感性问题调查）求学生中有阅读黄色书籍 或观看黄色影像行为的比例？或观看黄色影像行为的比例？解：设置解：设置 问题问题A：你的生日是在：你的生

28、日是在7月月1日之前？日之前？问题问题B：你是否看过黄色书籍或影像？：你是否看过黄色书籍或影像？将两个问题制成形同内容不同的两种签，各将两个问题制成形同内容不同的两种签，各n个。个。在每支签上提供两个答案在每支签上提供两个答案“是是”和和“不是不是”。操作：操作：1、被调查者在没有旁人在场的情况下，单独回答问题。、被调查者在没有旁人在场的情况下，单独回答问题。2、被调查者任意抽出一支签，如实地回答签上提出的问题，、被调查者任意抽出一支签，如实地回答签上提出的问题，用笔在签上对提供的答案打用笔在签上对提供的答案打“勾勾”。假设共调查了假设共调查了m 个人，其中回答个人，其中回答“是是”的有的有k 人。人。即认为被调查人群众回答即认为被调查人群众回答“是是”的概率为的概率为 kP()m是另一方面，带有另一方面，带有“是是”的签来自问题的签来自问题A和和B，而而A、B又构成完备事件组。又构成完备事件组。P()P(A)P(|A)P(B)P(|B)由全概公式知：是是是 P(A)0.5k m 0 25P(|B05/-.推得是）=.2k1m2kP()m是P(|A)0.5是P(B)0.5？抽得抽得B签的人是学生的一部分，由调查原则可得；签的人是学生的一部分，由调查原则可得；2k1m2学生中看黄色书籍或影像的比率学生中看黄色书籍或影像的比率