漆安慎力学第二版课后习题解答

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1、第二章基本知识小结基本概念 （向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：）直角坐标系 与x,y,z轴夹角的余弦分别为 .与x,y,z轴夹角的余弦分别为 .与x,y,z轴夹角的余弦分别为 自然坐标系 极坐标系 相对运动 对于两个相对平动的参考系 （时空变换） （速度变换） （加速度变换）若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有： y y V o x o x z z质点运动学方程为：,求质点轨迹并用图表示.解：轨迹方程为的直线.xy5xy5/35/4，消去参数t得轨迹方程 质点运动学方程为.求质点轨迹；求自t= -1到t=1质点的位移。解：由运动学方

2、程可知：，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。所以，位移大小：质点运动学方程为. 求质点轨迹；求质点自t=0至t=1的位移.解：，消去参数t得：R雷达站于某瞬时测得飞机位置为0.75s后测得，R1,R2均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（角）1R1R2R12解：，在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得：据正弦定理：yx0x1x2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为y=x2/200(长度：毫米)。第一次观察到圆柱体在x=249mm处，经过时间2ms后，圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度的近似值。解：由于t很小，所以，其中，。其大小；与x轴夹角一人

3、在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km，收听者离收音机2m，问谁先听到声音？声速为340m/s，电磁波传播的速率为3.0108m/s.17m340m/s2320km,3108m/s340m/s2m解：声音传播情况如图所示，北京人听到演奏声音所需时间：广州人听到演奏声音所需时间：v230v1=90km/hv2=70km/hv西北火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，3min后以70km/h速率向北偏西30方向行驶，求列车的平均加速度。解：对矢量三角形应用余弦定理：，由正弦定理： ，R为正常数，求t=0,/2时的速度和加速度。

4、，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。解： ；10203010203045120-10-200x(m)t(s)abc图中a、b和c表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）解：质点直线运动的速度，在x-t图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x轴正向夹角为，则速度对于a种运动：对于b种运动：对于c种运动：质点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）解：显然，质点随时间按余弦规律

5、作周期性运动，运动范围：跳伞运动员的速度为，v铅直向下，,q为正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t）速度、加速度的变化趋势。解：因为v0，a0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t时，v，a0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。v(km/h)v=v0cosx/5x(km)1.5v0 直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原运行速率为v0=180km/h，其速率变化规律如图所示。求列车行至x=1.5km时的加速度。解：，将v0=180km/h,x=1.5km代入ABaA0.5g0x在水平桌面上放置A、B两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来，C点与桌面固

6、定，已知物体A的加速度aA=0.5g，求物体B的加速度。解：设整个绳长为L，取图示坐标o-x，则3xA+(-4xB) = L对时间求两次导数，3aA=4aB，所以aB = 3aA/4=30.5g/4 = 3g/8质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2. 将坐标原点沿o-x正方向移动2m，运动学方程如何？初速度有无变化？将计时起点前移1s，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变？解：x=10t+3t2，v=dx/dt=10+6t，a=dv/dt=6，t=0时，x=0,v=10将坐标原点向x轴正向移动2m，即令x=x-2，x=x+2，则运动学方程为：x=10t+3t2-2

7、，v=dx/dt=10+6t，v=v将计时起点前移1s，即令t=t+1，t=t-1，则运动学方程变为：x = 10(t-1) + 3(t-1)2 = 10t 10 + 3t2 - 6t + 3 = 4t + 3t2 7v=dx/dt=4+6t，t=0时，x= -7，v=4，加速度a不变。质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度ax = 2t (cms-2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。初速度v0=0；初速度v0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反。解：令vx=0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x轴反向

8、运动，3秒后质点沿x轴正向运动，所以路程：质点直线运动瞬时速度的变化规律为：vx = -3 sint，求t1=3至t2=5时间内的位移。解： 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为ax= -A2cost.在t=0时，vx=0,x=A，其中A,均为正常数。求此质点的运动学方程。解：，飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v0，且坐标x=0，假设其加速度为 ax = - bvx2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。解：在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速

9、度下坡，问：经多长时间两人相遇？两人相遇时各走过多长的路程？解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。两人的加速度实际上是相同的：x0195a1a2v10v20根据匀变速直线运动公式：令x1=x2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v1=5-0.2t，令v1=0，求得对应时刻t=25s，所以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后却再下坡。因此，上坡者在30s内走过的路程：对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s内走过的路程：210x站台

10、上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面，火车开动后经过t=24s，火车第一节车厢的末尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车做匀加速运动。解：设每节车厢长为L，以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标o-x，以第一节车厢的前端点为研究对象，t=0时，前端点的坐标x=0，速度v=0，据匀加速运动公式：，令x=L，求得：，令x=6L，可求得第6节车厢尾端通过人时所需时间t6：令x=7L，可求得第7节车厢尾端通过人时所需时间t7：因此，第7节车厢通过人所需时间：yh0 在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率v0上抛二石子，但在高处的石子早t0秒被抛出，求此二石子何时何处相

11、遇？解：以地为参考系，建立图示坐标o-y。据题意，设t=0时，上面石子坐标y1=h,速度v1=v0；t=t0时，下面石子坐标y2=0，v2=v0解法1：根据匀变速直线运动的规律，可知解法2：可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到、，然后求解。电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。由自由落体运动公式：，可求得从最高出落到地板所需时间：，所以小孩做竖直上抛所需时间为0.64s，在此时间内电梯

12、对地下落距离：L = 1.00.64 = 0.64 m质点在o-xy平面内运动,其加速度为，位置和速度的初始条件为：t=0时，求质点的运动学方程并画出轨迹。解：xy 在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30、60为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B两点间的距离。已知小球在A点的发射速度vA=9.8米/秒。 Y vAO vBO 30 60 A S B x解：以A点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为S，初始条件如图所示。据斜抛规律有：满足题中条件，在最高点相遇，必有vAy=vBy=0,xA=xB xyA6030v0迫击炮的发射角为60

13、发射速率150m/s，炮弹击中倾角为30的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA.解：以发射点为原点，建立图示坐标o-x，斜抛物体的轨迹方程为（见教材）： 本题，=60，v0=150m/s，A点坐标xA,yA应满足轨迹方程，所以： 另外，根据图中几何关系，可知：，代入中，有：轰炸机沿与铅直方向成53俯冲时，在763m的高度投放炸弹，炸弹在离开飞机5.0s时击中目标，不计空气阻力：轰炸机的速率是多少？炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？xy0v053解：以投放点为原点，建立图示坐标o-xy,设炸弹初速度（即轰炸机速度）为v0

14、. 由于炸弹在飞行过程中的加速度，所以炸弹在x方向做匀速直线运动，在y方向做竖直下抛运动，有令t=5.0s，y=763m，由可求得轰炸机的速率：将v0代入中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量：令t=5，由可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量：雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，他给出这样的信息：抛射体达到最大高度且正以速率v沿水平方向运动；观测员到抛射体的直线距离是l；观测员观测抛体的视线与水平方向成角。问：抛射体命中点到观测者的距离D等于多少？何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才命中目标？何种情况下抛体在未达到观察员以前就命中目标？xyovl命中点观测者x1x2解：以抛体所达最

15、大高度处为计时起点和坐标原点，建立图示坐标o-xy，抛体以速度v做平抛运动.设命中时间为t1，由自由落体公式：命中点x坐标为：，由图中几何关系，观测者的x坐标：。所以，观测者与命中点间的距离：当x1x2，即 时，则抛体在飞越观察员后才命中目标。列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为S=80t-t2（m,s），t=0时，列车在图中O点，此圆弧形轨道的半径r=1500m，求列车驶过O点以后前进至1200m处的速率及加速度。东北OSaanav解：S=80t-t2 v=dS/dt=80-2t 令S=1200，由可求得对应时间：将t=60代入中，v=-40，不合题意，

16、舍去；将t=20代入中，v=40m/s，此即列车前进到1200m处的速率。 火车以200米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为300米。司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为2g。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标o-s，t=0时，s=0,v=v0=200km/h=55.56m/s。据题意a= -2g，v=v0+at=v0 -2g t，an=v2/R=(v0 2gt)2/R。a=(a2+an2)1/2=4g2+(v0 2gt)4/R21/2，显然，t=0时，a最大， 斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动，当斗车达到图中所示位置时，轨道曲率半径为15

17、0m，斗车速率为50km/h，切向加速度a=0.4g，求斗车的加速度。na30解：加速度与切向单位矢量夹角： B 120m C B v u L v 1 u 2A A第一次渡河矢量图 第二次渡河矢量图 飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是自东北向西南，与正西夹15角，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹45角，结果飞机向正西方向运动，求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度。北东4515v风地v机地v机风解：，由矢量图可知，其中，v风地=100km/h=27.78m/s，可求得： 一卡车在平直路面上以恒速度30米/秒行驶，在此车上射出一个抛体，要求在车前进60米时，抛体仍落回

18、到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。解：以卡车为参考系，设抛体初速为v0，由于要落回原抛出点，故方向只能竖直向上，即抛体相对车只能作竖直上抛运动。取向上方向为正，抛体相对车任意时刻速度 v = v0 - g t 由题意，抛体落回原地所需时间 t = 60/30 = 2(s)，落到车上时的速度 v = - v0 ，把数值代入中，可求得 v0 = 9.8 m/s. 河的两岸互相平行，一船由A点朝与岸垂直的方向匀速驶去，经10min到达对岸C点。若船从A点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的B点，需要12.5min。已知BC=120m. 求：河宽L；第二

19、次渡河时船的速度；水流速度v.解：以船为运动质点，水为动系，岸为静系，由相对运动公式 由第一次渡河矢量图可知：v=BC/t1=120/600=0.2m/s, u = L / t1 , L = u t1 . 由第二次渡河矢量图可知：2 = L / t2 ， cos= 2/ u , v = u sin . 把、代入，求得 cos=t1/t2=600/750=4/5, sin=(1-cos2)1/2=3/5 把、代入，求得 u = 0.25/3 = 1/3 (m/s). 再把u的数值代入，求得L = 600/3 = 200(m).答：河宽200米，水流速度0.2米/秒；第二次渡河时，船对水的速度是1

20、/3米，与河岸垂直方向所成角度=arccos(4/5)=3652. 圆形公路与沿半径方向的东西向公路相交如图，某瞬时汽车甲向东以20km/h的速率行驶，汽车乙在=30的位置向东北方向以速率20km/h行驶，求此瞬时甲车相对乙车的速度。v1v2v12v130解：由相对运动公式：，显然矢量三角形为等边三角形，所以，v12=20km/h，方向向东偏南60第三章基本知识小结牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。矢量式：分量式：动量定理适用于惯性系、质点、质点系。导数形式：微分形式：积分形式：（注意分量式的运用）动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终

21、为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 （注意分量式的运用）在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。在直线加速参考系中：在转动参考系中：质心和质心运动定理（注意分量式的运用） 质量为2kg的质点的运动学方程为 （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。解：, 为一与时间无关的恒矢量，质点受恒力而运动。F=(242+122)1/2=12N，力与x轴之间夹角为： 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：，a,b,为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。证明：, 作用于质点的合力总指向原点。 在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛，一方面由筛孔漏出谷粒，一方面

22、逐出秸杆，筛面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小，可近似看作水平，筛面与谷粒发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4，问筛沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？解：以地为参考系，设谷物的质量为m，所受到的最大静摩擦力为 ，谷物能获得的最大加速度为 筛面水平方向的加速度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物与筛面发生相对运动。m2m1F 1 2 题图 题图 桌面上叠放着两块木板，质量各为m1 ,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为2，m1和m2间的摩擦系数为1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。解：以地为参考系，隔离m1、m2，

23、其受力与运动情况如图所示，xym1gf1N1a1a2N2N1m2gFf1f2其中，N1=N1,f1=f1=1N1,f2=2N2，选图示坐标系o-xy，对m1,m2分别应用牛顿二定律，有 解方程组，得 要把木板从下面抽出来，必须满足，即yN2a2xN1=N1m2gxN1af*=m1a2ym1gm1m2 质量为m2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为,质量为m1的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。解：以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为a2），取m1为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中N1为斜面对人的支撑力，f

24、*为惯性力，a即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系o-xy,应用牛顿第二定律建立方程：再以地为参考系，取m2为研究对象，其受力及运动情况如右图所示，选图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律建立方程： （1）、（2）、（3）、（4）联立，即可求得：m1m2F在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。f1N1m1gTaFN2m2gTaN1f1f2解：以地为参考系，隔离m1,m2，受力及运动情况如图示，其中：f1=N1=m1g，f2=N2=(N1+m2g)=(m

25、1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：+可求得：将a代入中，可求得：Tf1N1m1ga1Tf2N2m2ga2Tm3ga3CAB在图示的装置中，物体A,B,C的质量各为m1,m2,m3，且两两不相等. 若物体A,B与桌面间的摩擦系数为，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。解：以地为参考系，隔离A,B,C，受力及运动情况如图示，其中：f1=N1=m1g，f2=N2=m2g，T=2T，由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以（a1+a2）/2=a3. 对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：,联立，可求得：天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨

26、过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m1,m2的物体（m1m2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。m1m2解：隔离m1,m2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律：Tm1gaTm2gaTTT 由可求得：所以，天平右端的总重量应该等于T，天平才能保持平衡。0.050.08t(s)F(N)Fmax0棒球质量为0.14kg，用棒击棒球的力随时间的变化如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为70m/s，求力的最大值，打击时，不计重力。解：由Ft图可知：斜截式方程y=kx+b，两点式方程 (y-y1)/(x-x1)=(y

27、2-y1)/(x2-x1)由动量定理：可求得Fmax = 245Nt(s)F(N)9820 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示，火箭质量为2kg，t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力时才启动）。解：根据推力F-t图像，可知F=4.9t（t20）,令F=mg，即4.9t=29.8，t=4s因此，火箭发射可分为三个阶段：t=04sYY2Y10为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止，v=0,y=0；t=420s为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s时，y = y1，v = vmax ；t20s 为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最

28、大高度时的坐标 y=y2.第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dt第三阶段运动学方程令v=0,由（1）求得达最大高度y2时所用时间（t-20）=32，代入（2）中，得y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=ax2，a为正常数，小环套于弯管上。弯管角速度多大，小环可在管上任一位置相对弯管静止？若为圆形光滑弯管，情况如何？xymgNa解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为，小环受力及运动情况如图示：为小环处切线与x轴夹角，压力N与切线垂直，加速度大小a=2x，方向垂直指向y轴。在图示坐标

29、下应用牛顿二定律的分量式：/得：tg=2x/g ；由数学知识：tg=dy/dx=2ax；所以，若弯管为半径为R的圆形，圆方程为：x2 + (R-y)2 = R2，即代入中，得：xhlmgNya 北京设有供实验用的高速列车环形铁路，回转半径为9km，将要建设的京沪列车时速250km/h，若在环路上作此项列车实验且欲使铁轨不受侧压力，外轨应比内轨高多少？设轨距1.435m.解：以地为参考系，把车厢视为质点，受力及运动情况如图示：车厢速度v=250km/h=69.4m/s，加速度a=v2/R；设轨矩为l，外轨比内轨高h, 有选图示坐标o-xy，对车箱应用牛顿第二定律： /得：，两边平方并整理，可求得

30、h：汽车质量为1.210kN，在半径为100m的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t3+20t (m)，自t=5s开始匀速运动，问公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示：v=ds/dt=1.5t2+20，v| t=5 =1.552+20=57.5m/s，an=v2/R=57.52/100=33yx=15fNmgan设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xy，应用牛顿第二定律：/得：，说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内侧。v+EBxy速度选择器

31、原理如图，在平行板电容器间有匀强电场，又有与之垂直的匀强磁场。现有带电粒子以速度进入场中，问具有何种速度的粒子方能保持沿x轴运动？此装置用于选出具有特定速度的粒子，并用量纲法则检验计算结果。解：带电粒子在场中受两个力的作用：电场力F1=qE，方向向下；磁场力F2=qvB，方向向上F2=qvBF1=qE粒子若沿x轴匀速运动，据牛顿定律：vEBs1s2sB0r带电粒子束经狭缝S1,S2之选择，然后进入速度选择器（习题），其中电场强度和磁感应强度各为E和B. 具有“合格”速度的粒子再进入与速度垂直的磁场B0中，并开始做圆周运动，经半周后打在荧光屏上.试证明粒子质量为：m=qBB0r/E，r和q分别表

32、示轨道半径和粒子电荷。解：由题可知，通过速度选择器的粒子的速度是v=E/B，该粒子在B0磁场中受到洛仑兹力的作用做匀速圆周运动，其向心加速度为an=v2/r，由牛顿第二定律：某公司欲开设太空旅馆。其设计为用32m长的绳联结质量相等的两客舱，问两客舱围绕两舱中点转动的角速度多大，可使客舱感到和在地面上那样受重力作用，而没有“失重”的感觉。解： 圆柱A重500N，半径RA=0.30m，圆柱B重1000N,半径RB=0.50m，都放置在宽度L=1.20m的槽内，各接触点都是光滑的，求A、B间的压力及A、B柱与槽壁和槽底间的压力。解：隔离A、B,其受力情况如图所示，选图示坐标，运用质点平衡方程，有 通

33、过对ABC的分析，可知，sin=0.4/0.8=0.5 =30, cos=/2,分别代入（1）、（2）、（3）、（4）中，即可求得： NB = 288.5 N , NB= 1500 N , NA = 288.5 N , NAB = 577 N.图表示哺乳动物的下颌骨，假如肌肉提供的力F1和F2均与水平方向成45，食物作用于牙齿的力为F，假设F,F1和F2共点，求F1和F2的关系以及与F的关系。FxF1F2y解：建立图示坐标o-xy，应用共点力平衡条件：x方向，F1cos-F2cos=0, F1= F2y方向，F1sin+F2sin- F=0，四根等长且不可伸长的轻绳端点悬于水平面正方形的四个顶

34、点处，另一端固结于一处悬挂重物，重量为W，线与铅垂线夹角为，求各线内张力。若四根线均不等长，知诸线之方向余弦，能算出线内张力吗？解：设四根绳子的张力为T1，T2，T3，T4，由于对称，显然，T1=T2=T3=T4=T；设结点下边的拉力为F，显然F=W. 在竖直方向上对结点应用平衡条件：4Tcos-W=0，T=W/(4cos)若四根线均不等长，则T1T2T3T4，由于有四个未知量，因此，即使知道各角的方向余弦，也无法求解，此类问题在力学中称为静不定问题。 小车以匀加速度a沿倾角为的斜面向下运动，摆锤相对小车保持静止，求悬线与竖直方向的夹角（分别自惯性系和非惯性系求解）。f*=maayxTW=mg

35、解：（1）以地为参考系（惯性系），小球受重力W和线拉力T的作用，加速度a沿斜面向下，建立图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律： 解得 （2）以小车为参考系（非惯性系），小球除受重力W、拉力T外，还受惯性力f*的作用(见上图虚线表示的矢量)，小球在三个力作用下静止，据牛顿第二定律： 解得 m1m2T Tf1* f2* a a1 a2 m1g m2g3.5.2 升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为m1,m2且m1m2,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a（方向向下）运动时，两物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少？解：以升降机为参考系,隔离m1,m2,受力及

36、运动情况如图示,T为绳中张力，f1*=m1a,f2*=m2a, a1=a2=a为m1、m2相对升降机的加速度.以向下为正方向，由牛顿二定律，有：解得：设m1、m2的加速度分别为a1、a2，根据相对运动的加速度公式， 写成标量式：，将a代入，求得：图示为柳比莫夫摆，框架上悬挂小球，将摆移开平衡位置而后放手，小球随即摆动起来。当小球摆至最高位置时，释放框架使它沿轨道自由下落，如图a，问框架自由下落时，摆锤相对于框架如何运动？当小球摆至平衡位置时，释放框架，如图b，小球相对框架如何运动？小球质量比框架小得多。abTf*WTf*W解：以框架为参考系，小球在两种情况下的受力如图所示：设小球质量为m, 框

37、架相对地自由落体的加速度为g，因此小球所受的惯性力f*=mg，方向向上，小球所受重力W=mg. 在两种情况下，对小球分别应用牛顿第二定律：小球摆至最高位置时释放框架,小球相对框架速度v=0，所以法向加速度an=v2/l=0（l为摆长）；由于切向合力F=Wsin-f*sin=0，所以切向加速度a=0. 小球相对框架的速度为零，加速度为零，因此小球相对框架静止。小球摆至平衡位置时释放框架，小球相对框架的速度不为零，法向加速度an=v2/l0，T=man ；在切向方向小球不受外力作用，所以切向加速度a=0，因此，小球速度的大小不变，即小球在拉力T的作用下相对框架做匀速圆周运动。mgNf=0Nf*=m

38、2r摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转。筒内壁半径为3.0m，轮胎与壁面静摩擦系数为0.6，求摩托车最小线速度（取非惯性系做）解：设摩托车在水平面内旋转的最小角速度为，以摩托车本身为参考系，车受力情况如图示，运动状态静止。在竖直方向应用平衡条件，0N = mg 在水平方向应用平衡条件，N = m2 r /得：最小线速度 WfC*fK*Nf0一杂技演员令雨伞绕铅直轴转动，一小圆盘在雨伞上滚动但相对地面在原地转动，即盘中心不动。小盘相对于雨伞如何运动？以伞为参考系，小盘受力如何？若保持牛顿第二定律形式不变，应如何解释小盘的运动？解：可把小盘当作质点，小盘相对雨伞做匀速圆周运动，与伞相对地的

39、转向相反。以伞为参考系，小盘质点受5个力的作用：向下的重力W，与扇面垂直的支持力N，沿伞面向上的静摩擦力f0，此外还有离心惯性力fC*和科氏惯性力fk*，方向如图所示。把这些力都考虑进去，即可保持牛顿第二定律的形式不变，小盘正是在这些力的作用下相对伞做匀速圆周运动。fk*v60fC*设在北纬60自南向北发射一弹道导弹，其速率为400m/s，打击6.0km远的目标，问该弹受地球自转影响否？如受影响，偏离目标多少（自己找其它所需数据）?解：以地球为参考系，导弹除受重力作用外，还要受离心惯性力和科氏惯性力的作用。离心惯性力的方向在速度与重力加速度平面内，不会使导弹前进方位偏离，而科氏惯性力的方向垂直

40、速度、重力加速度平面（指向纸面），要使导弹偏离前进方向。由于导弹速度较大，目标又不是很远，可近似认为导弹做匀速直线运动，导弹击中目标所需时间t=6000/400=15s，在此时间内导弹在科氏惯性力作用下偏离目标的距离：就下面两种受力情况：（N,s），（N,s）分别求出t=0,1/4,1/2,3/4,1时的力并用图表示；再求t=0至t=1时间内的冲量，也用图表示。xyF(0)F(1/4)F(1/2)F(3/4)F(1)12120解：代入t值得：xy12120I,与x轴夹角= arctgIy/Ix = arctg2 = 63.5xyF(0)F(1/4)F(1/2)F(3/4)F(1)1210 代入

41、t值得：Ixy12120,与x轴夹角= arctgIy/Ix = arctg0.5 = 26.5一质量为m的质点在o-xy平面上运动，其位置矢量为：，求质点的动量。解：质点速度：质点动量：大小：方向：与x轴夹角为，tg= py/px = - ctgtb/a自动步枪连发时每分钟可射出120发子弹，每颗子弹质量为7.9g，出口速率为735m/s，求射击时所需的平均力。解：枪射出每法子弹所需时间：t=60/120=0.5s，对子弹应用动量定理： 棒球质量为0.14kg,棒球沿水平方向以速率50m/s投来，经棒击球后，球沿水平成30飞出，速率为80m/s，球与棒接触时间为0.02s，求棒击球的平均力。

42、 v解：以地为参考系，把球视为质点， 30 v0由动量定理，画出矢量图，由余弦定理，代入数据，可求得F=881N.由正弦定理 mv Ft ，代入数据， 30 求得 mv0Mm 质量为M的滑块与水平台面间的静摩擦系数为0，质量为m的滑块与M均处于静止，绳不可伸长，绳与滑轮质量可不计，不计滑轮轴摩擦。问将m托起多高，松手后可利用绳对M冲力的平均力拖动M？设当m下落h后经过极短的时间t后与绳的铅直部分相对静止。 解：以地为参考系，选图示坐标，先以m为研究对象，它被托起h，再落 y回原来位置时，速度大小为， x在t极短时间内与绳相互作用，速度又变为零，设作用在m上的平均冲力为F，相对冲力，重力作用可忽

43、略，则由质点动量定理有：，再以M为研究对象，由于绳、轮质量不计，轴处摩擦不计，绳不可伸长，所以M受到的冲力大小也是F，M受到的最大静摩擦力为fmax=o Mg，因此,能利用绳对M的平均冲力托动M的条件是：Ffmax，即质量m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg，m1, m2和m4三个质点的位置坐标顺次是：(x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2)，四个质点的质心坐标是：(x,y)=(1,-1)，求m3的位置坐标。解：由质心定义式：，有m1X 质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s,问缆绳作用与驳船的平均力有多大？（分别用质点系

44、动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解）Fxm1m2解：（1）用质点系动量定理解：以岸为参考系，把车、船当作质点系，该系在水平方向只受缆绳的拉力F的作用， 应用质点系动量定理，有Ft=m1vF=m1v/t=15005/5=1500N（2）用质心运动定理解：F=(m1+m2)ac ,据质心定义式，有：(m1+m2)ac=m1a1+m2a2 ， a1为车对岸的加速度，a1=(v-0)/t=v/t，a2为船对地的加速度，据题意a2=0，ac=a1m1/(m1+m2)，代入a1，ac=m1v/(m1+m2)t ，F=m1v/t=1500N（3）用牛顿定律解： a2=0 a1m2m1分别分析车、船两个质点

45、的 F f f 受力与运动情况：其中f为静摩擦力，a1=v/t，对两个质点分别应用牛顿二定律：a2ax汽车质量m1=1500kg，驳船质量m2=6000kg，当汽车相对船静止时，由于船尾螺旋桨的转动，可使船载着汽车以加速度0.2ms-2前进. 若正在前进时，汽车自静止开始相对船以加速度0.5ms-2与船前进相反方向行驶，船的加速度如何？解：用质心定理求解 车相对船无论静止还是运动，螺旋桨的水平推力不变，即车、船系统所受外力不变，由质心运动定理可知，车运动时的质心加速度与车静止时的质心加速度相等aC=0.2m/s2设车运动时相对船的加速度为a，相对地的加速度为a1，船相对地的加速度为a2，由相对

46、运动公式： 由质心定义式可知：将代入中，可得：，取船前进方向为正，代入数据：m/s2用质点系动量定理求解 设船所受的水平推力为F，在车静止时，可把车、船当作质量为(m1+m2)的质点，加速度为a=0.2，由牛顿第二定律：设车运动时相对船的加速度为a，相对地的加速度为a1，船相对地的加速度为a2，由相对运动公式：对车、船应用质点系动量定理的导数形式：令=，,取船前进方向为正，代入数据：m/s2气球下悬软梯，总质量为M，软梯上站一质量为m的人，共同在气球所受浮力F作用下加速上升，当人以相对于软梯的加速度am上升时，气球的加速度如何？x解：由质心定理：F- (m+M)g = (m+M)aC 设人相对

47、地的加速度为a1，气球相对地的加速度为a2，由相对运动公式：a1=am+a2，由质心定义式可知：（m+M）aC = ma1+Ma2=m(am+a2)+Ma2 联立，可求得：水流冲击在静止的涡轮叶片上，水流冲击叶片曲面前后的速率都等于v，设单位时间投向叶片的水的质量保持不变等于u，求水作用于叶片的力。-vv解：以水为研究对象，设在t时间内质量为m的水投射到叶片上，由动量定理：由牛顿第三定律，水作用叶轮的力F= -F=2uvm2x3.7.5 70kg重的人和210kg重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了3.2m停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。m1解：以地为参考

48、系，选图示坐标o-x,设人的质量为m1=70kg，人相对地的速度为v1，相对船的速度为v1，它们的方向显然与x轴同向；设船的质量为m2=210kg，船相对地的速度为v2，（方向显然与x轴相反）；据相对运动的速度变换公式，人对地的速度v1=v1+v2.由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有：m1v1+m2 v2=0，即 m1(v1+ v2)+m2 v2=0 ，可求得v2= - v1m1/(m1+m2)，将上式两边同时乘上相互作用时间t，v2t=s2为船相对地的位移，v1t=s1=3.2m，即s2 = - s1m1/(m1+m2) = - 3.270/(70+210)

49、= - 0.8m 炮车固定在车厢内，最初均处于静止，向右发射一枚弹丸，车厢向左方运动，弹丸射在对面墙上后随即顺墙壁落下，问此过程中车厢移动的距离是多少？已知炮车和车厢总质量为M，弹丸质量为m，炮口到对面墙壁的距离为L,不计铁轨作用于车厢的阻力。xLMvmV解：以地为参考系,建立图示坐标o-x，设弹丸出口时相对车的速度为 v, 对地的速度为v, 车后退的速度为V，据相对运动的速度变换公式，可知：v=v+V 由于不计路轨对车的摩擦 阻力，所以，在水平方向，弹、车组成的质点系动量守恒，有 MV+m v=0，将v代入，MV+m(v+V)=0，V= - vm/(m+M) 设弹发出到与车壁相碰所用时间为t

50、，用t乘上式两边，得：Vt= - vt m/(m+M)，其中：vt= -L，Vt即为车在此过程中前进的距离S，S=Lm/(m+M)载人的切诺基和桑塔纳汽车质量各为m1=16510kg，和m2=11510kg，各以速率v1=90km/h和v2=108km/h向东和向北行驶，相撞后连在一起滑出，求滑出的速度，不计摩擦m1 v1v2 m2vx(东)y (北)解：设两车撞后的共同速度为，由动量守恒：向x轴投影： 向y轴投影：与x轴夹角 y v v2 v1 45 45 45 x v3 v 一枚手榴弹投出方向与水平面成45，投出的速率为25m/s，在刚要接触与发射点同一水平面的目标时爆炸，设分成质量相等的

51、三块，一块以速度v3铅直朝下，一块顺爆炸处切线方向以v2=15m/s飞出，一块沿法线方向以v1飞出，求v1和v3，不计空气阻力。 解：以地为参考系，把手榴弹视为质点系，由于在爆炸过程中，弹片所受的重力远远小于弹片之间的冲力，因而在爆炸过程中可忽略重力作用，认为质点系动量守恒。设手榴弹质量为m,爆炸前速度为v，由动量守恒，有：，投影方程： ，即解得：铀238的核（质量为238原子质量单位）放射一个粒子（氦原子的核，质量为4.0原子质量单位）后蜕变为钍234的核，设铀核原来是静止的，粒子射出时的速率为1.4107m/s，求钍核反冲的速率。解：由动量守恒，有 三只质量均为M的小船鱼贯而行，速度都是v

52、，中间一船同时以水平速度u(相对于此船)把两质量均为m的物体抛到前后两只船上，问当两物体落入船后，三只船的速度各如何？解：以岸为参考系， M v M v M v以船前进的方向为坐标的正方向；设物体抛出 M+m v3 M-2m v2 M+m v1后，前边船、中间船、后边船的速度变为v1、v2、v3，船的质量与速度变化情况如上图所示；在物体抛出的过程中，这个系统的总动量是守恒的，因此：前边船的动量变化应该等于中间船抛过来的物体的动量，即(M+m)v1-Mv=m(u+v)，其中(u+v)是向前抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v1=v+um/(m+M)，说明前边船速度变快。同样，后边船的动量变化也应

53、该等于中间船抛过来的物体的动量，即 (M+m)v3-Mv=m(-u+v)=m(v-u)，其中（v-u）是向后抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v3=v-um/(m+M)，说明后边船速度变慢。中间船的动量变化应该等于抛出物的动量之和，即(M-2m)v2-Mv=m(u+v)+m(v-u)，由此式可求得：v2=v，说明中间船的速度没有发生变化。第四章基本知识小结 功的定义式：直角坐标系中：自然坐标系中：极坐标系中： 重力势能 弹簧弹性势能 静电势能 动能定理适用于惯性系、质点、质点系机械能定理适用于惯性系 机械能守恒定律适用于惯性系若只有保守内力做功，则系统的机械能保持不变，碰撞的基本公式对于完全弹

54、性碰撞 e = 1对于完全非弹性碰撞 e = 0对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。克尼希定理绝对动能=质心动能+相对动能应用于二体问题 u 为二质点相对速率 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物50kg，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s的速率向后运动，问运动员对传送带做功否？功率如何？解：人作用在传送带上的力有向下的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向与传送带位移方向垂直，所以压力不做功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相同，所以静摩擦力对传送带做正功。分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦力的大小f=mg，所以，人对传送带做功的功率为：N = fv = mgv = 509.82 = 9.8102（瓦）k2=0k20k20df/dlk1l 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为表示弹簧的伸长量，k1为正，研究当k20、k20和k2=0时弹簧的劲度df/dl有何不同；求出将弹簧由l1拉长至l2时弹簧对外界所