算术平均数与几何平均数

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1、6.2.16.2.1算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 ),(2Rbaabba个数的算术平均数叫做这nnaaan21个数的几何平均数叫做这naaann21)”“(2,:122号时取当且仅当那么如果定理baabbaRba证明证明:222)(2baabba)2(0)(2baba时，当abba222)1(0)(2baba时，当综合(1),(2),得,0)(2baRba,)1(注意注意:.”“)2(号时取当 baabccbaRcba3,:2333那么如果定理)”“,(号取时当且仅当cbaabcabbacba333)(2233证明证明:)(3)()(22cbaabccbabacbaabccba

2、333332)(222abcbcacbabacba)(222cabcabcbacba0)()()(21222accbbacbaabccba3333),(Rcba推论推论:33,abccbaRcba那么如果)”“,(号取时当且仅当cba3333333333)()()(cbacba证明证明:33 abccba33abccba)”“(2,:号时取当且仅当那么是正数如果定理baabbaba证明证明:abba2)()(22abba2abba2即abbaba2,时当且仅当平均不等式平均不等式 两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数不小于它们的几何平均数.,2,2)1(的算术平均数为

3、我们称的等差中项可以看作是两个正数babababa注意注意:.,)2(的几何平均数为我们称的等比中项可以看作是两个正数baabbaababba2:可以用几何方法证明.,BDADABDDCbCBaACCABba连结作弦过点使取点上在直径长的线段为直径作圆以如图ABDDCabab,理得由垂径定理和相交弦定,CBACCDDCCDDC,2abCBACDC.abDC,22121baABDDDC.,等号成立与圆心重合时当C.2abba练习练习.P11.8)()(,.1abcaccbbacba求证都是正数已知证明证明:,02abba,02acac,02bccb.88)()(abccabcabaccbba.2

4、,.2yxxyRyx求证已知证明证明:,RyxxyRyx,22yxxyyxxy例例:,求证都是正数已知dcba.4)(abcdbdaccdab证明证明:,Rdcba,02cdabcdab,02bdacbdac,4)(abcdbdaccdab.4)(abcdbdaccdab即练习练习:abbaabbaRba2.,求证且证明证明:abababbaab222abbaba2,baabbaababbaab)(22或022baababababbaab2极值定理极值定理:,求证都是正数已知yx;2,)1(PyxyxPxy有最小值和时那么当是定值如果积.41,)2(2SxyyxSyx有最大值积时那么当是定值如

5、果和Ryx,证明证明:xyyx2;2,2,)1(PyxPyxPxy即有时为定值当.”“,号成立时当且仅当 yx.41,22,)2(2SxySyxxySyx即有时为定值当.”“,号成立时当且仅当 yx极值定理可以理解为极值定理可以理解为:;22)(,)1(minPxyyxyxyxPxyyx有最小值和时且是定值的积与当两个正数.41)2()(,)2(22maxSyxxyxyyxSyxyx有最大值积时且为定值的和当两个正数用极值定理求最值的三个必要条件用极值定理求最值的三个必要条件:一一“正正”、二、二“定定”、三、三“相等相等”.,最大值定值相加最小值定值相乘练习练习:.81,0.322的最小值求

6、已知xxx解解:,0 x,81,22Rxx1881281,2222xxxx得由平均不等式,3,8122时当且仅当xxx.188122的最小值为xx.,1,)4(的最小值求且已知yxybxaRyxba解解:ybxxaybaybxayxyxyx)(1)(2)(2bayxbxayba2min)()(,bayxbayxyxbxay时即当且仅当作业：作业：P11、3、4、6、76.2.26.2.2算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 应用举例应用举例 极值定理极值定理:;22)(,)1(minPxyyxyxyxPxyyx有最小值和时且是定值的积与当两个正数.41)2()(,)2(22maxSyx

7、xyxyyxSyxyx有最大值积时且为定值的和当两个正数用极值定理求最值的三个必要条件用极值定理求最值的三个必要条件:一一“正正”、二、二“定定”、三、三“相等相等”.,最大值定值相加最小值定值相乘复习复习eg:.)21(,210的最大值求函数已知xxyx解解:,210 x,021,xx)21(221xxy.81)2212(212xx.,41,212等号成立时当且仅当xxx.81,41函数的最大值为时当 x推论推论:),(33Rcbaabccba33 abccba.,等号成立时当且仅当cba为定值时abc)1(为定值时cba)2(3)3(cbaabc.,等号成立时当且仅当cbaeg:.)1(,

8、10)1(2的最大值求函数时当xxyx解解:,10 x,01x.274,32,12maxyxxx时当274)3122(43xxx)1(224)1(2xxxxxy构造三构造三个数相个数相 加等于加等于定值定值.)1(,10)2(2的最大值求函数时当xxyx解解:,10 x,012x得由),1(2xxy2222)1(xxy)1)(1(221222xxx274)3112(213222xxx.392,274,33,12maxmax222yyxxx时当构造三个构造三个数相数相 加加等于定值等于定值.)0(,32)3(2的最小值求函数xxxy练习练习:3322243212321232xxxxxxxxy解解

9、:3min43y(错解错解:原因是取不到等号原因是取不到等号)正解正解:33322236232932323232323232xxxxxxxxy.3623,23,2323min2yxxx时当且仅当例例1.一段长为一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园菜园,问这个矩形的长问这个矩形的长,宽各为多少时宽各为多少时,菜园的面积菜园的面积最大最大,最大面积是多少最大面积是多少?xxl2解解:,)2(,mxlxm则另一边为设矩形靠墙一边的长为)2(xlxS依题意矩形的面积为)2(221)2(xlxxlxS.81)22(412122lxlx.,4,22矩形的面积最大时当且仅

10、当lxxlx例例1.一段长为一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园菜园,问这个矩形的长问这个矩形的长,宽各为多少时宽各为多少时,菜园的面积菜园的面积最大最大,最大面积是多少最大面积是多少?xxl2另解另解:,)2(,mxlxm则另一边为设矩形靠墙一边的长为)2(xlxS依题意矩形的面积为.81,42llx矩形的最大面积是时当.81)4(22222llxlxx其思想方法是利用二次函数其思想方法是利用二次函数例例2:其容积体无盖贮水池某工厂要建造一个长方,?,1201,1501,3,4800223最低总造价是多少造价最低问怎样设计水池能使总元的造价为池壁每元的造价

11、为如果池底每深为为mmmm解解:,34800,元水池总造价为则另一边的长为为设水池底面一边的长度ymxxm)348003232(12034800150 xxxxy得依题意,)1600(720240000 xx.29760016002720240000 xx.297600,40,1600有最小值时即当且仅当yxxx.297600,40,元最低总造价为水池的总造价最低的正方形时当水池的底面是边长为因此mHGAQbaHabGbaAbaQRba:.12;2;2,22求证设加权平均；算术平均；几何平均；调和平均的关系加权平均；算术平均；几何平均；调和平均的关系证证明明2442)2(222222222ba

12、babaabbaba2222baba,AQ,GA,GAQ,222112GabababbaabbaH,HG.HGAQ.,1,)4(的最小值求且已知yxybxaRyxba一题多解一题多解解法解法2、三角换元、三角换元解法解法3、解代消元、解代消元222222222222min1sin,cos0,2csc,sec,cscsec(1cot)(1tan)cottan2cottan,abxyabxyxaybxyabababababababxyabQggggg设则有所以22min1()()2,abxybxabyb xaxaxaabxyxbxaabxaabxaabxaababxaxyabQ消元配凑所以2220

13、,0,01,:13abcabcabc已知且求证一题多解一题多解练习练习:.1的值域求函数xxy解解:2121,0)1(xxxxx时当,1,0)2(Rxxx时当2)1()(21xxxx21xx).,22,(y作业：作业：3332220,0,01,:111(1)(1)(1)(1)8;1(2);9111(3)27;111(4)(1)(1)(1)64.abcabcabcabcabcabc已知且求证完(备用备用)、将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解解:设剪去的小正方形的边长为xx)20(,)2(2axxaxV则其容积为:)2()2(441xaxaxV2723)2()2(44133axaxax272,6,243maxaVaxxax时当且仅当.272,63aa积是合的最大容铁时长为小正方形边即当剪去的axa2