专题七 图形与变换

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1、专题七 图形与变换（1）解直角三角形锐角三角函数1.直角三角形的边角关系（如图） （1）边的关系（勾股定理）：AC2+BC2=AB2； （2）角的关系：A+B=C=900； （3）边角关系： ：锐角三角函数： A的正弦=；A的余弦= ,A的正切=注：三角函数值是一个比值 2.特殊角的三角函数值 3.三角函数的关系 (1) 互为余角的三角函数关系 sin（90A）=cosA， cos（90A）=sin A tan（90A）= cotA cot（90A）=tanA (2) 同角的三角函数关系 平方关系：sin2 A+cos2A=l 倒数关系：tanAcotA=1 商数关系： 4.三角函数的大小比较

2、 (1) 同名三角函数的大小比较正弦、正切是增函数三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小余弦、余切是减函数三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。 (2) 异名三角函数的大小比较tanASinA，由定义，知tanA=，sinA=；因为bc，所以tanAsinAcotA cosA由定义，知cosA=，cotA=；因为 ac，所以cotAcosA若0 A45，则cosAsinA，cotAtanA；若45A90，则cosAsinA，cotAtanA解直角三角形应用1. 直角三角形边角关系 （1）三边关系：勾股定理： （2）三角关系：A+B+C=180，A+B =C=90 （3）边角关系t

3、anA=，sinA=,cosA=， 2.解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决A组一、选择题（每小题3分，共36分）1.在ABC中，C=90，B=30，则cosA= （ ）。 A B C D 2.当+=90时，则下面成立的是（ ）。A.sin+cos=0 B.sin-sin=0C.tan-cot=0 D.tan+cot=03已知锐角，且tan=cot37，则a等于（ ）。 A37 B63 C53 D454在RtABC中，C=90，当已知A和a时，求c，应选

4、择的关系式是（ ）。 Ac= Bc= Cc=atanA Dc=acotA5直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）。 A10 B2 C10或2 D无法确定6.直角三角形的一条直角边比斜边上的中线长2cm，且斜边为8cm，则两直角边的长分别为（ ）。A6，10 B6，2 C4， D2，7直角三角形ABC中，C=90，A=30，斜边上的高，则三边的长分别为（ ）。 A B C D 8直角三角形周长是，斜边上的中线为1，则这个直角三角形的面积为（ ）。A B C D 9菱形中较长的对角线与边长的比为：1，则菱形的四个角为（ ）。A.30，30，150，150 B.45，45，135，13

5、5C.60，60，120，120 D. 90，90，90，9010如图1是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB的中点N的最短路线是（ ）。A8 B2 C2 D2+2图111已知sin=，求，若用计算器计算且结果为“”，最后按键（ ）。AAC10N BSHIET CMODE DSHIFT “”12奚洋同学遇到了这样一道题：tan(+20)=1，你猜想锐角的度数应是（ ）。A.40 B.30 C.20 D.10二、填空题（每小题3分，共30分）1若cotA,则A_，若cosB,则B_。2已知，都是锐角，且+=90，sin+cos=，则=_。3比较大小：cos89_c

6、os19；cos10_sin20。4.在ABC中，C=90，sinA,c=,则a=_。5.在ABC中，C=90，a=4，c=5，则cosA=_，sinAtgB =_。6.在ABC，A=90，AB=12，BC=13，则tgB=_，=_。7.在RtABC中，若两条直角边的比为724，则最小角的正切值为_。8某坡面的坡度为1：，则坡角是_度。9如图2所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是_厘米。10如图3，33网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长为1，则四边形ABCD的周长是_。 图2 图3三、解答题（第9题12分，其余每小题

7、9分，共84分）1计算下列各题：（1）（2）tan2tan4tan6tan882.如图，在ABC中，C=90，AC=5cm，BAC的平分线交BC于D，AD=cm,求B，AB，BC。3.如图，平地上有甲乙两楼，甲楼高15米。已知从甲楼顶测得乙楼底的俯角为30，又测得乙楼顶的仰角为15。求乙楼的高，（tg15=0.2679，精确到0.01）4.在四边形ABCD中，DAB=BCD=90，ADC=60，AB=2，BC=11，求BD的长。 5如图所示的燕服槽一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积。6如图，在ABC中，B,C均为锐角，其对边分

8、别为b、c，求证：。7请你设计一个方案，测量一下你家周围的一座小山的高度小山底部不能到达，且要求写出需要工具及应测量数据8如图所示，学校在楼顶平台上安装地面接收设备，为了防雷击，在离接收设备3米远的地方安装避雷针，接收设备必须在避雷针顶点45夹角范围内，才能有效避免雷击（45），已知接收设备高80厘米，那么避雷针至少应安装多高？9要求tan30的值，可构造如图6所示的直角三角形进行计算：作RtABC，使C=90，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=，ABC=30，tan30= =.在此图的基础上通过添加适当的辅助线，可求出tan15的值。请你写出添加辅助线的方法，并求出tan15的值。B组

9、一、选择题（每小题3分，共24分）1王英同学从A地沿北偏西60o方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ） （A）m（B）100m（C）150m（D）100m2一个钢球沿坡角31o的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ） （A）5cos31o（B）5sin31o（C）5cot31o（D）5fan31o3如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（ ） （A）2cm（B）cm（C）6cm（D）8cm （第3题） （第4题） （第5题）4如图，在高楼前D点测得楼

10、顶的仰角为30o，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45o，则该高楼的高度大约为（ ） （A）82米（B）163米（C）52米（D）70米5如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为，则重叠部分的面积为（ ）（A）（B）（C）（D）6如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45o，若点D到电线杆底部点B的距离为，则电线杆AB的长可表示为（ ） （A）（B）（C）（D） （第6题） （第7题） （第8题）7如图，O是ABC的外接圆，连结OA、OC，O的半径R2，sinB0.75，则弦AC的长为（ ） （A）0.75（B）（C）3（D）1.58如图，直角梯

11、形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2，BC3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90o至ED，连AE、CE，则ADE的面积是（ ）（A）1（B）2（C）3（D）不能确定二、填空题（每小题4分，共24分）9在ABC中，如果，那么C_度10如图，在高为2m，坡度为30o的楼梯表面铺地毯，地毯的长度到少需要_m（结果保留根号） （第10题） （第11题） （第12题）ABC11如图，已知ABC的一边BC与以AC为直径的O相切于点C，若BC4，AB5，则cosB_12由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图如图所示，小明沿图中所示的折线从ABC所走的路程为_m（结果保留根号）13如图，一架梯子斜靠在墙上

12、，若梯子到墙的距离AC3米，cosBAC，则梯子AB的长度为_米 （第14题）14在ABC中，BC10，AB，ABC30o，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为_三、解答题（每小题5分，共15分）15计算：16如图，ABC是等腰直角三角形，ABC90o，AB10，D为ABC外一点，连结AD、BD，过D作DHAB，垂足为H，交AC于E若ABD是等边三角形，求DE的长17如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求宣传条幅BC的长（小明的身高不计，结果精确到0.

13、1米）四、解答题（每小题6分，共24分）18根据指令s，A，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对轴正方向（1）若给机器人下了一个指令4，60o，求机器人应移到的位置；（2）请你给机器人下一个指令，使其移到点（，5）19如图，一辆吊车的吊臂以63的倾角倾斜于水平面，如果这辆吊车支点A距地面的高度AB为2m，且点A到铅垂线ED的距离为AC15m，求吊臂的最高点E到地面的高度ED的长（精确到0.1 m）20如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从地面处的雷达站测得的距离是，仰角是后，火箭到达点，此时测得

14、的距离是，仰角为，解答下列问题：（1）火箭到达点时距离发射点有多远（精确到0.01km）？（2）火箭从点到点的平均速度是多少（精确到0.1km/s）？21上海至成都高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得 （1）求所测之处江的宽度（）； （2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图中画出图形.图 图五、解答题（第22题6分，第23题7分，共13分）22某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角

15、线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示（1）问长方形的长应为多少？（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位 置的方法；（3）请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明：要画出必要的，反映解题思路的辅助线）23某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶已知看台高为l.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且DAB=66. 5（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度(即AD+AB+BC，结果精确到0.1米)(参考数据：sin66.50.92，cos66.50.40，tan66.52.30)