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1、第四第四 章章 样本及抽样分布样本及抽样分布l引言引言l随机样本随机样本l抽样分布抽样分布run4.1 随机样本随机样本一、总体与样本一、总体与样本 1.总体：研讨对象的全体。总体：研讨对象的全体。通常指研讨对象的某项数量目的。通常指研讨对象的某项数量目的。组成总体的元素称为个体。组成总体的元素称为个体。从本质上讲，总体就是所研讨的随机变量或从本质上讲，总体就是所研讨的随机变量或随机变量的分布。随机变量的分布。2.样本：来自总体的部分个体X1，Xn 假设满足：1同分布性：Xi，i=1,n与总体同分布.2独立性：X1，Xn 相互独立；那么称为容量为n 的简单随机样本，简称样本。而称X1，Xn 的
2、一次实现为样本察看值，记为x1，xn 来自总体X的随机样本X1，Xn可记为),.(),(,1xFxfXXXiidn或显然，样本结合分布函数或密度函数为niinxFxxxF121*)(),(或或niinxfxxxf121*)(),(3.总体、样本、样本察看值的关系总体、样本、样本察看值的关系总体总体 样本样本 样本察看值样本察看值 实际分布实际分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本察看值，去推断样本察看值，去推断总体的情况总体的情况总体分布。样本是联络两者的桥梁总体分布。样本是联络两者的桥梁。总体分布决议了样本取值的概率规律，也就是样。总体分布决议了样本取值的概率规律，也就是样本
3、取到样本察看值的规律，因此可以用样本察看值本取到样本察看值的规律，因此可以用样本察看值去推断总体去推断总体二、统计量二、统计量定义：称样本X1，Xn 的函数g(X1，Xn)是总体X的一个统计量,假设g(X1，Xn)不含 未知 参数,1.11niiXnX样本均值,)()(11.22122SSXXnSnii标准差样本均方差样本方差几个常用的统计量：nikiknikikXXnBXnA11,)(11中心矩原点矩3.样本样本k阶矩阶矩4.2 抽样分布抽样分布一、一、2分布分布.).(),1,0(,.1221221分布的称为自由度为则设构造nnXNXXniiiidn2.2分布的密度函数f(y)曲线 0y,
4、00y,ey)y(f2y12n)2/n(212/n3.分位点分位点 设设X 2(n)，假设对于，假设对于：0 1，存在存在0)(2n满足满足,)(2nXP那么那么称称)(2n为为)(2n分布的上分布的上分位点分位点。)(2nP228附表附表34.性质：性质：(p124)a.分布可加性分布可加性 假设假设X 2(n1)，Y 2(n2)，X，Y独立，那么独立，那么 X+Y 2(n1+n2)b.期望与方差期望与方差 假设假设X 2(n)，那么，那么E(X)=n，D(X)=2n1.构造构造 假设假设N(0,1),2(n),与与独立，那么独立，那么).n(tn/T t(n)称为自在度为称为自在度为n的的
5、t分布。分布。二、二、t分布分布t(n)的概率密度为的概率密度为(p125)t,)nt1()2n(n)21n()t(f21n22.2.根本性质根本性质:(1)f(t)(1)f(t)关于关于t=0(t=0(纵轴纵轴)对称。对称。(2)f(t)(2)f(t)的极限为的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即的密度函数，即 3.3.分位点分位点设设T Tt(n)t(n)，假设对，假设对:0:01,0(n)0，满足满足PTPTt t(n)=(n)=，那么称那么称t t(n)(n)为为t(n)t(n)的上侧分位点的上侧分位点 x,e21)t()t(flim2tn2)(nt注注:)()(1ntnt)(1
6、nt)(nt三、三、F分布分布1.构造构造 假设假设1 2(n1)，22(n2)，1，2独立，那么独立，那么).n,n(Fn/n/F212211 称为第一自在度为称为第一自在度为n1，第二自在度为，第二自在度为n2的的F分布分布,其其概率密度为概率密度为 0y,00y,)ynn1)(2n()(y)n/n)(2nn()y(h2/)nn(2122n12n2/n2121211112.F2.F分布的分位点分布的分位点对于对于：0010(n1,n2)0，满足满足PFPFF F(n1,n2)=(n1,n2)=，那么称那么称F F(n1,n2)(n1,n2)为为F(n1,n2)F(n1,n2)的的上侧上侧分
7、位点；分位点；),(21nnF1),(211nnFFP证明证明:设设FF(n1,n2),那那么么),(1),(12211nnFnnF注：注：1),(11211nnFFP),(112nnFF),(11211nnFFP),(112nnFFP得证得证!4.3 正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理)1,0(Nn/XU),(NX,X.12iidn1 则若证明证明:niiXnX11是是n 个独立的正态随个独立的正态随机变量的线性组合机变量的线性组合,故故服从正态分布服从正态分布niiXEnXE1)(1)(nXDnXDnii212)(1)(),(2nNX)1,0(/NnX;)1(),(,.2221相
8、互独立与则若SXNXXiidn);1()1()2(2222nSn).1(/)3(ntnSXT(3)证明证明:)1,0(/NnXU且且U与与V独立独立,根据根据t分布的构造分布的构造);1()1(222nSnV)1(1ntnVU得证得证!.2)1()1().1,1(/1/1)(,)2(2122221122121212221称为混合样本方差其中就有假定进一步nnSnSnSnntnnSYXTww);1n,1n(F/S/SF)1(.),(NY,Y),(NX,X.32122222121222iidn1211iidn121 则且两样本独立若(P127)例1：设总体XN(10,32),X1，Xn是它的一个样本61iiXZ(1)写出Z所服从的分布;(2)求P(Z11).例2：设X1，X10是取自N0，0.32)的样本,求101244.1iiXP例3：设X1，Xn是取自N,2)的样本,求样本方差S2的期望与方差。
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