Chebychev多项式

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1、母函数十二、切比雪夫多项式（上）前面我们已经看到，作为指数型母函数，生成了伯努利数Bn；，生成了伯努利多项式：，伯努利数和伯努利多项式在数学分析中有许多作用，前面讲到的求自然数方幂和的公式只是其中之一.数学中有不少重要的特殊函数可以通过相应的母函数产生，这是母函数的一个重要作用. 本节介绍的切比雪夫多项式就是这些重要的特殊函数中的一个.我们来研究把函数 （117）作为普通母函数（不是指数型母函数）所生成的函数列. 这里分子是一个x的多项式；如果把分母中的t看作常数，则也是x的多项式. 我们设法把它展开成x形式幂级数.因为分子分母都是x的二次多项式，故先把它写成， （118）右边第二项分子是x的

2、一次多项式，分母是x的二次多项式，因而是个真分式，故可把它写成部分分式（把t看成常数）.为了便于讨论，我们令.这里是虚数单位. 于是所以 .这样一来，（118）右边第二项的分母便可写成于是代入（118），便得（117）的部分分式展式： . （119）注意到代入（119）得根据棣莫佛公式：由此得. （123）代入（120）有，而，所以.记 （124）这就是由母函数（117）所生成的函数列，称它们为切比雪夫多项式何以见得（124）是t的多项式呢？仍用代回，并注意到（121），（122），（123），就得利用二项式定理：于是， （125）当k取奇数值时，故和式中只有k取偶数值的那些项. 这样一来，（125）便可写成这就证明了确实是个多项式，而且是n次多项式，其中如前所说是表示的整数部分，例如当n=8时，=4=4，当n=9时，.