光学习题及答案

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1、 11 已知两个振动的解析式 和试用振幅矢量法、三角函数加法和复数法合振动的振幅和初位相。解：（a）振幅矢量法 合振动的振幅 A= 合振动的初位相为（b）三角函数加法令 则 (c)复数法 12 在杨氏实验中，（a）氦一氖激光器发出的波长为6328的激光投射在缝的间距为0.022厘米的双缝上，求距缝180厘米处光屏上所形成的干涉条纹的间隔；（b）若缝的间距为0.45厘米，距缝120厘米的光屏上所形成的干涉条纹的间距为0.15毫米，试求光源的波长并说明是什么颜色的光。解：（a）已知厘米，d=0.022厘米，厘米。按公式（17），得条纹的间距为 厘米（b）已知厘米，d=0.45厘米，厘米，则得厘米

2、=5625（绿色）在可见光的范围内不同的波长引起不同的颜色感觉。各单色光的波长或频率和颜色的对应关系如下页表所示。根据下页表可知光源发出的是绿色的光。13 波长为5000的绿光投射于间距d=0.022厘米的双缝上，求距离180颜色中心频率（Hz）中心波（A）波长范围（）红4.51014660078006220橙4.91014610062205970黄5.31014570059705770绿5.51014540057704920青6.51014480049204700蓝7.01014430047004550紫7.31014410045503900厘米处光屏上形成的干涉条纹两个亮条纹间的距离为多少

3、？若用红光投射到此双缝上，那么所得到两个亮纹间的距离为多少？算出这两种光第二级条纹位置的差距。解：根据公式（17）得相邻亮条纹的间隔为 厘米 厘米令 厘米14 在杨氏实验装置中，光源波长厘米，两狭缝间距d为0.4毫米，光屏离狭缝距离为50厘米。试求：（a）光屏上第一亮条纹和中央亮纹之间的距离；（b）若有P点离中央亮纹的距离y为0.1毫米，问两束光在P点的位置差是多少。（c）求P点的光强度和中央点的强度之比。解：（a）按公式（17）得 （b）由图几何关系可知 厘米由公式（1-1）得 （c）由公式（1-6）得 1-5 如图1-11所示的杨氏实验中，P为光屏上第5级亮纹所在的位置。现将玻璃片插入从S

4、1发出的光束途中，则P点变为中央亮条纹的位置，求玻璃片的厚度h（已知光的波长为厘米，玻璃折射率n为1.5）。解：未加玻璃片时，S1、S2到P点的程差，由公式（1-1）可知为现在S1发出的光束途中插入玻璃片时，P点程差为所以玻璃片的厚度为厘米1-6 设有一薄玻璃片，厚度厘米，插入杨氏实验中的一光束的途径中，发现中央亮条纹移动一距离为4个亮条纹的宽度。已知光波的波长为厘米，求玻璃的折射率。解：在未加玻璃片时，由公式（1-1）可知，程差为 在插入玻璃片后的程差变为 故 1-7 波长为7000的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间的距离r为20厘米，这棱到屏间的距离L为180厘米，若所得干涉条纹的相邻亮纹的间

5、隔为1毫米，求双镜平面之间的交角。解： 1-8 用绿的单色光（）照射肥皂，若沿着与肥皂膜平面成300角的方向观察，看到膜最明亮。设此时干涉级为零，已知肥皂水的折射率n=1.33。试求：（a）薄膜的厚度；（b）当垂直注视时，应改用怎样波长的光来照射，才能看到膜最明亮。解：（a）已知厘米，根据（1-12）式 厘米（b）垂直入射，即垂直注视时，且得 1-9 （a）如图1-13所示尖劈形薄膜，右端的厚度h为0.005厘米，折射率n为1.5，波长为7070的光以300的入射角射到劈的上表面上，求在这个面上产生的条纹数，若以两玻璃片之间形成的空气尖劈代替，则产生多少条纹？（b）对于两玻璃片形成的空气尖劈，

6、当视线与表面正交时，看到单色光的干涉条纹宽度为0.03厘米，若两玻璃片间是水，水的折射率n=1.33，则条纹宽度如何？解：（a）根据（1-12）式，与两个相邻条纹所对应的厚度变化为 因此在h厚度内可能出现的条纹总数N为对于空气尖劈，n=1，因而（b）在（1-12）式中，若,则 但因尖劈的棱角很小。可见：，此处x是条纹宽度。合并上两式，得 在这题中，都是常数。因此对于折射率不同的劈形物质，条纹宽度与折射率之间存在反比关系，即故 厘米110 （a）用为6000和为4500的两种波长的光观察牛顿圈。用时的第j级暗圈与用时的第j+1级暗圈重合。求用时第j级暗圈的直径。设平凸透镜的曲率半径为90厘米。（

7、b）在观察牛顿圈中，用=5000的第6个亮圈与用时的第7个亮圈重合，求波长的数值为多少？解：（a）由公式（1-3）可知，牛顿圈暗圈的半径为 即 故 厘米因此第3级暗圈直径为厘米。 （b）由公式（1-13）可知，亮圈半径按照题意故 111 如图1-14所示为牛顿圈实验装置，平凸透镜的曲率半径R=10米，,平玻璃板由两部分组成：左和右的折射率分别为和。平凸透镜与玻璃板接触点在这两部分平玻璃板相接之处，中间充以折射率为1.62的二硫化碳液体。若用单色光垂直照射，在反射光中测得右边j级亮条纹的半径毫米，级亮条纹的半径毫米，问入射光的波长及对左边观察的情况。解：由于右边,故没有额外程差,而左边,发生额外

8、程差,对右边由公式(1-13)且考虑到无额外程差,则（亮圈的半径）故入射光的波长为由于左边有额外程差，由公式（1-13）直接可得当光程差满足时，得亮圈的半径为故这相当右边暗圈的位置。 112 用单色光观察牛顿圈，测得某一级亮圈的直径为3毫米，在它外边第5个亮圈的直径为4.6毫米，所用平凸透镜的凸面的曲率半径为1.03米，求此地单色光的波长。解：由公式（113）可知，j级亮圈和j+5级亮圈的位置分别为 式中分别为和级亮圈的直径。113 在反射光中观察到某种波长光的牛顿圈的第j=1级亮圈和j=2级亮圈的间隔为1毫米，试求第j=19级和第j=20级亮圈之间的间隔。解：由公式（113）可得，j=1和j

9、=2级亮圈的半径分别为 又根据题意可知 毫米两边平方得 而 =12.70-12.39=0.31毫米114 在很薄的尖劈形板上用垂直入射光投射，从反射光中看到相邻暗条纹间的距离为5毫米，已知光的波长为5800，玻璃板的折射率为1.5，求板面间的夹角。解：板间夹角a和高度差之间的关系为115 两块磨光了的玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧，玻璃片l长10厘米，纸厚h为0.05毫米，纸厚h为0.05毫米，从600的反射角观察波长为5000的单色光源的象。试问玻璃片单位长度内能看到的干涉条纹的数目是多少？解：由公式（112），并由的几何关系可知斜面上每一条纹的宽度所对联应的空气尖劈的厚度的变化量

10、为如果认为玻璃片的厚度可以忽略不计的情况下，则上式中.而厚度h所对应的斜面上包含的条纹数为故玻璃片上单位长度的条纹数为 条/厘米116 为了测定如图116所示的一细金属丝的直径，可把它夹在两平晶的一端。测得两条纹的距离为d，若金属丝与尖劈顶点的距离为l，所用单色光的波长为，试问金属丝的直径是多少？解：设金属丝的直径为D，则由图116的几何关系可知 117 迈克耳孙干涉仪的一块动境移动0.2730毫米时，能数到移过1000条条纹，试问该光的波长为多少？是什么颜色的光？设。解：根据公式（114）或知，迈克耳孙干涉仪移动每一条条纹相当h的变化为 现因，故 N=1000所对应的h为故 根据12题的附表

11、可知，这是绿色的光。118 如图117所示透镜表面通常覆盖一层如一类的透明薄膜，其目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。为了使氦-氖激光器发出的波长为6328的激光毫不反射地透过，这覆盖层至少需多厚？解：若光是沿垂直方向（图中为任意角度）入射到玻璃上的氟化镁层的。我们的目的是使氟化镁上下表面反射出来的两光束对6328是干涉相消。由于上下表面的反射都是由光密介质反射到光疏介质，所以无额外程差。因此光程差为 如果光程等于半波长的奇数倍即公式（1-4b），则满足消反射光条件。因此有 膜的厚度可取很多值，但至少应该具有的厚度是 119 在两种情况下，获得干涉条纹：一种是由两束光的迭加；另一种是由三束光迭

12、加，每束光的振幅都相等，二相邻光束之间的位相差都是50，求这两种情况下迭加的强度与中央亮条纹强度之比。解：设每束光的振幅为A0，对二束光的迭加后该处的光强由公式（16）可知为 对多光束干涉而方，由公式（115）可知（参见*P.56） 120 平行平面玻璃板的厚度h0为0.1厘米，折射率为1.5，在为6328的激光中观察干涉条纹。当温度升高10时，在垂直方向观察，发现有两个新的干涉条纹向外移动，试计算玻璃的线膨胀系数。解：根据公式（111）可知 其中h0和h1分别为温度过变化前后的玻璃板的厚度。现 故 而温度变化时h的变化可用下式表示 为线膨胀系数。当时 由此得 将代入上式，得度-1121 A为

13、平凸透镜，B为平玻璃板，C为金属柱，D为框架，A、B之间有空隙，图中绘出的是接触的情况。而A固结在框架的边缘上。温度变化时，C发生伸缩，而A、B、D都假设不发生伸缩。用波长为6328的激光垂直照射。试问：（a）在反射光中观察时，看到牛顿图条纹移向中央，这表示金属柱C的长度在增加还是缩短？（b）若观察到有10个亮条纹到中央而消失，问C的长度变化是多少毫米？解：（a）在反射光中观察到牛顿圈的亮条纹的位置由公式（113）得 确定，由上式可知干涉级随着厚度的增大而增大，即随着薄膜厚度增加，任一指定的级条纹将缩小其半径，所以各条纹就逐渐收缩而在中心处消失，薄膜h的厚度增加相当于金属柱C的长度在缩短。 （

14、b）每当光程差改变，或h改变，在视场中不可看到一条条纹移过，所以j每增减一个单位，h就跟着增减。而级数的变化相当条纹的移动，已知条纹移动10分，那么C的长度变化为毫米122 将焦距为50厘米的会聚透镜中央部分C切去，余下的A、B两部分仍旧胶合起来，C的宽度为1厘米图119（a）。在对称轴线上距透镜25厘米的P点置一单色点光源，其波长为6328的激光，而同一轴线上透镜的另一边50厘米处置一光屏D，屏面垂直于轴线。说明光屏上出现的干涉图样是怎样的？并计算条纹的间隔？解：如图119（b）中的透镜是由A、B两部分胶合而成，这两部分的主轴都不在该光学系统的中心轴线上。A部分的主轴在系统中心线下方0.5厘

15、米处；B部分的主轴则在中心线上方0.5厘米处，、分别为A、B部分透镜的焦点。由于单色点光源P经凸透镜A和B后所成的象是对称的，故本题仅需分析点光源P经凸透镜B的成象位置即可。 根据符号法则（参见本书P79）可知 厘米厘米厘米由象的横向放大率可知象的横向位置为厘米故所成的虚像在透镜B的主轴下方1厘米处，也就是在光学系统的对称轴下方0.5厘米处。同理，单色点光源P经透镜A所成的虚象在光学系统的对称轴上方0.5厘米处，其光路图中仅绘出点光源P经凸透镜B的成象。此时，虚象和就构成了相干光源。它们之间的距离d为1厘米。所以相干光源、发出的光束在屏上干涉所形成的干涉条纹，其相邻暗纹的间距可按下式计算得到

16、式中为相干光源到屏的距离，d为相干光源、之间的距离。故厘米光屏上出现的干涉图样是一族如图120所示的双曲线。如果切去部分C的宽度为1毫米时，相干光源和之间的距离将是1毫米，那么相邻暗条纹的间隔为0.06328厘米，此时肉眼将易于观察到条纹。123 在洛埃镜中，光源S和它的虚象位于镜后方20厘米的平面内（参见图121）。镜长为30厘米，并在它的右边缘B处入一毛玻璃屏幕。如果从S到镜的垂直距离为2毫米，试计算从右边缘到第一明纹的距离。解：由相长条件（1-3b）及公式（1-8）得 所以，条纹的间隔为，又因洛埃镜面反射时，将会产生半波损失，右边缘处将是暗条纹的位置，而第一明条纹（严格说来是0级明条纹）

17、离开邻近暗条纹的距离是条纹间距的故将米代入上式得 米=0.0475毫米124 如图122（a）所示的是用牛顿圆测平凸透镜的曲率半径的示意图，其原理如下：将一块曲率半径很大的平凸透镜放在平晶上，则在透镜与平晶之间形成一个自接触点O向外逐渐加厚的空气薄层。当钠光灯发出的的单色光通过450倾角的的玻璃片（装在读数显微镜的物镜下方）照到平凸透镜上，在这个空气薄层的上下表面相继反射的光发生相干迭加，通过读数显微镜可以看到以接触点为中心的明暗相间的同心圆圈。其中暗圈的直径Dj和平凸透镜的曲率半径R的关系根据式（113）得 （）因此，根据入射光的波长和暗圈的直径，可测定平凸透镜的曲率半径。实验中暗圈的直径采

18、用读数显微镜来测定，转动读数显微镜的手轮，并数到第j个暗圈记下读数dj，再向中心的另一侧移动，也移到第j个暗圈处记下读数，则第j级暗圈的直径。实验分别测定了和，并重复测量三次，其实验记录如下表：手轮读数（厘米）d14d13d12d11d1011.71561.72831.73791.84841.862221.70301.71401.72621.83821.850331.70261.71381.72361.83461.8488平均1.70711.71871.72921.84041.8538手轮读数（厘米）d-10d-11d-12d-13d-1412.36512.36932.37902.30072.

19、321422.35282.36362.37622.38682.398332.34622.35822.37082.38292.3925平均2.35472.36372.37532.35682.3707 试根据上述数据计算平凸透镜的曲率半径R，并计算平凸透镜的曲率半径的平均值及其误差。 解：根据题目给出的公式得所j和代入上式，将计算的Rj填入下表中。并计算平凸透镜的曲率半径的平均值及误差。 （厘米）j 14 13厘米=1.334米厘米米 （厘米）j 12 11厘米=1.476米厘米=1.056米 （厘米）10厘米=1.064米由上表得平凸透镜的曲率半径的平均值为 米此时绝对误差分别为 故平均误差为

20、米最后得凸透镜的曲率半径为 米21 点光源S发出波长为5500的光投射在直径2为4.2毫米的小孔上，孔距光源6米，屏距孔5米。试问在屏上看到的衍射图样中，中央亮点的强度比障碍物不存在时大还是小？解：根据菲涅耳圆孔衍射的合振幅大小取决于波面上露出带有数目，其数值由（2-3）式确定。 将=0.21厘米，R=600厘米，=500厘米，厘米代入上式，得 因为为奇数，故较没有障碍物时的中央亮点强度大。22 单色平面波经过半径、分别为2.5毫米和5毫米的小孔。极点到观察点的距离为60厘米，波长为5560。分别计算波面包含多少个菲涅耳半波带？解：根据菲涅耳圆孔衍射，合振幅大小取决于波面上露出带的数目k，其数

21、值由（23）式确定。因为入射的是平面波，故，将厘米厘米，厘米，厘米代入上式，得 23 当单色平面波照射到一小圆孔上，将其波面分成波带，求第个带的半径。若圆孔中心O到观察点P的距离为1米，单色光波长为4500，求此时第一半波带的半径。解：如图2-10所示，可知 将上式两边平方，得 略去项，则 将厘米，厘米代入上式，得 厘米24 平行单色光自左方垂直入射到一个圆形小孔的屏上，设此孔象照相机光圈那样可以改变大小。试问：（a）小孔半径应满足什么关系时，才能使得此小孔右方轴线上距小孔中心4米处的P点分别得到极大值和极小值；（b）P点最亮时，小孔直径应为多大？设此光的波长为500。解：（a）根据上题结论

22、将厘米，厘米代入，得 厘米当为奇数时，P点为极大值；K为偶数时，P点为极小值。（b）P点最亮时，小孔的直径为 厘米25 波长为4500的单色平面波入射到不透明的屏A上，屏上有半径为0.6毫米的小孔及一与小孔同心的环形缝，其内外地人半径各为0.6毫米及0.6毫米。求证在距屏A为80厘米的屏B上出现的衍射图样中央亮点的强度比屏A不存在时大16倍。解：如果屏A上只有一个半径为0.6毫米的小孔，对于衍射图样中心亮点，波面露出的半波带数为 如果屏上小孔半径为0.6毫米，则同理小孔半径为0.6毫米，则k=2。所以，同心环形缝的存在，实际上只遮蔽了k=2的那个半波带，如果k=2的那个带没有被遮蔽，则合振动的

23、振幅由（21）式得 现在遮蔽了k=2的那个带，则 如果认为则 则 而当完全移去屏A时，则振幅应当为，所以两种情况下屏B上的中央亮点强度之比应为 26 一个环形波带片的第八个半波带的直径为5毫米，试求此波带片的焦距，所用的是波长为6328的激光。解：将（23）式改写成 式中 即波带片的焦距公式毫米27 用波长为510-5厘米的平行光垂直照射宽度为0.02厘米的狭缝，缝后置一焦距为60厘米的透镜，在此透镜的焦平面处置一光屏，求衍射图样中心至第二暗条纹的距离。解：由夫琅和费单缝衍射的第二最小值的位置公式（26）可知 厘米28 平面波的波长为4800，垂直照射到宽度为0.4毫米的狭缝上，会聚透镜的焦距

24、为60厘米。分别计算当缝的两边到P点的位相差为时，P点离焦点的距离。 解：如图212所示，设P点离焦点的距离为y，透镜的焦距为，缝宽为b，则位相差和程差的关系式（11）为 故 当缝的两边到P点的位相差为时，P点离焦点的距离为毫米当缝的两边到P点的位相差为时，P点离焦点的距离为毫米29 波长为5461的平行光垂直地射在1毫米宽的缝上，若将焦距为100厘米的透镜置于缝的后面，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到第一最小值、第一次最大值和第三最小值的距离各是多少？解：根据单缝衍射图样的最小值位置的公式（26）得第一、第三最小值的位置分别为毫米毫米 由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式（27

25、）得 毫米 210 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个最大值与波长6000的光波的第二次最大值重合，求该光波的波长。解：由单缝衍射次最大值的位置公式（2-7） 得 由例13附表可查得对应的光为紫色光211 单色平行光束斜入射到单狭缝上，与缝面法线之间的夹角为；缝的宽为b，波长为，透镜L的焦距为，屏置在L的焦平面上。试问：（a）衍射图样中央主最大位置P0出现在O点的上方还是下方？（b）缝面上任取一点，从缝的边缘B点和M点所发次波沿着一个指定的衍射方向（即沿着与缝面法线成角的方向）到达屏上对应点时的位相差等于多少？（c）P点的合振幅的解析形式如何？（d）衍射图样中央亮条纹两侧第一最小值

26、位置各离中央主最大值P0的角距离是多少？解：（a）衍射图样中央最大位置P0出现在如图213（a）所示的O点的上方，其数值OP0为 （b）要计算P点的合振幅，必须考虑到它们的位相关系；这取决于BD面到P点的光程关系，而BD面垂直于入射方向，并作BN垂直于衍射方向。因为BN面上各点沿着衍射方向通过透镜而到达P点的光程都相等。这样，只要计算从平面BD到平BN的各条平行直线段之间的光程差就可以了。为沿着衍射角进行的任一路程，令，则。那么从缝的边缘B点和M点所发次波沿着与缝面法线成角的方向到达屏上对应点P的位相差为 （c）P点的振幅由式（24）及上式得 （d）衍射图样中央亮条纹两侧第一最小值位置各离中央

27、主最大值P0的角距离各为 即 当和较小时，衍射图样中央亮纹两侧第一最小值位置各离中央最大值P0的线距离分别近似地为 212 钠光通过宽为0.2毫米的狭缝后，投射到与缝相距300厘米的照相板上。所得第一最小值和第二最小值间的距离为0.885厘米，问光的波长为多少？若改用波长为40的软x射线作此实验，则上述两个最小值之间的距离为多少？解:如果近似按夫琅和费单缝衍射处理,则根据公式(2-6)得第二最小值和第一最小值之间的距离近似地为那么 如果改用（厘米） 厘米 213 计算下列情况下星球象的衍射图样中央亮斑的半径：（a）直径为3厘米，焦距为9厘米的照相机的照相底片上；（b）直径为10厘米，焦距为15

28、0厘米的望远镜的焦平面上，已知单色光的波长为5000。解：根据夫琅和费圆孔衍射图样的第一最小值位置的公式（210），得 得 厘米 厘米故中央亮斑的半径分别为厘米和厘米。214 一束直径为2毫米的氦-氖激光器发出6328的激光束投向月球。已知月球和地面的距离为公里，问在月球上得到的光斑的直径有多大？如果这激光束经扩束器扩展成直径为2米和5米时，再发向月球，试问在月球表面上的光斑各为多大？解：根据夫琅和费圆孔衍射图样的第一最小值位置表式（210），得 那么爱里斑的直径为 将 毫米，R=1毫米，毫米代入上式，得毫米=290公里如果经扩束成2米时，即扩展103倍，那么光斑缩小103倍即光斑直径为290

29、米。如果经扩束成5米时，即扩展2500倍，那么光斑的直径为116米。215 用一个每毫米有500条缝的衍射光栅观察钠光谱线（），问平行光（a）垂直入射和（b）以入射角300入射时，最多能观察到第几级谱线？解：（a）根据光栅方程（213） 得 可见j的最大值与的情况相对应（真正等于1时，光就不能到达屏上）。根据已知条件厘米，并取，则得 （此处j只能取整数，分数无实际意义）即能得到最大为第三级的光谱线。 （b）根据平行光倾斜入射时的光栅方程式（214），可得 同样，取，则得 即能得到最大为第五级的光谱线216 波长范围为40007000的平行光垂直地射到光栅常数为0.002毫米的平面透射光栅，为了

30、在透镜L的焦平面上得到该波长范围的第一级（j=1）光谱的宽度为50毫米。问透镜L的焦距至少应该是多少毫米？解：由光栅方程式（213），得波长4000和7000的第一级主最大的衍射角分别为 第一级可见光谱衍射角范围弧度而 式中l为可见光谱所占的线宽度。 厘米217 一平面透射光栅，每厘米刻有4000条线，计算在第二级光谱中，氢原子的谱线间的角间隔（以度为单位）。已知的波长分别为6560和4100，假设光是正入射。 解：根据题意可知 米对于第二级光谱，由光栅方程式（213），得对于氢原子的谱线对于氢原子的谱线 故求得 218 一束平行白光垂直入射在每毫米50条的光栅上，问第一级光谱的未端和第二级光

31、谱的始端的衍射角之差是多少？（可见光的波长范围为76004000）解：由光栅方程 得 式中 毫米弧度219 用可见光（76004000）照射光栅，一级光谱和二级光谱是否重迭？二级和三级又怎样？解：根据光栅方程 可得 一级和二级不重迭而 二级和三级光谱部分交迭。220 有一衍射光栅用氦-氖激光器发出6328的激光照射时，中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为。试求该光栅1厘米内的缝数是多少？解：根据光栅方程式（213） 条/厘米221 用波长为6240的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012毫米，不透明部分的宽度为0.029毫米，缝数N为103条。试求：（a）单缝衍射图样的中央角宽

32、度；（b）单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？（c）谱线半宽度为多少？解：（a）单缝衍射图样的中央角宽度由（28）式，得弧度 （b）单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定 式中d为光栅的光栅常数。所以看到的级数为3。（c）谱线的半角宽度由式（215），得 令 弧度222 波长为5000及5200的光射到光栅常数为0.002厘米的衍射光栅上。在光栅后面用焦距为2米的透镜把光会聚在屏上。试求这两波长的光的第一级光谱线间的距离和第三级光谱线间的距离。解：根据光栅方程式（213），得 即 在第一级光谱中，j=1，因此 在第三级光谱中，j=3，因此 设y为谱线与中央条纹间的距离，为光栅

33、与屏间的距离即透镜的焦距，则 由于衍射角很小，所以，因此波长为5000与5200的第一级普线间的距离为 同理，可以求出第三级谱线间的距离为223 图215所示的是用平面光栅测定氦-氖激光的波长的示意图，图中x为级主最大离开中央最大值的线距离，为光屏离开光栅的距离，若已知平面光栅的光栅常数毫米。对x和重复三次测量的数据如下表：测量次数123（毫米）28.428.528.6（毫米）449644964526试根据光栅方程计算氦-氖激光的波长，并求出波长测量的误差。解：根据光栅方程式（213），得 可知，对于确定的光栅（即d一定），单色光入射时，对一级光谱而言，则 根据已知的光栅常数d，并测出衍射角后

34、，即可算出入射光的波长。在光栅平面到屏的距离足够大时，可得如近似式 故由图可知 所以由已知d，测出和x之后，即可求出波长。123平均值（毫米）28.428.528.628.5(毫米)449644964526450663176339631963258-1469故氦-氖激光的波长为 实验的相对误差E为224 岩盐（NaCl）的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M为58.5，密度为2.17克/厘米3。（a）试证相邻两离子间的平均距离为 式中 /摩尔为阿伏伽德罗常数；（b）用伦琴射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为10的方向上出现，试计算伦琴射线的波长。解：（a）如图示216所示氯化钠晶体的晶

35、胞模型，黑色点和白色点分别表示钠离子和氯离子。晶胞的棱边为d，那么两离子间的平均距离d0为。现先计算晶胞的棱边长d，由于每个晶胞包含四个NaCl分子，那么密度为 这里，NaCl分子的质量由下式给出 所以晶胞的棱边由上面两式联立解得 那么相邻两离子间的平均距离d0为 (b)根据布喇格方程 在j=2时 31 试证双镜两次反射定理:光线被两个镜面作了两次反射时,反射线和入射线的交角,等于两个镜面交角的两倍。解：由几何学外角公式 而故 32 两面镜子E和E1，它们夹角是15，假如一平行光束沿镜面E的垂直方向投射到镜面上去，试问光束可以在两个镜面之间反射几次？解：在第五次反射时的反射角为 也就是说反射光

36、束和镜面E平行，因此不可能再入射到E上去，即不会发生反射现象。33 长米的平面镜竖直挂在墙上，镜的上边离地米。一人立于镜面，其眼离地米，离墙1米，求地面上能使此人在镜内所见到的离墙最近及最远之点，并作光路图。解：，设此人在镜内所见到的离墙最近及最远点分别为和，由题意可知米 a=1米 米 米由EFGACG及EFDBCD得及解得 米 米34 是一块平玻璃板的两个平面，n是空气的折射率，是玻璃的折射率。和是第一个界面处的入射角和折射角，d是玻璃的厚度，是折射线和入射线之间的位移距离（侧向位移），是折射线和入射线的延长线被法线所截的距离，求和。解：从几何关系可知又 根据公式（3-1），即得当角和都很小

37、时，可近似地认为故 35 水槽中盛水，深20厘米，槽底置一点光源。水的折射率为1.33，水面上浮一不透光的纸片，使人从水面上无论哪一角度去看时都看不到光，计算这纸片最小面积应该是多少，形状应该怎样？解：如图333所示，点光源发出的光在纸片边缘发生全反射，故人看不见光。在公式（31）中，。（临界角），故 纸面应是圆形，其直径为厘米其面积为 厘米236 一层2厘米厚的乙醇（）浮在4厘米深的水（）上，沿着正入射方向向下看时，水底距乙醇层表面的象似深度。解：设水和乙醇的实际厚度分别为和；水、乙醇的折射率分别为空气的折射率为n .从乙醇中看水底的象似深度由公式（32）得为 从空气中看乙醇和水的总的象似深

38、度为 故 = =0.0448米=4.48厘米37 玻璃棱镜的折射棱角A为60，对某一波长的光其折射率n为1.6。试计算（a）最小偏向角；（b）此时的入射角；（c）能使光线掠过棱镜的侧面时的最小入射角。解：（a）将A=60，n=1.6代入公式（31）和（34），得 得最小偏向角 （b）将最小偏向角及A代入公式（34）得得（c）如图335所示，令时所对应的入射角为则根据公式（31） 而 由公式（31）得 38 如图336（a）所示的是一种恒偏向棱镜，它相当于两个306090棱镜和一个454590棱镜，其折射率为1.56。一条光线从a点处进入棱镜，然后在棱镜中沿光路ab行进，ab平行于cd线。（a）

39、试绘出这光线的光路图，从棱镜的左外方开始，经过棱镜，然后折射到空气中。（b）试证明在空气中原来入射的方向和最后出射的方向间的夹角为。解：（a）其光路图如图336（b）所示（b）由折射定律公式（31），得由图336（b）可知39 一物体在曲率半径为12厘米的凹面镜的顶点左方4厘米处，求象的位置及横几放大率，并作出光路图。解：高斯法：由公式（37）得厘米，s=4厘米代入公式（38） 得求厘米。由横向放大率公式（314） （由球面反射得牛顿法：x=2厘米，厘米，代入式，得 厘米这表示象点在象焦点右方18厘米处，即在球面镜顶点右方12厘米处，为一放大的正立的虚象。横向放大率公式（315）310 一个高

40、为5厘米的物体放在球面镜前10厘米处，造成1厘米高的虚象。试求：（a）此镜的曲率半径；（b）此镜是凸面镜还是凹面镜？解：（a）由公式（314）得厘米代入高斯式（38）得 厘米（b）由r为正可知该面镜为凸的。311 某观察者通过一块薄玻璃片去看在凸面镜中他自己的象。他移动着玻璃片，使得在玻璃片中与在凸面镜中所看到的他眼睛的象重合在一起。若凸面镜的焦距为10厘米，眼睛距凸面镜顶点的距离为40厘米，问玻璃片距观察者眼睛的距离为多少？解：由物象公式（38）得由于经凸面镜所成的虚象和玻璃反射所成的虚象重合，故眼睛距玻璃片AB的距离为厘米312 两个凹面反射镜M1和M2的曲率半径依次为0.5米和2米，两镜

41、中心O1和O2相距2米，发光点在连线上，米，计算下列情况中象的位置：（a）由M1、M2反射一次;(b)反射后,再反射一次.(c) 依次经由再由M1反射一次。解：（a）由新笛卡儿符号法则，可知将米和米代入高斯公式（38）得（b）将米和米代入高斯公式（38）得 （c）将米代入高斯公式（38）得各次成象位置的示意图如图339所示。313 一直径为4厘米的长玻璃棒，折射率为1.5，其一端磨成曲率半径 2厘米的半球形。长为0.1厘米的物垂直置于棒轴上离棒的凸面顶点8厘米处。求象的位置及大小，并作光路图。解：已知厘米，s=-8厘米。代入物方焦距公式（310）厘米象方焦距公式（311） 厘米根据公式（35）

42、 得 厘米因是正的，故所成的象是实象，它在棒内离顶点12厘米处。横向放大率公式（314）由此得象长 厘米314 欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体而成象在右半球面的顶点处，问这透明球体的折射率应为多少？解：设球体的直径为D，将代入球面折射物象公式（39） 得 故 315 直径为1米的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，水的折射率为1.33。若玻璃缸壁的影响忽略不计，求缸外观察者所到的小鱼的表观位置和横向放大率。解：将厘米，厘米，代入球面折射的物象公式（39） 得厘米（鱼的表现位置仍在原处）由横向放大率公式（314）得 316 玻璃棒一端成半球形，其曲率半径为2厘米，将它水平地浸入折射率为1.33的

43、水中，沿着棒的轴线离球面原点8厘米处的水中有一物体，利用计算和和图法求象的位置及横向放大率，并作光路图。解：已知厘米。根据球面折射的焦距公式（310）和（311）得将代入高斯公式（35）得横向放大率公式（314）317 一物在焦距为10厘米的会聚透镜左方6厘米处，用计算和作图法求象的位置。解 高斯法:已知 s=-6厘米, 得 牛顿法：已知f=-10厘米，厘米，运用牛顿公式（36），得 由光路图，成虚象在透镜左方15厘米处，即在象方焦点左方25厘米处。318 有一发光点在焦距为20厘米的发散透镜的象方焦点上，用牛顿公式和高斯公式计算并作图求象的位置。解：高斯法：已知厘米代入公式（313），故 厘

44、米牛顿法：已知厘米，厘米代入以式（36）故 象点在凹透镜左方10厘米处，即在的右方10厘米处。图343中，是物点，是象点。319 薄透镜的焦距厘米，是用折射率为1.5的玻璃制成的，求透镜放在水中时的焦距，水的折射主为。解：将折射率厘米代入透镜在空气中的焦距公式（312）得 将上式代入透镜在水中的焦距公式（318）得 320 借助于薄会聚透镜在与其距离为10厘米处得到物体的实象，透镜的折射率，然后把物体和透镜浸在水中，但不改变它们之间的距离，象成在距离透镜右方60厘米处，若水的折射率，分别求透镜的焦距。 解：已经透镜在空气中的焦距由（312）和（313）式确定。透镜在水中的焦距（318）由下式确

45、定 由上面两式得联立方程 解联立方程得代入焦距公式得 即 321 一凸透镜在空气中时焦距为40厘米，在水中时焦距为136.8厘米，问此透镜的折射率为多少？（水的折射率为1.33）。若将此透镜置于CS2中（CS2的折射率为1.62），其焦距又为多少？解：透镜在空气中（312）和水中（318）的焦距分别为 式中厘米代入上面两式得当透镜置于CS2时的焦距将代入上式得 322 有两块玻璃薄透镜的两面均为凸球面及凹球面，曲率半径均为10厘米。一物占在主轴上距镜20厘米处，若物和镜均浸在水中，分别作图和计算求象点的位置。设玻璃的折射率为1.50，水的折射率为1.33。解：若薄透镜的两面均为凸面时，将厘米代

46、入薄透镜的焦距公式（318）和物象公式（313）得 厘米厘米若薄透镜的两面均为凹面时，将，厘米，代入薄透镜的焦距公式（318）和物象公式（313）。 得 323 会聚透镜和发散透镜的焦距都是10厘米，（a）与主轴成30的一束平行入射到这个透镜上，计算象点在何处？（b）在这两个透镜左方的焦平面上离主轴1厘米处各置一发光点，计算成象在何处？作出光路图。解：（a）将厘米代入高斯公式（313） 得 厘米象点在焦平面上，离主轴距离为 厘米即坐标为（10，5.8），将及厘米代入高斯公式，得发散透镜的情况如下即坐标为（-10，5.8），其光路图分别如图345（a）和(b)所示。图中给出的是向下倾斜的光束情况

47、。（b）将厘米及厘米代入高斯公式（313）得 且有一定的倾角，这就是会聚透镜的情况。将s=-10厘米，厘米代入高斯公式（313）得 厘米厘米坐标为（-5，0.5） 324 极薄的表玻璃两片，曲率半径分别为20及25厘米，沿其边缘胶合起来，内含空气而成凸透镜，将它置于水中，求其焦距为多少？得 故浸入水中的空气双凸透镜是发散透镜。225 双凸薄透镜折射率为1.5，的一面角镀银，物点P在透镜前主轴上20厘米处，求最后成象的位置并作出光路图。解：经第一界面折射成象：将厘米代入物象公式（39）得 即折射光束为平行光束。 经第二界面（镀银面）反射成象：厘米再经第一界面折射成象：将厘米代入物象公式（39）得

48、 厘米最后成象于透镜第一界面左方4厘米处。326 已知放在空气中的玻璃半球，其曲率半径为r,折射率为1.50，平面一边镀银。如图348所示，一物体放在曲面顶点的前面2R处，其高为h。试求：（a）由曲面所成的第一个象的位置；(b)这一光具组所成的最后的象在何处？解：（a）将（式中R0）代入球面折射公式（39） 得 即入射光束经球面折射后，成为平行光束。因为R0，而图中的表示的是绝对值，故图348以+2R表示物距的绝对值。（b）平行光束经平面反射后，仍是平行光束。镜面反射后的光线，再经球面折射，其成象位置由球面折射公式（39）确定 此时将代入上式得 即经三次成象，最后在球面顶点2R处，得到倒立的实

49、象。 327 凸透镜焦距为10厘米，凹透镜焦距为4厘米，两个透镜相距12厘米。已知物在凸透镜左方20厘米处，计算象的位置并作光路图。 解：利用高斯公式求两次象第一次PQ经凸透镜成象：已知厘米，厘米代入 得厘米再经凹透镜成象： 已知厘米（虚物），厘米，代入物象公式（313） 得 328 实物与光屏间的距离为l，在中间某个位置放一个凸透镜，可将实物的象清晰地投于屏上。将透镜移过距离d之后，屏上又出现一个清晴的象。（a）试计算两次象的大小之比：（b）证明透镜的焦距为；（c）证明l不能小于透镜焦距的四倍。解：（a）设两次成象的象高分别为，物距和象距分别为和。由横向放大率公式（314）得根据光路可逆原理

50、，可知将上面两式代入前两式得 (b)将的数值代入高斯公式（313）得 （c）由上式得 329一棱镜的顶角（图351中的A角）为60，它是由硅酸盐火石玻璃制成，它的折射率由图352中最上面一根曲线给出。以下的几根曲线依次为硼火石玻璃、石英、硅冕牌玻璃、熔凝石英、萤石的折射率。如果对于4000A和7000A波长的光的入射方向是这样的，使得每一光线都以最小偏向角通过棱镜，试求两出射线之间的夹角。解：查得硅酸盐火石玻璃的折射率，由（34）及（31） 两条出射线夹角330 所示的是显微镜中牛顿物镜的原理图。在一凹面反射镜的中心开一小孔，凹面镜的曲率半径为8厘米，在镜心右侧2厘米处一块小平面镜。若凹面镜左

51、方距小孔1厘米处有一小物AB，长0.1厘米，试求AB经此光学系统后成象的位置和大小，并说明象的性质。解：AB对平面镜所成的象在平面镜右方3厘米处，它离凹面镜面顶点的距离为3+2=5厘米，此即为相对于凹面镜的物距。又已知凹面镜的曲率半径为8厘米，故其焦距为4厘米。将上述数据代入凹面镜的高斯公式（38）得 所以经凹面镜成象位于凹面镜的右方20厘米处。至于经平面镜第一次成象的大小，为正立的长为0.1厘米的虚象，再经凹面镜所成的象的大小可由横向放大率的计算得到因对于凹面镜而言，其物距s=5厘米，大于焦距，但小于曲率半径，故最后成的象是放大倒立的实象。331 凸透镜的主轴在水平位置，它和两个平面镜MN和

52、PQ放置，MN垂直于PQ、M、Q两点均在主轴上。一个点光源S在凸透镜光心的正上方，SO等于凸透镜的焦距,又求S最后通过凸透镜所成的象的位置。解：根据平面镜成象的镜对称性，光源S在相互垂直的平面镜MN和PQ中能成三个虚象。 故 又 故 点光源S发出的光束经平面镜PQ反射又被平面镜MN反射后再通过凸透镜成的象S4的位置由（313）来确定。 即象S4的位置在透镜左方1.5处，是个实象。.332 已知置于空气中的玻璃半球，其曲率半径为r，折射率为1.5，平面一边镀银。一物体为PQ，放在曲面顶点的前面3r处。试求：(a)由球面O所造成第一个象的位置；(b)经反射镜所造成的位置；(c)经整个光具组成象的位

53、置。解：（a）就球面O折射而言，根据符号法则可知：将代入球面折射焦距公式（3-10）和（311）得（式中）由球面折射的物象公式（39）得故经球面O折射后成一实象于球面顶点右方9r处。注意，而图中表示的是绝对值，故物距的绝对值为+3r。（b）就平面镜而言，根据符号法则可知 实象是对球面折射而言的，这象对平面镜来讲是会聚光束的顶点，因此它是虚物，而且虚物处于平面镜的右方，故物距为正。由平面镜的物象公式得 由于是负的，故经平面镜成一实象于左方8r处。（c）又成为球面O的物，因为是会聚光束的顶点，所以对O来讲是虚的，且位于球面O的左方，所以物距S3是负的，即 物方焦距和象方焦距分别为 此时，入射光束所

54、在的折射率为1.5，折射光束所在的折射率为1，将n和分别用1.5和1代入焦距公式可得物方焦距和象方焦距的数值。根据球面折射的物象公式（39）得由于是负的,所以经光上组最后成一实象于球面顶点左为1.4r处。图中经O点垂直于主轴的直线代表折射球面的主平面。这样便于作图。333 在焦距为30厘米的凸透镜O1前15厘米处放一物点在主轴上，在透镜后d=15厘米处放一平面镜O2垂直于主轴，试求象的位置。解：设物为P，就透镜O1而言，由符号法则可知厘米（象方焦点在透镜的右侧）厘米（物在透镜的左侧）故由薄透镜成象公式（313）得得 厘米 因为为负值，象在透镜在左方，所以经透镜O1成的象为虚象，且和物位于透镜的同侧。就平面镜O2而言，根据符号法则可知 厘米象对透镜而言是虚象，这象对平面镜来讲是发散光束的顶点，因此是实物，并且物处于平面镜的左方，故物距为负。令高斯公式中的，得 厘米故经平面镜O2成一虚象于平面镜右方45厘米处。又成为透镜O1的物点，因为是发散光束的顶点，所以对透镜O1而言是虚物，且位于透镜的右方，所以是正的。即 厘米 厘米