第十讲随机变量及其分布整理版

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1、第十讲 随机变量及其分布时间：年 月曰老师学生:一、兴趣导入 (Topic-in)小包拯出生时，额头上有一个弯弯的月牙。突然有一天，月牙变成了圆圆的月亮，小包拯母亲掐指一 算，原来，今天小包拯满月了。后来有一天醒来，小包拯母亲看到月亮不见了，叹了口气，拿出针来刻 下四个字，拍拍小包拯的肩膀说： “既然月飞了，你就去精忠报国吧”二、 学前测试 (Testing)一、离散型随机变量及其分布列1 .离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X Y,表示。所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。2 .离散型随机变量的分布列及性质(1) 一般地，若离散型随机变量X可能取

2、的不同值为Xj,x2,lll,xn, X取每一个值Xi(i = 1,2,1, n)X的分布列，有时为了表达简单，也用等式的概率 P(X 二口，则表XXX2XXnPP1P2PiPn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为P(X =x)二 P ,i =1,2, l)|,n 表示 X 的分布列。(2)离散型随机变量的分布列的性质 Pi 0(i=1,2,l|l, n)ni =1p=1。注：求离散型随机变量的分布列时，首先确定随机变量的极值，求出离散型随机变量的每一个值对应的概率，最后列成表格。3 .常见离散型随机变量的分布列(1 )两点分布X0Tp1 pp若随机变量X服从两点分布，即其分布列为，其中p

3、 = P(X =1)称为成功概率。(2)超几何分布在含有M件次品的N件新产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件X=k发生的概率为Ck cnJk*P(X = k)=M N,k =0,1,2,|H，m, 其中m=minM,n,且nW N,M N,n,M,N N ,称分布列为超几何M C N分布列。X014mPC。n_0 cM cN JNc1 r1 n cM cN JNCmC门cmcnjm.项分布及其应用1 .条件概率及其性质(1 )条件概率的定义设A、B为两个事件，且P (A)0,称P ( B|A) =P (AB /P ( A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件 概率。注：条件概率不一定

4、等于非条件概率。若A, B相互独立，则P ( B|A) =P ( B)。(2 )条件概率的性质 0WP(B|A)4) =( )D0.1585A、0.1588 B、0.1587 C、0.158617. B.P(3-X-4)P(2 -X -4)=0.3413,2P(X 4) =0.5 P(2 空 X 2)=0.023，则P(-2 Z 2)=0.023,所以 P( V -2)=0.023,所以 P(-2 2)- P( V -2)=1-2 X 0.023=0.954,故选 C.3.( 2010湖北理数)14.某射手射击所得环数 的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E =8.9，则y的值

5、为_.14.【答案】0.49 0.3 10 y =8.9解析】由表格可知： x 0.10.3 y =9, 7x 8 0.1联合解得y=0.4.4. (2010浙江理数)19.(本题满分14分)如图，一个小球从M处投入，通 过管道自上 而下落A或B或Co已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可 能性是相等的.某商家 按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A,B, C,则分别设为I , 2, 3等奖.(I )已知获得I , 2, 3等奖的折扣率分别为50%, 70%, 90% .记随变量 为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及19K)期望 E ；(II)若有3人次(投入l

6、球为I人次)参加促销活动，记随机变量 为获得1等奖或2等奖的人次，求P( =2)解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概 括、运算求 解能力和应用意识。(I) 解：由题意得E的分布列为339+=.16 8 16则 P ( n =2) =C2(92) (1165. ( 20 1 0江西理数) 1 8.9 1701)=16 4096(本小题满分 12 分)则 E E 二一 X 50% + X 70 % + 90 %16 8 16 4(n)解：由(i)可知，获得1等奖或2等奖的概率为由题意得 n (3,16)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经

7、过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机(即等可能)为 你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2号、3号通道，则分别需要 2 小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令 芒表 示走出迷宫所需的时间。(1) 求.的分布列；(2) 求的数学期望。【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的 数学特征 和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。(1)必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1 , 3, 4, 6P( =1)=丄31 1 1(2) E =13p(3V 2计， p(

8、4)V 1 计， P( SA；(1 2)已1 746 小时分布列为:6. ( 2010四川理数)(17)(本小题满分 12 分) 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一 瓶”字样即为中奖，中奖概率为 1 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。6(I)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(n)求中奖人数E的分布列及数学期望E E .解：设甲、乙、丙中奖的事件分别为A B、C,那么F(A)=F(B)= P( C)=166F( ABLC)=RA)P(B)P(C)=42=2S答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为竺 2166分( 2 ) E 的可能

9、值为 0,1,2,3F( E =k)= Cs(1)k(-)3-(k=0,1,2,3)6 6所以中奖人数E的分布列为0123P1252551P2167272216EE =0x 125 +1 x 25 +2X +3X1 1 12分216 72 72 216 =2 五、训练辅导( Tutor)咼考对接一、选择题1.(全国I新卷理6)某种种子每粒发芽的概率都为粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为 (A) 100( B) 200( C)【答案】B0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，300( D ) 400X(0.1,1000)解析：根据题意显然有 2XE()=0.1 10

10、00 =100，所以 2，故 EX = 2002 .袋中有大小相同的 5个球，分别标有1, 2, 3, 4, 5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量E，则E所有可能取值的个数是(B)A.5B.9C.10D.253 .袋中有 5个白球， 3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现次时停止，设停止时共取了E次球，则P ( E =12)等于(B)A.C：0C.CA3）8（5）10/ 52 ( _ )8B.C 95)8D.C9(83)3）28值为B（En, p）的随机变量E的期望和方差分别是4设服从二项分布A. n=4, p=0.6 C

11、.n=8, p=0.3B.n=6, p=0.45射手对靶射击，E的期望为（C）Dn=24, p=0-1A.2.44直到第一次命37为止每次命中的概率为066 设投掷1颗骰子的点数为E，则（E）（5 ）82.4与1.44,则二项分布的参数 n、p的现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目A.EE=3.5,DE =3.52.EE =3.5,D E = 3512C.EE=3.5,DE=3.57 .设导弹发射的事故率为A.E E=0.1D.EE=3.5,0.01，若发射10次，其出事故的次数为 EB.DE=0.135 D E =16则下列结论正确的是（A）C.P ( E =k) =0.01k0.9910kD

12、.P ( E =k) =ck0 0.99k O.O110k8 已知 E B (n, p)1 1111且 E E =7, D E =6,贝p 等于(A)D.-40.02.设发病的牛的头数为B. C.7659 一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为E，则D E等于（C）10 个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c （ a、b、C，（0,1），已知他投篮一次得分的数学期2 （不计其它得分情况），则ab的最大值为（D）望为A 11解析:由已知得 3a 2b 0B = 2#卩 3a 2b = 2,. ab 丿11 设是离散型随机变量，P（23

13、, p( =x2)C.123a 2b -丄 3a2b616I.24，故选 D.，且x2,现已知:32E,4D:3则X1 X2的值为（C ）57A.B.3312. 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍1 随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则P （- 1 2 3 A. 7 B. 7C.解析：设二级品有k个， 一级品有2k个，三级品有11D.3，三级品为二级品的一半，从这批产品中 .5、 寸（D）37 k7 k个，总数为水个。22123421P77715 p汽2P7六、反思总结( Thinking)附件：堂堂清落地训练得分:(坚持堂堂清，学习很爽心)学生：完成时间：17 某班从6名干

14、部中(其中男生 4人，女生2分，)选3人参加学校的义务劳动。匚(1)设所选 3 人中女生人数为 ，求 的分布列及 E(2) 求男生甲或女生乙被选中的概率；(3) 在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中概率。20解：(1)的所有可能取值为0,1 , 2,依题意得：P(7吕十(讣CA|； P (性警C65C6 5的分布列为g22*Pw131131.E =0 1 2 1555设“甲、乙都不被选中”的事件为C,则P(C)=1 _P(C)=1.所求概率为5 5(3) 记“男生甲被选中”为事件 A, “女生乙被选中” 为事件 B,P(A)=C2C0C：10 *(BTCHC6PA)惴2C4P(B|A)C-

15、 105 (或直接得C； 1018.(本小题满分12分)某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要回答一个问题规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别3 1 1 是424,且各阶段通过与否相互独立.(I )求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(II )设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求 的分布列、数学期望和方差19解：(I )记“该选手通过初赛”为事件A, “该选手通过复赛”为事件 B, “该选手通过31 P(A)= P(B)= P(C) =决赛”为事件C,则423 1 3 p 二 P(AB)二 P(A)P(B) (1=)蔦是428.14那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率4分(II ) 可能取值为1, 2, 3.P( =1)=P(A)J ,3144一 313P( J2) = P(AB) = P(A) P(B) =4 1 二)=g，B 3 1 3P( =3)=P(AB)=P(A)P(B)q 2=.戶2p133产的分布列为产E ：= 1 乂丄 2 3.3 3 = 17的数学期望48 8 810 分的方差丄(2 一与 3(3-17)2 3 = 39488828 6412分