上海高考数学试题(文科)

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1、2012上海高考数学试题（文科）一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）1计算：= （i为虚数单位）.2若集合，则= .3函数的最小正周期是 .4若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 .6.方程的解是 .7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 .8.在的二项式展开式中，常数项等于 .9.已知是奇函数，若且，则 .10.满足约束条件的目标函数的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最

2、简分数表示）.12.在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 13.已知函数的图像是折线段，其中、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为 .14.已知，各项均为正数的数列满足，若，则的值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）A B. C. D.16.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件17.在中，若，则的形状是（ ）A钝角三角形 B、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定18.若（），则在中，正数的个数是（ ）

3、A16 B.72 C.86 D.100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）PABCD19如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点.已知BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC的体积；（6分）（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）20已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴xOyPA正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里

4、A处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22在平面直角坐标系中，已知双曲线. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分） （3）设斜率为的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ；（6分）23对于项数为

5、m的有穷数列数集，记（k=1,2,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的；（4分） （2）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,m）.求证：（k=1,2,m）；（6分） （3）设m=100，常数.若，是的控制数列，求.1.【答案】1-2i 【解析】=1-2i2.由集合A可得：x，由集合B可得：-1经1，所以，=3.【答案】【解析】根据韪得：4.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则.5.【答案】 【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为，所以该圆柱的表面积为

6、：.6.【答案】 【解析】根据方程，化简得，令，则原方程可化为，解得 或，即.所以原方程的解为 .7.【答案】 【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此， .8. 根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 .9.【答案】 【解析】因为函数为奇函数，所以有，即 .10.根据题意得到或或或其可行域为平行四边形区域，（包括边界）目标函数可以化成，的最小值就是该直线在轴上截距的最小值，当该直线过点时，有最小值，此时 . 11.【答案】【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典

7、概型得到此种情况下的概率为 .12.【答案】【解析】以向量AB所在直线为轴，以向量AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，所以 设，根据题意，所以所以，所以， 即. 13.【答案】根据题意，得到，从而得到所以围成的面积为，所以围成的图形的面积为 .14.【答案】 【解析】据题，并且，得到，得到，解得（负值舍去）.依次往前推得到 .15.【答案】 D 【解析】根据实系数方程的根的特点知也是该方程的另一个根，所以，即，故答案选择D.16.【答案】B【解析】方程的曲线表示椭圆，常数常数的取值为所以，由得不到程的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出，因而必要.所以答

8、案选择B.17.【答案】 A【解析】由正弦定理，得代入得到，由余弦定理的推理得，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A.18.【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项. PABCDE19.解（1）， 2分 三棱锥P-ABC的体积为. 6分 （2）取PB的中点E，连接DE、AE，则 EDBC，所以ADE（或其补角）是异面直线 BC与AD所成的角. 8分在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2， ，所以ADE=. 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是. 12分20.解（1）由，得. 由得. 因为，所以，. 由得. 6分（2）当x1,2时，2-x0,1

9、，因此. 由单调性可得.因为，所以所求反函数是，. 21.解（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标yP=3. 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. 由tanOAP=，得OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度. （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得.10分 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 14分22.解（1）双曲线，左焦点.设，则， 由M是右支上一点，知，所以，得. 所以. （2）左顶点，渐近线方程：. 过A与渐近线平行的直线方程为：，即. 解方程组，得. 8分 所求平行四边形的面积为. 10分 （3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，即 (*).由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则. ，所以 . 由(*)知，所以OPOQ. 16分23.解（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. 4分 （2）因为， 所以. 6分 因为， 所以，即. 8分 因此，. 10分 （3）对，； ；. 比较大小，可得. 12分 因为，所以，即； ，即. 又，从而，. 15分 因此 = = =. 18分