全国各地中考数学解答题压轴题解析

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1、2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（5）1.（北京8分）如图，在平面直角坐标系O中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）已知A（1，0），B（1，0），AEBF，且半圆与轴的交点D在射线AE的反向延长线上（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；（2）当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；（3）已知AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标的取值范围【答案】解：（1）连接A

2、D、DB，则点D在直线AE上，如图1。点D在以AB为直径的半圆上，ADB=90。BDAD。在RtDOB中，由勾股定理得，BD=。AEBF，两条射线AE、BF所在直线的距离为。（2）当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=或1b1；当一次函数=+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1b（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：当点M在射线AE上时，如图2AMPQ四点按顺时针方向排列，直线PQ必在直线AM的上方。PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合。 0PQ。AMPQ且AM=PQ，0AM。21。当点M不在弧AD

3、上时，如图3，点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形。当点M在弧BD上时，设弧DB的中点为R，则ORBF，当点M在弧DR上时，如图4，过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点四边形AMPQ为满足题意的平行四边形。0。当点M在弧RB上时，如图5，直线PQ必在直线AM的下方，此时不存在满足题意的平行四边形。当点M在射线BF上时，如图6，直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形。综上，点M的横坐标x的取值范围是21或0。【考点】一次函数综合题，勾股定理，平行四边形的性质，圆周角定理。【分析】（1）

4、利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离。（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量的取值范围即可。（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可。2.（天津10分）已知抛物线：点F(1，1)() 求抛物线的顶点坐标；() 若抛物线与轴的交点为A连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：抛物线上任意一点P（）)（）连接PF并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；() 将抛物线作适当的平移得抛物线：，若时恒成立，求m的最大值【答案】解： (I)，抛物线的顶点坐标为()(II)

5、根据题意，可得点A(0，1)，F(1，1)AB轴得AF=BF=1，成立理由如下：如图，过点P（）作PMAB于点M，则 FM=，PM=（）。RtPMF中，有勾股定理，得又点P（）在抛物线上，得，即，即。过点Q（）作QNAB，与AB的延长线交于点N，同理可得PMF=QNF=90，MFP=NFQ，PMFQNF。，这里，。，即。() 令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，且，抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，观察图象随着抛物线向右不断平移，的值不断增大，当满足，恒成立时，m的最大值在处取得。当时所对应的即为m的最大值。将带入，得。解得或（舍去）。此时，得。解得，。m的最大值为8。【考点】二次函数综合

6、题，抛物线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，图象平移，解一元二次方程。【分析】(I) 只要把二次函数变形为的形式即可。 (II) 求出AF和BF即可证明。应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。() 应用图象平移和抛物线的性质可以证明。3.（上海14分）在RtABC中，ACB90，BC30，AB50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EMEN，（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP，BN，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AME

7、ENB（AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长 【答案】解：（1）ACB=90，AC= 。CPAB， ABCCPB。 ，即。CP=24。CM=。（2） ，设EP=12，则EM=13，PM=5。EM=EN，EN=13，PN=5。AEPABC， ，即 。=16，BP=5016，y=5021，=5021 ，=50。由（1），当点E与点C重合时，AP=，函数的定义域是：032。（3）当点E在AC上时，如图2，由（2）知，AP=16，BN= y=50，EN=EM=13，AM=APMP=165=11。AMEENB， ，即。 AP=16=22。当点E在BC上时，如图，设EP=1

8、2，则EM=13，MP=NP=5，EBPABC，即。BP=9。BN=95=4，AM=5095=5014。AMEENB，即。AP=509=42。综上所述，AP的长为：22或42。 【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用。【分析】（1）根据已知条件得出AC的值，再根据CPAB求出CP，从而得出CM的值。（2）根据EMEN，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出AEPABC，即可求出 ，求出的值，即可得出关于的函数关系式，并且能求出函数的定义域（3）设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分点E在AC上和点E在BC上两种情况，根据EBPABCC，求出AP的值，从而得出AM和

9、BN的值，再根据AMEENB，求出的值，得出AP的长。4.（重庆分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧设运动的时间为t秒（t0）（1）当等边EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为

10、S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）当边FG恰好经过点C时，CFB=60，BF=3t，在RtCBF中，BC=2，tanCFB=，即tan60=。解得BF=2，即3t=2，t=1。当边FG恰好经过点C时，t=1。（2）当0t1时，S=2t+4；当1t3时，S=；当3t4时，S=4t+20；当4t6时，S=t212t+36。（3）存在。理由如下：在RtABC中，tanCAB=，CAB=30。又HEO=60，HAE=AH

11、E=30。AE=HE=3t或t3。当AH=AO=3时，（如图），过点E作EMAH于M，则AM=AH=，在RtAME中，cosMAE，即cos30=，AE=，即3t=或t3=。t=3或t=3+。2）当HA=HO时，（如图）则HOA=HAO=30，又HEO=60，EHO=90，EO=2HE=2AE。又AE+EO=3，AE+2AE=3，AE=1。即3t=1或t3=1。t=2或t=4。3）当OH=OA时，（如图），则OHA=OAH=30，HOB=60=HEB，点E和点O重合。AE=3，即3t=3或t3=3，t=6（舍去）或t=0。综上所述，存在5个这样的t值，使AOH是等腰三角形，即t=3，t=3+，

12、t=2，t=4，t=0。【考点】相似三角形的判定和性质，二次函数关系式，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数。【分析】（1）当边FG恰好经过点C时，CFB=60，BF=3t，在RtCBF中，解直角三角形可求t的值。（2）按照等边EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0t1，1t3，3t4，4t6四种情况，即可分别写出函数关系式。（3）存在。当AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值。5.（重庆綦江10分）如图，等边ABC中，AO是BAC的角平分线，D为AO上一点，以C

13、D为一边且在CD下方作等边CDE，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长【答案】解：（1）ABC与DCE是等边三角形，AC=BC，DC=EC，ACB=DCE=60。ACD+DCB=ECB+DCB=60。ACD=BCE。ACDBCE（SAS）。（2）过点C作CHBQ于H，ABC是等边三角形，AO是角平分线，DAC=30ACDBCE，QBC=DAC=30。CH=BC=8=4，PC=CQ=5，CH=4，PH=QH=3。PQ=6。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三

14、角形的性质，勾股定理。【分析】（1）由ABC与DCE是等边三角形，可得AC=BC，DC=EC，ACB=DCE=60，又由ACD+DCB=ECB+DCB=60，即可证得ACD=BCE，根据SAS即可证得ACDBCE。（2）首先过点C作CHBQ于H，由等边三角形的性质，即可求得DAC=30，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长，6.（重庆江津12分）在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB=米，BC=米（注：取

15、 =3.14）（1）试用含的代数式表示；（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428 元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；设该工程的总造价为W元，求W关于的函数关系式；若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由【答案】解：（1）由题意得，+=628，

16、3.14+3.14=628，+=200则=200。（2）W=428+400+400，=428（200）+4003.14+4003.14=200240000+12560000；仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务理由如下，由知W=200（100）2+1.056107107，所以不能。由题意可知：即x（200），解之得80。080，又由题意得：W=200（100）2+1.056107=107+6.482105，整理得（100）2=441，解得1=79，2=121（不合题意舍去），只能取=79，则=20079=121。设计方案是：AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆

17、。【考点】二次函数的应用（工程问题），解一元一次不等式和一元二次方程。【分析】（1）把组合图形惊醒分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可。（2）利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即可解答。利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论。建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题。7（重庆潼南12分）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求，的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作轴的垂线交抛物线于点F，当线

18、段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函数的图象经过点A（1，0），B（4，5），解得：。（2）如图：直线AB经过点A（1，0），B（4，5），直线AB的解析式为：。又二次函数，点E在上，点F在上，设点E（t，t+1），则F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t）2+，当t=时，EF的最大值为。点E的坐标为（，）。（3）如图：顺次连接点E、B、F、

19、D得四边形EBFD。可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，4），S四边形EBFD=SBEF+SDEF=。如图：）过点E作PEEF交抛物线于点P，设点P（m，m22m3），则有：m22m2=，解得：m=，P1（，），P2（，）。）过点F作P3FEF交抛物线于P3，设P3（n，n22n3），则有：n22n2=，解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），P3（，）。综上所述：所有点P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形。【考点】二次函数综合题，曲线上的点与方程的关系，待定系数法，解二元一次方程和一元二次方程，二次函数的最值。【分析】（1）由ACB=9

20、0，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得，的值。（2）由直线AB经过点A（1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，设点E（t，t+1），点F（t，t22t3）则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标。（3）顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，4）由S四边形EBFD=SBEF+SDEF即可求得。分EP和FP为另一直角边的两种情况，求出点P的坐标即可。8.（江苏苏州10分）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C点D是抛物线的顶点(1)如图，连接AC，将OAC

21、沿直线AC翻折，若点O的对应点O恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；(2)如图，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程； (3)如图，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条

22、边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由【答案】解：（1）由，令，解得，。令，解得，。 点A、B、C的坐标分别为（2，0），（4，0），（0，）。该抛物线的对称轴为。如图，设该抛物线的对称轴与轴的交点为点M，则由OA=2得AM=1。由题意，得OA=OA=2，OA=2AM，OAM=600。 OAC=CAO=600。OC=，即。（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结论仍然成立。如图，若点P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM，点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，PB4，PC4，PCPB。又PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC

23、，PBPD。此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形。设点P是边FG上的任意一点（不与点G重合），点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），FG=3，GB=。3PB 。PC4，PCPB。又PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD。此时线段PA、PB、PC、PD也不能构成平行四边形。（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，如图，点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，PA=PB。当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形。点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，a），点P的坐标是（3，），由PC=P

24、D得PC2=PD2，整理得，解得。显然满足题意。当是一个大于3的常数时，存在一个正数，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形。【考点】二次函数综合题，,图形的翻转，含300角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，解一元二次方程。【分析】(1)先利用点在抛物线上，点的坐标满足方程和含300角的直角三角形中300角所对的直角边是斜边一半的性质，求出点A、B、C的坐标，再求出a。(2)分点P在边EF或边FG上两种情况比较四线段的长短来得出结论。(3)因为点A、B是抛物线与X轴的交点，点P在抛物线对称轴上，所以PA=PB。要PA，PB，PC，PD构成一个平行四边形的四条边，只要PC=PD,

25、，从而推出a。9. (江苏无锡10分) 十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案 (简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的15级税率情况见下表：税级现行征税方法草案征税方法月应纳税额x税率速算扣除数月应纳税额x税率速算扣除数1x50050x1 500502500x200010251500x45001032000x5000151254500x90002045000x20000203759000x3500025975520000x4000025137535000x55 000302725

26、注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额 “速算扣除数”是为快捷简便计算个人所得税而设定的一个数例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：方法一：按13级超额累进税率计算，即5005+150010十60015=265(元)方法二：用“月应纳税额x适用税率一速算扣除数”计算，即260015一l25=265(元)。(1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；(2)甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元?(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴

27、的税款恰好不 变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元?【答案】解: (1)75, 525。(2) 列出现行征税方法和草案征税方法月税额缴个人所得税y:税级现行征税方法月税额缴个人所得税y草案征税方法月税额缴个人所得税y1y25y75225y17575y3753175y625375y12754625y36251275y777553625y86257775y13775因为1060元在第3税级, 所以有20%5251060， 7925(元) 。答: 他应缴税款7925元. (3)缴个人所得税3千多元的应缴税款适用第4级, 假设个人收入为k，则有 20%(k2000) 37525%(k3000)

28、975 ， k=19000。所以乙今年3月所缴税款的具体数额为(190002000)20%3753025(元)。【考点】统计图表的分析。【分析】(1) 当1500x4500时, 应缴个人所得税为；当45003时，延长PM交轴于Q，见图（3）。此时，SAMP大于情况当3时的三角形面积SAMN。故不存在实数，使得SAMN4SAMP。 综上，当时，SAMN4SAMP。【考点】反比例函数和一次函数的图象与性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】(1)用点B(2，1)的坐标代入即可得值，用待定系数法，求解二元一次方程组可得

29、直线的解析式。 (2)点P(，1)在直线2上，实际上表示了点是直线2和的交点，这样要求证PMBPNA只要证出对应线段成比例即可。 (3)首先要考虑点P的位置。实际上，当3时，易求出这时SAMPSAMN，当3时，注意到这时SAMP大于3时的三角形面积，从而大于SAMN。所以只要主要研究当13时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用表示），然后求出面积表达式，代入SAMN4SAMP后求出值。13.（江苏泰州12分）在平面直角坐标系O中，边长为（为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在轴正半轴上运动，顶点B在轴正半轴上运动（轴的正半轴、轴的正

30、半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。（1）当BAO45时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在轴正半轴上、点B在轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上；（3）设点P到轴的距离为，试确定的取值范围，并说明理由。【答案】解：（1）当BAO45时，四边形OAPB为正方形。OAOBcos45=。P点坐标为（，）。（2）作DE轴于E,PF 轴于F,设A点坐标为（，0），B点坐标为（0，）， BAODAEBAOABO90，DAEABO。 在AOB和DEA中， ， AOB和DEA（AAS）。 AE0B，DEOA。 D点坐标为（，）。 点P为BD的中点，且B点坐标为（0，） P点坐标为（,）。

31、PF=OF= 。 POF=45。 OP平分AOB。 即无论点A在轴正半轴上、点B在轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上。（3）当A，B分别在轴正半轴和轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为 。 则045 ， PFPAcos cos 。045 cos 1 【考点】正方形的性质, 特殊角三角函数值, 全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质。【分析】 根据已知条件, 用特殊角三角函数值可求。 （2）根据已知条件, 假设A点坐标为（，0）, B点坐标为（0，）并作DE轴于E,PF 轴于F, 用全等三角形等知识求出点D、P、E、F的坐标(用，表示), 从而证出PFOF, 进而POF45.因此得证

32、。（3）由（2）知OPF45，故0OPA45，cosOPA1, 在RtAPF中PFPAcosOPA，从而得求。14.（江苏扬州12分）在ABC中，BAC900，ABAC，M是BC边的中点，MNBC交AC于点N动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQMP，设运动时间为秒（）（1）PBM与QNM相似吗？以图为例说明理由；（2）若ABC600，AB4厘米求动点Q的运动速度；设APQ的面积为S（平方厘米），求S与的函数关系式；（3）探求三者之间的数量关系，以图为例说明理由ABPNQCMABCNM图1图2（备用图）【答案】解：（1）PBMQNM

33、。理由如下： 如图1，MQMP，MNBC ，。，。PBMQNM（2），cm。又MN垂直平分BC，cm。，4 cm。设Q点的运动速度为cm/s当时，如图，由（1）知PBMQNM，即。当时，如图2，同样可证PBMQNM ，得到。综上所述，Q点运动速度为1 cm/sAB4 cm，cm，由勾股定理可得，AC12 cm。ANACNC1284 cm 当时，如图1，AP，AQ。当时，如图2，AP, AQ,。综上所述，。 （3）.。理由如下：如图3，延长QM至D，使MDMQ，连结BD、PD。MQMP，MDMQ，PQPD。又MDMQ，BMDCMQ，BMCM，BDMCQM（SAS）。BDCQ，MBDC。BDAC。

34、又，。在中，即。【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，列函数关系式，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）可以证明两个三角形中的两个角对应相等，则两个三角形一定相似。 （2）由于ABC600，AB4厘米，点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动，故点P从点B出发沿射线BA到达点A的时间为4秒，从而应分两种情况和分别讨论。分两种情况和，把AP和BP分别用的关系式表示，求出面积即可。 （3）要探求三者之间的数量关系就要把放到一个三角形中，故作辅助线延长QM至D，使MDMQ，连结BD、PD得到PQPD，BDCQ，从而在，从而得证。15.（江苏

35、盐城12分）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点A，且与轴交于点B.（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC轴于点C，过点B作直线l轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）根据题意，得，解得，点A的坐标为(3，4) 。令，得

36、。点B的坐标为（7，0）。（2）当P在OC上运动时，0t4。由SAPRS梯形COBASACPSPORSARB8，得(37)43(4t) t(7t) t48整理，得t28t120, 解之得t12，t26（舍去）。 当P在CA上运动时，4t7。由SAPR (7t) 48，得t3（舍去）。 当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8。 当P在OC上运动时，0t4.，此时直线l交AB于Q。AP，AQt，PQ7t。当AP AQ时，（4t）2322(4t)2，整理得，t28t70，解之得t1，t7(舍去) 。当APPQ时，（4t）232(7t)2，整理得，6t=24.，t4(舍去) 。当AQPQ时，2

37、（4t）2(7t)2，整理得，t22t170 解之得t=13 (舍去)。当P在CA上运动时，4t7，此时直线l交AO于Q。过A作ADOB于D，则ADBD4。设直线l交AC于E，则QEAC，AERDt4，AP7t.。由cosOAC ，得AQ (t4)。当APAQ时，7t (t4)，解得t 。当AQPQ时，AEPE，即AE AP，得t4 (7t)，解得t 5。当APPQ时，过P作PFAQ于FAF AQ (t4)。在RtAPF中，由cosPAF ，得AF AP，即 (t4) (7t)，解得t 。综上所述，t1或 或5或 秒时，APQ是等腰三角形。 【考点】一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股

38、定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定。【分析】（1）联立方程与和即可求出点A的坐标，令即可得点B的坐标。 （2）只要把三角形的面积用t表示，求出即可。应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况。 只要把有关线段用t表示，找出APAQ，APPQ，AQPQ的条件时t的值即可。应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线l与AB相交）和P在CA上运动（此时直线l与AO相交）时APAQ，APPQ，AQPQ的条件。16.（江苏淮安12分）如图，在RtABC中，C90，AC8，BC6，点P在AB上，AP2。.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，

39、点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为秒（0），正方形EFGH与ABC重叠部分面积为S.（1）当1时，正方形EFGH的边长是 ；当3时，正方形EFGH的边长是 ；（2） 当02时，求S与的函数关系式；（3） 直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，S最大？最大面积是多少？【答案】解：(1)2；4。 (2) 求点H在AC上时的值（如图1）。 EPPF1， 正方形EFGH中，HEEF2 。 又AP2，AEAPEP2。 又EFGH是正方形，HEAC90。 又

40、AA，ABCAHC。 ，。 求点G在AC上时t的值（如图2）。 又EPPF1 ，正方形EFGH中，GFEF2 。 又AP2，AFAPPF2 。 仿上有，ABCAGF。 ，。 因此，02分为三部分讨论： 当0时（如图3），S与的函数关系式是： (2)242； 当时（如图4），S与的函数关系式是： 4t2 2 2； 当2时（如图5），求S与t的函数关系式是：SSARF SAQE =(2) 2 (2) 2 3 。 综上所述，S与的函数关系式为 S。（3）当时，S最大，最大面积是。【考点】图形变换问题，正方形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】(1) 正方形EFGH的边长=EPP

41、F。 当1时，EPPF1+122。 当3时，EPPF（12）12 2624。（2）要求02时，S与的函数关系式，要考虑正方形EFGH的上边HG与ABC的位置关系，即EF在ABC内，EF与ABC的AC边相交，EF在ABC外。这样就要先求临界点时的值。在求解过程中，反复应用相似三角形对应边的相似比，即能写出用表示的相关边长，从而应用面积公式得出S与的函数关系式。（3）考虑到当28时（在RtABC中， ，PB8），正方形EFGH以边长为4而不再变化，此期间才有S的最大。这样要求当为何值时，S最大，先要求S与的函数关系式，再求当为何值时，S最大和S的最大值：AE2，TE，HT,HS，FB8，YF， G

42、Y， XG， 当时，最大。最大值为。17.（江苏宿迁12分）如图，在RtABC中，B90，AB1，BC，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E（1）求AE的长度；（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想EAG的大小，并说明理由【答案】解：（1）在RtABC中，由AB1，BC得 ACBCCD，AEAD AEACAD。（2）EAG36，理由如下：FAFE1，AEAG，。又AEGFEA，EAGAEF。AEGFEA。AGFD。FAGF。FAGEAG。由三角形

43、内角和定理，得5F180，EAGF36。【考点】勾股定理，相似三角形的判定和性质，等量代换，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】根据在RtABC中利用勾股定理求得AC，根据BCCD，AEAD求得AEACAD即可。 （2）由AEGFEA求出GE从而求出FG的长，证得AGFD，进而证得FAGEAGF。从而根据三角形内角和定理即可求。18.（江苏连云港12分）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；现请你继续对下面问题进行探究，探究过程

44、可直接应用上述结论（S表示面积） 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC经探究知SABC，请证明问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC请探究与S四边形ABCD之间的数量关系 问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC若S四边形ABCD1，求 问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4请直接写出含有S1，S2，S3，S4

45、的一个等式【答案】解：问题1：P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC， P1R1P2R2BCAP1 R1AP2R2ABC，且面积比为1：4：9。ABC图2P1P2R2R1DQ1Q2 SABCSABC问题2：连接Q1R1，Q2R2，如图，由问题1的结论，得 SABC ，SACD S四边形ABCD。 由P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，Q1，Q2三等分边DC， 可得P1R1:P2R2Q2R2：Q1R11：2，且P1R1P2R2，Q2R2Q1R1。 P1R1AP2R2A，Q1R1AQ2R2A。P1R1Q1P2R2 Q2。 由结论（2），可知 S四边形ABCD 问题3：设A，B，

46、设C， 由问题2的结论，可知A，B。 AB(S四边形ABCDC)(1C)。 又C(ABC)，即C(1C)C， C，即 问题4：S1S4S2S3【考点】平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等量代换。【分析】问题1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得。 问题2：由问题1的结果和所给结论（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比，可得。 问题3：由问题2的结果经过等量代换可求。 问题4：由问题2可知S1S4S2S3。19.（江苏徐州12分）如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（）。（1）求此函数的关

47、系式；（2）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D。若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标及PEF的面积；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）函数的图象顶点为C（）， 函数关系式可表示为。（2）设直线PE的函数关系式为。由题意知四边形ACBD是菱形，故直线PE必经过菱形的中心M。由P（0， 1），M（1， 0）得： ，解得。直线PE的函数关系式为。联列方程组，得：解之，得 。得点E的坐标为（3， 2）。（3）假设存在这样的点F，设。 ，OMPFPG。 又POMFGP，POMFGP。又OM1，OP1，GPGF，即。 解得。点F的坐标为（1，2）。 以上各步皆可逆，故点F（1，2）即为所求。【考点】二次函数的应用，菱形的性质，待定系数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二