专题09 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合练习（新高考地区专用）（解析版）

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1、专题09 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合练习一、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分。每小题给出的四个选项中,第1-10题只有一项符合题目要求,第11-12题有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分）1若函数 (为常数)在区间上是增函数,则实数的范围是()。A、 B、 C、 D、【参考答案】B【解析】设,则,单调递增,在内单调递增,故选B。2函数满足：对任意实数,则的取值范围是()。A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】,故选C。3已知函数是定义在上的单调递增函数,则( )。A、且 B、且 C、且 D、且【参考答案】A【解析】,则恒成立,则

2、,无要求,故选A。4已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递增,则( )。A、 B、C、 D、【参考答案】C【解析】定义在上的偶函数, 又, ,故选C。5定义在上的函数满足：,且,若,则( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】A【解析】由得函数的周期为,故选A。6定义在上的奇函数在上单调递减,若,则满足的的取值范围是( )。A、 B、C、 D、【参考答案】D【解析】由题意可知为奇函数且在单调递减,要使成立,满足,解得,的取值范围为,选D。7函数在单调递增,且对任意实数恒有,若,则的取值范围是( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】A【解析】对任意实数恒有,故函数的图像关于直线对称,函数在单

3、调递增,在上单调递减,故由,可得,即,即,求得,故选A。8若为定义在上的奇函数,且,当时,则 ( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】D【解析】,且为奇函数,周期, 、, , ,故选D。9已知函数与函数()的图像上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】B【解析】由题意得,在上有解,即在上有解,即函数与函数的图像在上有交点,函数的图像是由函数的图像左右平移得到的,且当的图像经过点时,函数与函数的图像有界交点,此时代入点,有,得,故选B。10已知函数满足：,则函数的最大值与最小值的和为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】B【解析】,则关于点中心对称

4、,设,为奇函数,则关于点中心对称,关于点中心对称,则也关于点中心对称,最大值与最小值的和为,故选B。11设函数(),则下列命题是正确的是( )。A、若,则为奇函数B、若,则函数在上是增函数C、函数的图像关于点成中心对称图形D、关于的方程最多有两个实根【参考答案】ABC【解析】若,则,即为奇函数,故A正确,若,则函数,在上为增函数,故B正确,由A可得,为奇函数,则它的图像关于原点对称,则函数的图像关于点成中心对称图形,故C正确,根据C结论和二次函数的图像和性质,可得关于的方程最多有三个实根,故D错误,故选ABC。12已知函数,则下列关于函数的说法错误的是( )。A、函数为奇函数B、函数的图象关于

5、点对称C、对任意的、,D、存在、,使得成立【参考答案】ABD【解析】对于A,A错,对于B,的图象关于点对称,则关于点对称,则应为奇函数,B错；对于C,令,则化为,则,故的值域为,对于任意的、,C对；对于D,由C知D错,故选ABD。二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分。把参考答案填在题中横线上）13若函数的单调递增区间是,则 。【参考答案】【解析】当时,为减函数,当时,为增函数,结合已知有,。14若函数为奇函数,则 。【参考答案】【解析】奇函数,即,即,当时,故舍去,。15已知函数满足：,且,则 。【参考答案】【解析】,。16已知函数定义域为,对于任意的有,当时,则 ；若当时,恒成立,

6、则的取值范围是 。(本题第一空2分,第二空3分)【参考答案】 【解析】对任意的有,且当时,；设,则,则,时恒成立,又时,而时在时取得最小值,解得。三、解答题（本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）讨论(且)在上的单调性。【解析】任取、,且,则： , 3分, 4分(1)当时, 6分(2)当时, 8分综上,对于任意且,均有,在上是增函数。 10分18（12分）定义在上的函数,当时,且对任意的、,有。(1)证明：；(2)证明：对任意的,恒有；(3)证明：是上的增函数；(4)若,求的取值范围。【解析】(1)证明：令,则,又,； 2分(2)证明：当时,又,对任意

7、的,恒有； 5分(3)证明：设,则,是上的增函数； 8分(4)解：,在上为增函数,。 12分19（12分）已知函数定义域为,若对于任意的,都有,且时,有。(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断并证明函数的单调性；(3)若,对所有,恒成立,求的取值范围。【解析】(1),令,得, 1分令可得：,为奇函数； 3分(2)是定义在上的奇函数,由题意设,则, 5分由题意时,有,是在上为单调递增函数； 6分(3)在上为单调递增函数,在上的最大值为, 7分要使,对所有,恒成立, 8分只要,即恒成立； 9分令,得,或。 12分20（12分）已知定义域为的函数是奇函数。(1)求、的值；(2)判断的单调性,并用单

8、调性定义证明；(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围。【解析】(1)是定义域为上的奇函数,即, 1分又由, 2分,经检验可取,； 4分 (2)任取,且,则, 6分,为上的减函数； 8分(3)是奇函数,等价于, 9分为减函数,由上式可得：, 10分即对一切有：对恒成立,。 12分21（12分）已知函数(,)是奇函数,当时,有最小值,其中且。(1)试求函数的解析式；(2)问函数图像上是否存在关于点对称的两点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由。【解析】(1)是奇函数,即, 2分,当且仅当时等号成立,于是, 4分由得即,解得,又,； 6分(2)设存在一点在的图像上,并且关于的对称点也在图像上的点, 7分则,消去得, 9分图像上存在两点、关于对称。 12分22（12分）已知函数。(1)求的单调区间；(2)当时,恒成立,求的取值范围。【解析】(1)的定义域为, 1分令,解得, 2分当,则函数在上单调递减, 3分当,则函数在上单调递增； 4分(2)令,则当时,恒成立, 5分当,时,恒成立, 在上是增函数,且,不符合题意, 7分当,时,恒成立,在上是增函数,且,不符合题意, 9分 当,时,恒有,故在上是减函数,于是“对任意都成立”的充要条件是,即,解得,故, 11分 综上,的取值范围是。 12分知识改变命运10