工程力学第六章杆件的应力.ppt

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1、1,应力：内力在截面上的聚集程度，以分布在单位面积上的内力来衡量； 单位：帕斯卡（Pa），或 kPa, MPa, GPa,正应力,垂直于截面的应力,切应力,平行于截面的应力,1Pa=1N/m2, 1MPa=106Pa，1GPa=103MPa=109Pa,第六章 杆件的应力,6-1 应力的概念,2,一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到,应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa,应力总量P 可以分解成: 垂直于截面的分量正应力 平行于截面的分量切应力,应力,目录,平均应力:某范围内单位面积上内力的平均

2、集度,3,s0,s0,t0,t0,正负号规定：,正应力 拉为正，压为负。,切应力 顺时针为正，逆时针为负,4,6-2 应变的概念 (正应变和切应变), 胡克定律,正应变：微体在某一方向上长度的改变量与原长度的比值的极限值 称为微体在此方向上的正应变e。,拉伸 变细变长,压缩 变短变粗,5,切应变：当微体的棱长发生改变时，相邻棱边之夹角一般也发生 改变。微体相邻棱边所夹直角的改变量称为切应变g,切应变的单位为rad(弧度),6,线应变:,平均线应变：,7,角应变,8,练习,9,一 拉压胡克定律,实验表明，在比例极限范围内，正应力与正应变成正比，即,引入比例系数E，则,胡克定律,比例系数E称为弹性

3、模量,10,二 剪切胡克定律,在纯剪状态下，单元体 相对两侧面将发生微小 的相对错动，原来互相 垂直的两个棱边的夹角 改变了一个微量。 两正交线段的直角 改变量剪应变,11,薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力不超过材料的剪切比例极限p时,剪应力与剪应变成正比,G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切胡克定律。,即：当p时,引入比例系数G，则,12,6-3 拉压杆的正应力,一 拉压杆横截面上的应力,拉压杆的平面假设：在轴向载荷作用下，变形后，横截面仍保持平面，且仍与杆轴垂直，只是横截面间沿杆轴作了相对平移。,13,P,N,如果杆的横截面积为：

4、A,根据平面假设，我么可以得出结论，即横截面上每一点存在相同的拉力,在轴向载荷下，横截面上正应力计算式为：,正应力与轴力具有相同的正负符号，即拉应力为正，压应力为负。,14,例 图示矩形截面（b h）杆，已知b = 2cm ，h=4cm ， P1 = 20 KN， P2 = 40 KN， P3 = 60 KN，求AB段和BC 段的应力,A,B,C,P1,P2,P3,15,P1,N1,压应力,P3,N2,压应力,16,例 图示为一悬臂吊车， BC为 实心圆管，横截面积A1 = 100mm2， AB为矩形截面，横截面积 A2 = 200mm2，假设起吊物重为 Q = 10KN，求各杆的应力。,A,

5、B,C,17,首先计算各杆的内力：,需要分析B点的受力,Q,F1,F2,18,A,B,C,Q,F1,F2,BC杆的受力为拉力，大小等于,F1,AB杆的受力为压力，大小等于,F2,由作用力和反作用力可知：,最后可以计算的应力：,BC杆：,AB杆：,19,二 圣维南原理,当作用在杆端的轴向外力，沿横截面非均匀分布时，外力作用点附近各截面的应力，也是非均匀分布的。但圣维南原理指出，力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端12个杆的横向尺寸。,此原理已为大量试验与计算所证实。,用与外力系静力等效的合力代替原力系，除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域稍

6、远处，上述代替影响非常微小，可以略而不计。,20,三 应力集中,应力集中：,杆件外形突变，引起局部应力急剧增大的现象,由于结构的需要，构件的截面尺寸往往会突然变化，例如开孔、沟槽、肩台和螺纹等，局部的应力不再均匀分布而急剧增大,1.应力集中的概念,21,应力集中系数,平均应力,2 应力集中对构件强度的影响,对脆性材料而言，应力集中现象将一直保持到最大局部应力到达强度极限，故在设计脆性材料构件时，应考虑应力集中的影响。,对塑性材料而言，应力集中对其在静载作用下的强度几乎没有影 响，故在研究塑性材料构件的静强度时，一般不考虑应力集中的 影响。,22,交变应力（或循环应力）：随时间循环变化的应力,在

7、交变应力作用下的构件，虽然所受应力小于材料的静强度极限，但经过应力的多次重复后，构件将产生可见裂纹或完全断裂。,疲劳破坏：在交变应力作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象。,应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件的疲劳强度影响很大,23,6-4 切应力互等定理与剪切胡克定律,一 薄壁圆管的扭转应力,试验观察,加载前 画横向圆周线及纵向线,24,加载后：,25,加载后现象：,1、各纵向线倾斜同角度,2、各圆周线大小形状间距不变,26,管壁扭转时的应力变形特征,上述变形现象表明：微体ABCD既无轴向正应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd之间发生相对错动，即产生剪切变形；而且，沿圆周方

8、向所有的剪切变形相同。由于管壁很薄，故可近似认为管的内外变形相同，则可认为仅存在的垂直于半径方向的切应力t沿圆周大小不变。,27,剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径 与周线相切,28,根据精确的理论分析,当tr/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。,29,二 纯剪切与切应力应力互等定理,微元体 单元体,纯剪切：单元体上只有 剪应力而无正应力。,30,剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。,31,6-5 圆轴扭转时横截面上的应力,一、扭转切应力的一般公式,从三方面考虑：变形几何关系 物理关系 静力学关系,32

9、,观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化 (2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度 （3）表面方格变为菱形。,1.变形几何关系,33,平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。,34,35,横截面上距形心为的任一点处应变,在外表面上,36,根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时,剪应力方向垂直于半径,2. 物理关系,37,3.静力学关系,截面的极惯性矩,38,于是再由物理关系得,二、 最大扭转切应力,当 max 时， max, 抗扭截面系数,39,40,6-6 极惯性矩和抗扭截面系数,一、 实心

10、圆截面,41,二、 空心圆截面,=d / D,42,已知：P114kW, n1= n2= 120r/min, z1=36, z3=12; d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求: 各轴横截面上的最大剪应力。,43,N1=14kW, N2=N3= N1/2=7 kW,n1=n2= 120r/min,44,一、概述： 当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的 横截面上既有弯矩 M ， 又有剪力 Q 。,只有与正应力有关的法向内力元素 dN = dA 才能合成弯矩,只有与剪应力有关的切向内力元素 dQ = dA 才能合成剪力,所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 剪应力,

11、11 -1 引言,45,弯曲切应力：梁弯曲时横截面上的切应力 弯曲正应力：梁弯曲时横截面上的正应力,基本变形：拉压；扭转；弯曲 组合变形：,对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，且外力作用在对称面内，此时变形对称于纵向对称面，在这种情况下的变形形式称为对称弯曲。,46,11 -2 对称弯曲正应力,一 基本假设,用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:,纯弯曲：梁横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲。,47,观察到以下变形现象:,(1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为 弧线的aa，bb垂直 (3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。 梁

12、的平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。,48,单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。,由平面假设得到的推论： 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性轴,49,中性轴,中性层,中性层,50,二 弯曲正应力一般公式,从三方面考虑：,变形几何关系,物理关系,静力学关系,1 变形几何关系,中性轴,51,由于距中性层等远各“纤维”的变形相同，所以，上述正应变e即代

13、表纵坐标y的任一“纤维”的正应变,该式说明 ， 和 y 成正比 ,而与z 无关 。因而， 与这些纵向线段沿 z 轴的位置无关 。,52,2 物理关系,正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的 正应力为零,上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：,1）由于中性轴z的位置未确定，故y无法标定；,2）式中未知，（若已知M，与M有何关系？）,53,将梁的轴线取为 x 轴，横截面的对称轴取为 y 轴，中性轴取为 z 轴。,3 静力学关系,54,在横截面上法向内力元素 dA 构成了空间平行力系。,因此，只可能组成三个内力分量,通过截面法，根据梁上只有外力偶 m 这一条件可知，上式中的 N 和 My均等

14、于零， 而Mz就是横截面上的弯矩M。,55,56,这就确定了中性轴的位置。即过形心与 y 轴垂直。,横截面对Z轴的静矩,57,中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。,因为 y 是对称轴，所以,该式自动满足,58,由式,可得,EIz称为抗弯刚度,截面对z轴的惯性矩,59,中性轴过截面形心,中性层的曲率公式：,正应力计算公式：,：梁截面的弯曲刚度，简称弯曲刚度,式中 ：,60,横截面上 某点正应力,该点到中性轴 距离,该截面弯矩,该截面惯性矩,61,当梁上有横向力作用时，横截面上既又 弯矩 又有 剪力 。梁在此,剪应力使横截面发生翘曲。,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力。,横力弯曲时，梁的横

15、截面上既又正应力 ，又有剪应力 。,纯弯曲时所作的 平面假设 和 各 纵 向线 段 间 互 不 挤 压 的假设都不成立 。,但工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力 。,等直梁 横力弯曲 时横截面上的正应力公式为,种情况下的弯曲称为 横力弯曲。,62,横截面上的最大正应力：,当中性轴是横截面的对称轴时：,三 最大弯曲正应力,63,称为抗弯截面系数，仅与截面的形状和尺寸有关,公式适用条件： 1）符合平面弯曲条件（平面假设， 横截面具有一根对称轴） 2）p(材料服从虎克定律）,64,1）沿y轴线性分布，同一 坐标y处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。,2

16、）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。,3）最大正应力发生在距 中性轴最远处。,65,梁的弯矩图如图b 所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为,例11-1 图a所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。,（1）作弯矩图， 求最大弯矩,66,因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为,在截面的下端受最大压应力，其值为,（2）求最大应力,67,11 -3 惯性矩与平行轴定理,同理:,一 简单截面的惯性矩,1 矩形：,68,2 圆及圆环,(实际：,

17、69,圆环：,y,x,D,d,70,71,11- 4 对称弯曲切应力,一、矩形截面梁的弯曲切应力,图所示一矩形截面梁,用横截面 mm , nn 从梁中截取 dx 一段 。两横截面上的弯矩不等 。所以两截面同一 y 处的正应力也不等。,（1）推导公式的思路,受任意横向荷载作用。,72,（2）两个假设,（3）公式推导,假设 mm , nn上的弯矩为 M和 M+dM 。两截面上距中性轴y1处的正应力为和,73,(1) 取图 示分离体，进行受力分析,74,（2）公式推导,假设 m-m , n-n上的弯矩 为 M和M+dM 。两截面上 距中性轴y1处的正应力为 1 和 2,A,B,B1,A1,m,n,x

18、,z,y,y,75,A*为距中性轴为 y 的横线 以外部分的横截面面积,A,B,B1,A1,m,n,x,z,y,y,76,由假设及剪应力互等定理知 ，纵向平面上横线AA1 各点剪应力 大小相等。所以 在AB1上为一常量。于是,A,B,B1,A1,m,n,x,z,y,y,77,由平衡方程,化简后得,A,B,B1,A1,m,n,x,z,y,y,78,所以,由剪应力互等定理,上式为 矩形截面梁 对称弯曲 时横截面上任一点处的 剪应力计算公式。,79,式中：,80,（4）切应力沿截面高度 的变化规律, 沿截面高度的变化由静矩 Sz与坐标 y之间的关系确定,（3）静矩 Sz* 的计算,可见 ，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。,81,式中 ， A = b h , 为矩形截面的面积 。,82,对于圆截面和圆环截面，用类似的方法可以求得,对直径为d的圆截面,对内径为d，外径为的空心圆截面,83,