数轴上的基本公式

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1、2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 2.2.2 直线方程的几种形式 【教学目的】 1. 通过对数轴的复习，理解实数和数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义。掌握数轴上两点间距离公式，掌握数轴上的向量加法的坐标运算。通过探讨得出平面上两点间距离公式及线段中点坐标公式。 2. 在平面直角坐标系中，结合图形，探索确定直线位置的几何要素。理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握公式的应用。 3. 理解并掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化。了解在直角坐标系中，平面上的直线与关于x，

2、y的二元一次方程的对应关系。 二、重点、难点： 1. 重点： 理解和掌握数轴上的基本公式；平面上两点间距离公式和中点坐标公式、坐标法的应用；理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握两点的连线的斜率公式；几种形式直线方程的推导，其中点斜式是重点中的重点；根据所给条件灵活选取适当的形式和方法，熟练地求出直线的方程。 2. 难点： 对各个概念的正确理解及基本公式的探索；平面上两点间距离公式和中点坐标公式的推导；使用坐标法证明几何问题时坐标系的建立；斜率的概念和两点的连线的斜率公式的推导；清楚各种形式直线方程的局限性，把握求直线方程的灵活性，运用数形结合的思想。 三. 教学过程：（一）数轴上的基本公式 1.

3、 基础概念： （1）数轴：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。实数集和数轴上的点之间是一一对应关系。如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作。 （2）向量：既有大小又有方向的量通常叫做位移向量，本书简称为向量。从点A到点B的向量，记作，点A叫做向量的起点，点B叫做向量的终点。 （3）向量的长度：线段AB的长叫做向量的长度，记作。 （4）向量的坐标或数量：向量的坐标，用AB表示。当向量与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定；方向相反时，规定。 （5）相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。 （6）零向量：起点和终点重合的

4、向量叫做零向量，它没有确定的方向，它的坐标为0。 2. 基础公式： （1）对数轴上任意三点A、B、C都具有如下关系：。 （2）设是数轴上的任一个向量，点A的坐标为，点B的坐标为，则；数轴上两点A、B的距离公式是：。 3. 需注意的问题： （1）判断一个量是否为向量，就是要判断该量是否既有大小，又有方向。 （2）特殊向量：零向量的起点与终点重合，它没有确定的方向，它的坐标为0。 （3）注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个正数，而向量的坐标是一个实数（正数、负数、零）。 （4）两相等向量的方向相同，长度相等。 （5）数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标。 （二）平面直角

5、坐标系中的基本公式 1. 两点的距离公式： 两点的距离公式表示为 当平行于x轴时， 当平行于y轴时， 当是原点时， 2. 中点公式： 已知是线段AB的中点，则有 3. 坐标法： 就是通过建立坐标系（直线坐标系或直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法。 坐标法证题的基本步骤： （1）根据题设条件。在适当位置建立坐标系（直线坐标系或直角坐标系）； （2）设出未知点坐标，然后根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导出结论。 4. 学习中注意的问题： （1）两点间距离公式与中点公式是两个重要的基本公式。公式的推导过程中所使用的“分解”、“综合”方法，充分体现了转

6、化思想。 这里所说的“分解”与“综合”方法，是指把坐标平面上的问题投影到两个坐标轴上，从而分解为两个坐标轴上的两个问题；然后再把每个坐标轴上的问题的解答综合起来，得到坐标平面上的问题。 （2）经历用“坐标法”来处理几何问题，体会“数形结合”的数学思想方法。 （3）根据题目的条件，建立恰当的坐标系，然后用代数法求解问题。 （三）直线方程的概念与直线的斜率 1. 直线的方程与方程的直线： 一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。在这个概念中，我们要明确方程的解与直线上点的坐标的关系

7、含有两重意思：以方程的解为坐标的点是否在直线上； 直线上点的坐标是否是方程的解，即坐标代入方程是否成立。这两点都具备了，直线就是方程的直线，方程就是直线的方程。 2. 直线的斜率和倾斜角： （1）设直线上任意两点，则有 通常，我们把直线中的系数k叫做这条直线的斜率。 垂直于x轴的直线不存在斜率，这从斜率公式中的可以看出来。除去垂直于x轴的直线都有斜率。 （2）x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，并且规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角。 直线的斜率与倾斜角的联系： 时，直线平行于x轴或与x轴重合，直线的倾斜角为0。 时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，直线的倾斜角也随着增

8、大。 时，直线的倾斜角为钝角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大。 垂直于x轴的直线的倾斜角等于90。 所以，直线的倾斜角范围为0，180）。倾斜角的大小反映了直线的倾斜程度。 3. 求直线斜率的步骤： （1）给直线上两点的坐标赋值：； （2）计算； （3）如果，则判定“斜率k不存在”； （4）如果，计算； （5）输出斜率k。 4. 需注意的问题： （1）倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的。倾斜角是直接反映这种程度大小的，斜率的绝对值越大，倾斜程度越大。平面上任意一条直线都有倾斜角，且，但不是所有直线都有斜率。 （2）斜率公式表明直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点的

9、坐标来表示，而不需要求直线的倾斜角。 （3）已知三点A、B、C，若，则AB的倾斜角与AC的倾斜角相同，AB、AC两条直线重合，说明这三点共线。 （4）掌握斜率的求法及斜率公式，并把斜率的计算公式迁移到代数函数或三角函数的最大、最小值中去，形成数形结合的方法。 （5）已知倾斜角，则斜率。已知两点、，则斜率，不论用哪种方法求解，都是在斜率存在的前提下求解。 （四）直线方程的几种形式 1. 直线方程的点斜式： 若已知直线过点，斜率为k，则直线的方程可写成。这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线方程的点斜式。关于直线方程的点斜式的几点说明： （1）要注意与是不同的，前者表示直线上缺少一

10、个点，后者才是整条直线，因此使用后者。 （2）如果直线过点且平行于x轴（或重合于x轴），则，由点斜式得。 （3）如果直线过点且垂直于x轴，此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示。这时直线上任一点的横坐标x都等于点的横坐标，直线方程为。 （4）经过点的直线有无数条，可分为两类，如图所示。 图：斜率存在的直线，方程为。 图：斜率不存在的直线，直线方程为。 因此在使用点斜式求直线方程时，应分“斜率存在”与“斜率不存在”两种情况分别考虑以免丢解。 2. 直线方程的斜截式： 若已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线的方程为：。方程是由直线在y轴上的截距和斜率确定的，所以叫做直线

11、方程的斜截式。从上可知，初中所学过的一次函数中，常数k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距（但应注意与一次函数的区别）。 在此要明确截距的概念，以及如何求截距。 一般地，直线与y轴（或x轴）交点的纵坐标（横坐标），叫做直线在y轴（x轴）上的截距，简称为纵截距（横截距）。 截距可以是一切实数，既可以为正数，也可以为零，又可以是负数。在此要区分开截距和距离，距离必须大于或等于零。 说明：（1）求截距的方法：在直线方程中， 令，解出y的值，即得直线的纵截距。 令，解出x的值，即得直线的横截距。 （2）直线方程的斜截式是点斜式的特例，是已知直线与y轴的交点（0，b）和斜率为k的直线点斜式的形式，当然使

12、用斜截式时，也应注意以斜率存在为前提。斜截式方程在解题中应用较多。 3. 直线方程的两点式： 若已知直线经过和两点，则直线的方程可写成： 这个方程是由直线上的两点确定的，所以叫做直线方程的两点式。 关于两点式的说明： （1），。显然，后者比前者表示直线的范围缩小了，但后者便于记忆和应用，所以，采用后者作为公式。这个方程是由两点确定的，叫做直线方程的两点式。 （2）当直线没有斜率或斜率为零（）时，不能用两点式方程，但把两点式化为整式方程形式，就可以求出过平面上任意两点的直线的方程。 若，则有，即。 若，则有，即。 4. 直线方程的截距式： 若已知直线在x轴和y轴上的截距分别为，则直线的方程可写成

13、截距式：。 5. 直线方程的一般式： 任何直线的方程均可写成一般式：（A，B不同时为0） 直线的一般式方程产生的过程是： 从两个方面反映了直线构成的集合与二元一次方程构成的集合之间存在着一一对应的关系，这样直线和二元一次方程就统一起来了。 关于一般式方程的几点说明： （1）两个独立条件可求直线方程。 求直线方程，表面上需求A、B、C三个系数，由于A、B不同时为零，若A0，则方程化为，只需要确定的值。若，则方程化为，只需要确定的值。 （2）直线方程的一般式与四种特殊形式之间的转化。 6. 需注意的问题 （1）求直线的方程需注意选用恰当形式，注意各种形式的限制条件，如倾斜角90时不能应用点斜式、斜

14、截式、两点式、截距式求直线方程。 （2）求直线方程的基本方法有待定系数法、数形结合法等。认真画图有利于启发解题思路。 （3）常用数学思想方法有：解析法、数形结合法、待定系数法、分类讨论法、代入法等。 （4）由两个独立条件确定一条直线，所以要求一条直线的方程，必须给出两个独立条件。一般说来，确定一条直线主要有两种方法：第一种方法，由直线上的一点和直线的方向确定。而直线的方向由斜率确定，这便是直线方程的点斜式的由来。斜截式是点斜式的特例。第二种方法，由两点确定一条直线，这便是两点式的由来，当然，两点式也可由点斜式而来，截距式可看作是两点式的特例。 【典型例题】 例1. 已知A、B、C是数轴上任意三

15、点。 （1）若，求AC； （2）证明：； （3）若，求。 解析：（1） （2）设数轴上A、B、C三点的坐标分别为，则 （3）当C在A、B两点之间时，由下图（a）可知： 当C在A、B两点之外时，由下图（b）可知： 综上所述，或8。 点评：（1）注意公式及的应用。 （2）注意分类讨论思想的应用。 例2. 求下列两点的距离及线段中点的坐标： （1）； （2）。 解析：（1）设AB的中点为 得线段AB的中点 （2）设线段CD的中点为 线段CD的中点 点评：要用好两点间距离公式和中点坐标公式，还要注意灵活运用，如若M（x，y）是A（a，b）与B（c，d）的中点，则，也可以理解为A关于M的对称点为B，若求

16、B，则可用中点坐标变形公式。 例3. ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形， 用坐标法证明：。 解析：如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立直角坐标系 设ABD和BCE的边长分别为a，c，则 于是 所以 点评：坐标法可以将几何问题代数化，把复杂的思维转化为简单的运算，使问题的解决简单化。合适的坐标系可以使运算更简单，建立时应使点尽可能多的在坐标轴上。 例4. 求证：A（1，5）、B（0，2）、C（2，8）三点共线。 解析： 证法一：利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率。 ，又过同一点A A、B、C三点共线 分析二：三点确定三条线段，若其中两条线段的长度之和等于第

17、三条线段的长，此三点必共线。 证法二：利用两点间距离公式求得 所以，A、B、C三点共线。 点评：本题在学习了直线方程的几种形式后，还有多种证法，但是，这里的证法最简单明了。 例5. 过点的直线与线段AB相交，若，求的斜率k的取值范围。 解析： 因为过P而与x轴垂直的直线PC的斜率不存在。 当由PA变化到PC时，斜率越来越大，k5 当由PC变化到PB时，斜率也越来越大， 斜率的取值范围是 点评：过点P的直线与线段AB相交时，因为过P而与x垂直的直线PC的斜率不存在，若PC与线段AB不相交时，直线的斜率夹在中间，即kPAkkPB；若PC与线段AB相交时，直线的斜率取两边，即直观kkPB或kkPA，

18、这类题目可利用数学结合的方法，直观判断出斜率是夹在中间还是在两边。 例6. 求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线的方程。 解析：由已知直线的斜率为，可设直线的方程为： 令，得；令，得 由题意得： 所求直线方程为，即 点评：求直线方程首先依据已知条件确定方程的形式，未知的量可设为参量，再用待定系数法解决即可。 例7. 已知直线经过点（3 ，），且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程。 解析： 法一：依题意，直线的斜率存在且不为 0 ，设其斜率为 k ， 则可得直线的方程为： 令，得 令，得 由题意： 解得：或 的方程为或 即为或 法二：设直线在两轴上的截距均为a 若，则直线过原点

19、，此时的方程为； 若，则的方程可设为 过点（3，），知，即 直线的方程为，即为 综合可知直线的方程为或。 点评：对于该题，容易产生如下的错误解法： 错解1：由于直线l的截距相等，故直线l的斜率为1，若k1，则直线方程为，即为；若，则直线方程为，即为。 错解2：由题意，直线在两轴上的截距相等，可设直线的方程为，由于直线过点（3，），则有，即所求方程为。 在上述两种错解中，错解1忽略了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0，当k1时，直线在两轴上的截距分别为5和，它们是不相等的。另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形；错解2中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也产生了漏解。