【北师大版】数学必修四：3.2.12两角和与差的正弦 余弦函数课件

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1、精 品 数 学 课 件北 师 大 版2 两角和与差的三角函数 2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数 cos.a bab1212coscos.e eee2.2.若若 是单位向量是单位向量,则则1212.a bx xy y1122(,),(,),ax ybx y1.1.平面向量的数量积平面向量的数量积12e e ，3.3.平面向量的数量积的坐标运算平面向量的数量积的坐标运算4.4.写出五组诱导公式写出五组诱导公式 sin()cos()sin()cos()sin()cos()sin(2)cos(2)sincossincossincossinsincoscos sin 2cos

2、2kk规律小结：函数名不变，规律小结：函数名不变，符号看象限符号看象限思考思考1 1:15:15能否写成两个特殊角的和或差的形式能否写成两个特殊角的和或差的形式?如何求如何求coscos（375375）的值？）的值？解：解：cos(375cos(375)=cos375)=cos375=cos(360=cos(360+15+15)=cos15)=cos15思考思考2 2:cos15:cos15=cos(45=cos(45-30-30)=cos45)=cos45-cos30-cos30成立吗成立吗?1515=45=45-30-302345=30=2223234530=0222150因因为为，所所以

3、以而而coscoscoscoscos所以所以cos(45cos(45 -30-30)cos45)cos45 -cos30-cos30.所以所以 coscos（+）=cos+cos=cos+cos不总是成立不总是成立.思考思考3:3:究竟究竟cos15cos15=?=?思考思考4:4:cos(45cos(45-30-30)能否用能否用4545和和3030的角的三角函数的角的三角函数值来表示值来表示?思考思考5:5:如果能如果能,那么一般情况下那么一般情况下cos(cos(-)能否用角能否用角,的三角函数值来表示的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！请进入本节课的学习！1.1.利用向量的数量积发

4、现两角差的余弦公式利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点）（重点）2.2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式.（难点）（难点）3.3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数.（难点）（难点）探究点探究点1 1 两角差的余弦函数两角差的余弦函数在直角坐标系中，如图，以原点为中心，单位长度在直角坐标系中，如图，以原点为中心，单位长度为半径作单位圆，又以原点为顶点，为半径作单位圆，又以原点为顶点，x x轴非负半轴轴非负半轴为始边分别作角为始边分别作角，且且，我们首先研

5、究，我们首先研究，均为锐角的情况均为锐角的情况xyO 0 0(1,0)P2(cos,sin)P 1 1(cos,sin)P 由图可知：单位圆上由图可知：单位圆上P1，P2两点，两点，2 21,POP1 1设设向向量量OPOP（cossincossin,),a2 2向向量量OPOP（cossincossin,),b()因因为为c co os sa ba b a bc co os sc co os ss si in ns si in n cos(-)cos cossin sincos(-)cos cossin sin 所所以以我们称上式为两角差的余弦公式，记作我们称上式为两角差的余弦公式，记作Cx

6、yO 0 0(1,0)P2(cos,sin)P 1 1(cos,sin)P 思考：思考：公式公式cos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsin是是否对任意角否对任意角,都成立？都成立？提示：提示：当当0-0-时，公式显然成立；时，公式显然成立；当当-不在不在0,0,内时，利用诱导公式，存在内时，利用诱导公式，存在0,20,2，使，使-=+2k,kZ-=+2k,kZ，若，若0,0,，cos=cos(-)cos=cos(-)；若；若(，22，2-2-0,)0,)，cos(2-)=cos=cos(-cos(2-)=cos=cos(-)，故上述公式对任意角，故上述公式

7、对任意角,都成立都成立.cos()coscos()sinsin()cos()coscossinsin：两两角角和和与与差差的的余余弦弦公公式式结结论论Ccos()coscossinsin 注：注：1.1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）公式中两边的符号正好相反（一正一负）.2.2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后前正弦在后.我们知道减去一个数等于加上这个数的相反数，我们知道减去一个数等于加上这个数的相反数，利用诱导公式试求利用诱导公式试求cos(+)？探究点探究点2 2 两角和的余弦函数两角和的余弦函数C =C C S S 2321

8、2222 624 .公式应用公式应用解解 cos75cos75=cos=cos（4545+30+30）=cos45=cos45cos30cos30-sin45-sin45sin30sin30例例1 1 不查表，求不查表，求cos75cos75，cos15cos15的值的值.公式形式公式形式为为ccss23212222 624 .=cos45=cos45cos30cos30+sin45+sin45sin30sin30cos15cos15=cos=cos（4545-30-30）例例 已已知知求求的的值值452sin,cos,52133,cos,cos.2 224sin523cos1sin;553c

9、os13212sin1cos.13 由由，得得又又由由，得得解解 coscos cossin sin354125135133365coscos cossin sin3541251351363.65 所所以以.+技巧方法：技巧方法：1.1.求求，的正弦值、余弦值的正弦值、余弦值,注注 意意，的取值范围的取值范围.2.2.代入公式代入公式.例例3 3 证明证明 coscos（）=sin=sin（为任意角）为任意角）.2 所以所以 coscos（）=sin =sin.2 证明证明 coscos（）=cos cos=cos cossin sinsin sin，2 2 2 因为因为 cos =0cos

10、=0，sin =1sin =1，2 2 sinsin（）=cos(=cos(为任意角为任意角).).2 (2)sin (2)sin（）=cos=cos （）=cos =cos，2 2 2 所以所以sinsin（）=cos=cos.2 用类似的证法，可得用类似的证法，可得：cos（）=sin 2 sin（）=cos 2cos（）=sin sin（）=cos32 32 cos（）=sin sin（）=cos32 32 小结：小结：，角的三角函数值等于角的三角函数值等于 的异的异名函数前加上把名函数前加上把 看作锐角时原函数值的符号看作锐角时原函数值的符号.2 32 如如何何求求的的值值？sin c

11、os2 cos2 coscossinsin22 sincoscossin 解解:sin sinsincoscossin 探究点探究点3 3 两角和与差的正弦函数两角和与差的正弦函数用代sin()sincos()cossin()sin)sincoscossin(两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式1 1.两角和的正弦公式两角和的正弦公式sin)sincoscossin,(sin()=sincoscos+sin,2 2.两角差的正弦公式两角差的正弦公式简记简记：.S 简记简记：.S【提升总结提升总结】公式公式 的结构特征的结构特征(1)(1)的结构特征：左边是两角和、差的正弦，的结构特征：左边

12、是两角和、差的正弦，右边是前一角的正弦与后一角余弦的积与前一角的余右边是前一角的正弦与后一角余弦的积与前一角的余弦与后一角正弦的积的和、差弦与后一角正弦的积的和、差.(2)(2)公式中的角公式中的角,是任意的角是任意的角.SS，S,S例例 不不查查表表，计计算算，的的值值4sin75 sin15.解 sin75sin 4530sin45 cos30cos45 sin3023216222224.sin15sin 4530sin45 cos30cos45 sin3023216222224 令令22cossisc sninoabxx22sinabxsincosxbxa22cossisc sninoa

13、bxx化化 为一个角的三角函数形式为一个角的三角函数形式sincosxbxa22cossisc sninoabxx222222sincosbabxxababa22cossisc sninoabxx2222cossinabbaba22cossisc sninoabxx 5sin3cos.fxxx例例求求的的最最大大值值和和周周期期 max132(sinxcosx)222(cossinxsincosx)332sin(x).3x2k(kZ)32x2k(kZ)sin(x)16322f x2.T2.1故当时，也即是时，取最大值，函数周期 sin3cos解解 fxxx31sincos22(1)把下列各式化

14、为一个角的三角函数形式把下列各式化为一个角的三角函数形式sincos(2)解解:原原式式cossinsincossin666原原式式=解解:2 222sincos2sin224【变式练习变式练习】.【提升总结提升总结】灵活应用公式求三角函数值的三个注灵活应用公式求三角函数值的三个注意点意点(1)(1)公式应用时要注意区分已知与未知的差别，利公式应用时要注意区分已知与未知的差别，利用角的分解与组合建立它们之间的联系用角的分解与组合建立它们之间的联系.(2)(2)求三角函数值时要注意利用平方关系，并注意求三角函数值时要注意利用平方关系，并注意角的取值范围角的取值范围.(3)(3)注意题目中的隐含条

15、件，如解决三角形问题时，注意题目中的隐含条件，如解决三角形问题时，要注意三角形内角和等于要注意三角形内角和等于180180这一暗含条件这一暗含条件.1.cos501.cos50cos20cos20+sin50+sin50sin20sin20的值为的值为()()A.B.C.D.A.B.C.D.解析：解析：cos50cos50cos20cos20+sin50+sin50sin20sin20 =cos(50 =cos(50-20-20)=cos30)=cos30=1213323332C CA A3.3.cos255cos255cos195cos195-sin75-sin75sin195sin195=

16、_.=_.解析：解析：cos255cos255cos195cos195-sin75-sin75sin195sin195 =cos75 =cos75cos15cos15+sin75+sin75sin15sin15 =cos(75 =cos(75-15-15)=.=.12123).233 34.4.已已知知cos=cos=，2 2，求求cos(cos(5 5解：解：223cos,2sin1cos1.cos()coscossinsin333132234 3.10 3因为=，2534所以55所以34552sin()2sin()3cos().333xxx5.5.化简：化简：=x+23+x333=x+2+

17、3+x33313=x+x2323322sinx+3322 =sinx+sinx+33sinsin xcossinsin xcossincossin xsin 原原式式（）（）-（）（）（）（）2 2（）（）+2+2（）=2 =2（）-2-2（x+x+）2 2（）-2-2（）解解：=0.=0.本节课主要学习了：本节课主要学习了：1.1.2.2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简化简 三角函数式和证明三角恒等式三角函数式和证明三角恒等式.应用公式时要灵应用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用活使用，并要注意公式的逆向使用.sinsincoscoscossinsincoscoscossincoscossinsinsincoscossinsin;.3.3.在用已知角来求未知角这类题型时，应注意两点：在用已知角来求未知角这类题型时，应注意两点：（1 1）凑角，即尽可能用已知角表示未知角）凑角，即尽可能用已知角表示未知角.（2 2）角的范围，它决定符号取正、负的问题）角的范围，它决定符号取正、负的问题.22cosabxsincosaxbx化化 为一个角的三角函数形式为一个角的三角函数形式sincosxbxa4.4.22cossisc sninoabxx.读书好似爬山，爬得越高，望得越远；读书好似耕耘，汗水流得越多，收获越丰满.臧克家