第四节全概率公式与贝叶斯公式

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1、11v第一节第一节 随机事件随机事件v第二节第二节 事件的事件的概率概率v第三节第三节 条件概率条件概率v第四节第四节 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 v第五节第五节 事件的独立性事件的独立性 v第六节第六节 独立重复试验和二项概率独立重复试验和二项概率 第一章 随机事件与概率2 全概率公式和贝叶斯公式主要用于全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算计算比较复杂事件的概率比较复杂事件的概率,它们实质上它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P

2、(B|A)P(A)03（例（例2 P2 P2020）一个袋内装有一个袋内装有1010个球，其中有个球，其中有4 4个白球，个白球，6 6个黑球，采取不放回抽样，每次任取一个，求第二个黑球，采取不放回抽样，每次任取一个，求第二次取到白球的概率。次取到白球的概率。()BAA BABAB解：设解：设A=“第一次取到白球第一次取到白球”，B=“第二次取到白球第二次取到白球”则则()()P BP ABAB()()P ABP AB()(|)P A P B A 410 ABAB与与互互斥斥39 610 49 0.4()(|)P A P B A 4（补例）（补例）例例2 2的的1010个球，若改为个球，若改为

3、3 3个白球，个白球，2 2个黑球，个黑球，5 5个红球，取法不变，求第二次取到白球的概率个红球，取法不变，求第二次取到白球的概率P(B).解：设解：设A1,A2,A3分别为第一次取到白球、黑球、红球分别为第一次取到白球、黑球、红球.则则123()()P BP A BA BA B123BA BA BA B故故112233()()()()()()P A P B AP A P B AP A P B A|123()()()P A BP A BP A B310 29 210 39 510 39 0.3 1AAA、互互斥斥5:2A1A3ABA1BA2BA3BA1，A2，A3构成一个构成一个完备事件组完备

4、事件组B 的发生必然伴随着的发生必然伴随着A1,A2,A3之一同时发生之一同时发生即即123()()P BP A BA BA B123BA BA BA B故故112233()()()()()()P A P B AP A P B AP A P B A|123()()()P A BP A BP A B6 如果事件如果事件A1，A2，An构成一个构成一个完备事完备事件组件组，且有，且有P(Ai)0，i=1,2,n，则对任一事，则对任一事件件B，有，有全概率公式全概率公式:11()()()()()nnP BP A P B AP A P B A1 ()()()niiiP BP A P B A 或或7 某

5、一事件某一事件B的发生有各种可能的原因，的发生有各种可能的原因，全概率公式可以这样来理解：全概率公式可以这样来理解：每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的总发生的总概率是各原因引起的概率是各原因引起的B发生概率的总和。发生概率的总和。P(AiB)P(Ai)P(B|Ai)1()niP B 1ni 这些原因我们用这些原因我们用A1、A2、An等来表示，等来表示，其中原因其中原因Ai 对总概率对总概率P(B)所作的贡献为所作的贡献为全概率全概率公式公式8某厂的一批产品某厂的一批产品,由甲、由甲、乙乙、丙三名工人生产、丙三名工人生产,其产量分别占总产量其产量分别占总产量的的25

6、%、35%、40%,若已知他们的次品率依次为若已知他们的次品率依次为5%、4%、2%,现在从这批产品中任意抽取一件现在从这批产品中任意抽取一件,求这一件是次品的概率求这一件是次品的概率.(例1 P20)112233()(|)()(|)()(|)P A P B AP A P B AP A P B A 解解 用用A1、A2、A3分别表示分别表示“甲、乙、丙生产的产甲、乙、丙生产的产品品”，用用B表示表示“抽取的是次品抽取的是次品”则则 A1、A、A 构成一个完备事件组构成一个完备事件组0.25 0.05 0.0345 由全概率公式得由全概率公式得123()()()P A BP A BP A B0.

7、35 0.04 +0.4 0.02 123()()P BP A BA BA B9全概率公式应用的关键在于寻找或构造一个完备事件组2A1AnA2A1AnA10（补例）（补例）某同学上一门概率课。在每周周末的时候，他可能跟上某同学上一门概率课。在每周周末的时候，他可能跟上课程或跟不上课程。如果他在某一周是跟上课程的，那么他在下课程或跟不上课程。如果他在某一周是跟上课程的，那么他在下周跟上课程的概率是周跟上课程的概率是0.8。如果他在某一周没有跟上课程，那么他。如果他在某一周没有跟上课程，那么他在下周跟上课程的概率是在下周跟上课程的概率是0.4.现在假定他在第一周上课以前能够现在假定他在第一周上课以

8、前能够跟上课程。经过跟上课程。经过3周学习，他能够跟上课程的概率有多大？周学习，他能够跟上课程的概率有多大？解：解：设设,1,2,3iAii“第 周学习后能跟上课程”,周周学学习习后后跟跟不不上上课课程程”“第第iAi 则则按照全概率定理：按照全概率定理：)|()()|()()(2322323AAPAPAAPAPAP4.0)(8.0)(22APAP对于对于2A2A和和又可利用全概率公式：又可利用全概率公式：)|()()|()()(1211212AAPAPAAPAPAP4.0)(8.0)(11 APAP)|()()|()()(1211212AAPAPAAPAPAP6.0)(2.0)(11 APA

9、P最后最后,由于开始上课时他能跟上课程由于开始上课时他能跟上课程,故故2.0)(,8.0)(11 APAP从而：从而：72.04.02.08.08.0)(2AP28.06.02.02.08.0)(2AP所以所以688.04.028.08.073.0)(3AP11（练一练）（练一练）10个乒乓球中有个乒乓球中有7个新球，第一次随机地个新球，第一次随机地取两个，用完后放回去，第二次又随机地取两个，求取两个，用完后放回去，第二次又随机地取两个，求第二次取到两个新球的概率？第二次取到两个新球的概率？构成完备事件组”，“第二次取到两个新球个新球”，“第一次取到解：设210,2,1,0AAABiiAi15

10、1)(210230CCAP157)(21013171CCCAP157)(210272CCAP157)|(210270CCABP31)|(210261CCABP92)|(210252CCABP001122196()()(|)()(|)()(|)675P BP A P B AP A P B AP A P B A12同步练习：第三节、第四节同步练习：第三节、第四节或课本或课本19，22，25，26，30作业作业13 实际生活中还存在这样一类问题，是实际生活中还存在这样一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因”.全概率公式解决的是全概率公式解决的是“已知原因求结果已知原因求结果”的问题的问题.解决这

11、一类问题就要用到解决这一类问题就要用到 贝叶斯公式贝叶斯公式 14 例例5 5 某厂的一批产品，由甲、某厂的一批产品，由甲、乙乙 、丙三名工人生产，其、丙三名工人生产，其产量分别占总产量的产量分别占总产量的25%、35%、40%，且已知他们的次，且已知他们的次品率依次为品率依次为5%、4%、2%，现在从这批产品中任意抽取一现在从这批产品中任意抽取一件件,发现是次品发现是次品1()P A B解：解：2()P A B3()P A B1131()(|)250.25 0.050.034569()(|)iiiP A P B AP A P B A 2231()(|)280.35 0.040.034569(

12、)(|)iiiP A P B AP A P B A 3331()(|)160.40 0.020.034569()(|)iiiP A P B AP A P B A ,问这件次品是哪一名工人生产的可能性最大？问这件次品是哪一名工人生产的可能性最大？1511()()()(|)()()()iiiinnjjjjjP A BP A P B AP ABP A BP A P B A 贝叶斯公式：贝叶斯公式：设设A1,A2,An构成一完备事件组，且构成一完备事件组，且P(Ai)0，i=1,2,n,则对任一概率不为零的事则对任一概率不为零的事件件B，有，有16贝叶斯资料Thomas BayesBorn:1702

13、in London,EnglandDied:17 April 1761 in Tunbridge Wells,Kent,England17 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生）发生的最可能原因的最可能原因.例如，贝叶斯例如，贝叶斯公式可用于鉴定废公式可用于鉴定废品来源品来源,从而可以为从而可以为进一步的经济处罚进一步的经济处罚提供依据。提供依据。18下面我们再回过头来看一下下面我们再回过头来看一下全概率公式全概率公式 和和 贝叶斯公式贝叶斯公式19:2A1A3AB完备事件组：完备事件组：A1，A2，

14、An核心事件：核心事件：B原因原因结果结果20:2A1A3AB()P B(|)iP B A 已知已知：用全概率公式求用全概率公式求：用贝叶斯公式求用贝叶斯公式求()iP A(|)iP AB先验先验概率概率后验后验概率概率21 贝叶斯公式就是用来求后验概率的。贝叶斯公式就是用来求后验概率的。后验概率后验概率P(Ai|B)是相对于先验概率是相对于先验概率P(Ai)来说来说的。的。P(Ai)是试验前根据以往经验确定的一种假设是试验前根据以往经验确定的一种假设概率，概率，P(Ai|B)是在获知事件是在获知事件B已经发生这一信息已经发生这一信息之后，事件之后，事件Ai发生的条件概率，发生的条件概率，它是

15、根据新的它是根据新的信息对各信息对各“原因原因”的发生情况获得的新的认识。的发生情况获得的新的认识。贝叶斯公式又称为贝叶斯公式又称为后验概率公式后验概率公式或或逆概公式逆概公式。22 P(Ai)是在没有进一步信息（不知道事件是在没有进一步信息（不知道事件B是是否发生）的情况下，人们对事件否发生）的情况下，人们对事件Ai发生的可能性发生的可能性大小的认识大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对事件发生），人们对事件Ai发生的可能性大小有了新的估计，这就是发生的可能性大小有了新的估计，这就是P(Ai|B).贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变

16、化。P(Ai|B)P(Ai)23 在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件B)的情况下，侦破人员根据过去的情况下，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性的前科，对他们作案的可能性有一个估计。有一个估计。比如原来认为作案可能性最小的丙，比如原来认为作案可能性最小的丙，现在变成了重点嫌疑犯现在变成了重点嫌疑犯.丙丙乙乙甲甲P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情细节后但在知道案情细节后(知道知道B发生后发生后),这个估这个估计就有了变化计就有了变化.P(A1|B)P(A2|B)P(A3|B)最大最大最小最小例如：例如：某地发生了一个案件，怀疑对象有某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三

17、人。甲、乙、丙三人。24 例例7 某一地区患有某症的人占某一地区患有某症的人占0.001，患者对某，患者对某种试验反应呈阳性的概率为种试验反应呈阳性的概率为0.95，正常人对这种试，正常人对这种试验反应呈阳性的概率为验反应呈阳性的概率为0.05，解设解设 A抽查的人患有此症，抽查的人患有此症，B试验结果是阳性，试验结果是阳性，由全概率公式由全概率公式已知已知 P(A)0.001 ,P(B|A)0.95,P(B|)0.05A()()P BP ABAB()(|)()(|)P A P B AP A P B A0.001 0.950.999 0.050.0509 现随机抽查一人，问现随机抽查一人，问

18、此人试验反应为阳性的概率是多少？此人试验反应为阳性的概率是多少？现随机抽一人，发现此现随机抽一人，发现此人试验反应呈阳性，问此人是此症患者的概率是多人试验反应呈阳性，问此人是此症患者的概率是多少？少？25例例9 某一地区患有某症的人占某一地区患有某症的人占0.001，患者对某，患者对某种试验反应呈阳性的概率为种试验反应呈阳性的概率为0.95，正常人对这种试，正常人对这种试验反应呈阳性的概率为验反应呈阳性的概率为0.05，现随机抽查一人，发现随机抽查一人，发现此人试验反应呈阳性，问此人是此症患者的概率现此人试验反应呈阳性，问此人是此症患者的概率是多少？是多少？由贝叶斯公式由贝叶斯公式()(|)(

19、|)()(|)()(|)P A P B AP A BP A P B AP A P B A 0.0187 解设解设 A抽查的人患有此症，抽查的人患有此症，B试验结果是阳性，试验结果是阳性，已知已知 P(A)0.001 ,P(B|A)0.95,P(B|)0.05A26如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他患症的概率是他患症的概率是如果对此人做试验，试验反应呈阳性，则根据试验得如果对此人做试验，试验反应呈阳性，则根据试验得来的信息，此人患症的概率为来的信息，此人患症的概率为 这种试验对于诊断一个人是否患有某这种试验对于诊断一个人是否患有某 症是有意义的症是有意义的从从0.001增加到增加到0

20、.0187，将近增加约，将近增加约19倍倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有某症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有某症有无意义？下面来分析一下结果的意义：下面来分析一下结果的意义：P(A)=0.001 P(A|B)=0.0187 先验概率先验概率后验概率后验概率272.检查出是阳性是否一定患有此症检查出是阳性是否一定患有此症?试验结果为阳性，此人确患此症的概率为试验结果为阳性，此人确患此症的概率为即使检出阳性，尚可不必过早下结论你有此症即使检出阳性，尚可不必过早下结论你有此症因为这种情况下患此症的可能性只有因为这种情况下患此症的可能性只有1.87%(平均平均1000个人中大约只有个人中

21、大约只有18人确患此症人确患此症)，此时医生常，此时医生常要通过再试验来确认要通过再试验来确认.P(A|B)=0.018728（练一练）在秋菜运输中，某汽车可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率分别为0.1,0.5,0.4,而在各处拉到一级菜的概率分别为0.1,0.2,0.2。(1)求汽车拉到一级菜的概率；(2)已知汽车拉到一级菜，求该车菜是由乙地拉来的概率。解:设 B=“拉到一级菜”A1=“从甲地拉菜”;A2=“从乙地拉菜”;A3=“从丙地拉菜”()0.1 0.10.5 0.20.4 0.20.19P B 20.5 0.2(|)0.530.19P AB29（补例）（补例）10个乒乓球中有个乒乓球中

22、有7个新球，第一次随机地取个新球，第一次随机地取两个，用完后放回去，第二次又随机地取两个，求（两个，用完后放回去，第二次又随机地取两个，求（1）第二次取到两个新球的概率？（第二次取到两个新球的概率？（2）若发现第二次取到）若发现第二次取到的是两个新球，求第一次没有取到新球的概率？的是两个新球，求第一次没有取到新球的概率？构成完备事件组”，“第二次取到两个新球个新球”，“第一次取到解：设210,2,1,0AAABiiAi151)(210230CCAP157)(21013171CCCAP157)(210272CCAP30157)|(210270CCABP31)|(210261CCABP92)|(2

23、10252CCABP675196)|()()|()()|()()(221100ABPAPABPAPABPAPBP000()(|)3(|)()28P A P B AP ABP B311.全概率公式：已知原因求结果全概率公式：已知原因求结果1()()()nP BP A BP A B 小小 结结1()(|)()(|)nP B P B AP B P B A原概率原概率全概率公式用来求较复杂事件的概率。所谓复杂，全概率公式用来求较复杂事件的概率。所谓复杂，是因为它的发生是有若干个原因或来源。用全概是因为它的发生是有若干个原因或来源。用全概率公式的关键在于找到一个完备事件组，而完备率公式的关键在于找到一个完备事件组，而完备事件组往往要从这样的原因或来源中找。事件组往往要从这样的原因或来源中找。32.贝叶斯公式：已知结果求原因贝叶斯公式：已知结果求原因1()(|)()()iinP A BP ABP A BP A B 11()(|)()(|)()(|)nP B P B AP B P B AP B P B A 条条件件概概率率33同步练习：第三节、第四节同步练习：第三节、第四节或课本或课本19，22，25，26，30作业作业