算法设计与分析第二版课后习题解答

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1、算法设计与分析基础课后练习答案习题1.1 4.设计一个计算的算法，n是任意正整数。除了赋值和比较运算，该算法只能用到基本的四则运算操作。算法求 /输入：一个正整数n2 /输出：。step1:a=1； step2:若a*an 转step 3，否则输出a； step3:a=a+1转step 2；5. a用欧几里德算法求gcd（31415，14142）。 b. 用欧几里德算法求gcd（31415，14142）,比检查minm，n和gcd（m，n）间连续整数的算法快多少倍？请估算一下。a. gcd(31415, 14142) = gcd(14142, 3131) = gcd(3131, 1618) =

2、gcd(1618, 1513) = gcd(1513, 105) = gcd(1513, 105) = gcd(105, 43) =gcd(43, 19) = gcd(19, 5) = gcd(5, 4) = gcd(4, 1) = gcd(1, 0) = 1.b.有a可知计算gcd（31415，14142）欧几里德算法做了11次除法。连续整数检测算法在14142每次迭代过程中或者做了一次除法，或者两次除法，因此这个算法做除法的次数鉴于114142 和 214142之间，所以欧几里德算法比此算法快114142/11 1300 与 214142/11 2600 倍之间。6.证明等式gcd(m,n

3、)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明: l 如果d整除u和v, 那么d一定能整除uv; l 如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。故gcd(m,n)=gcd(n,r)7.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?Hint:对于任何

4、形如0=m0 temp2*a x1(-b+sqrt(D)/temp x2(-b-sqrt(D)/temp return x1,x2 else if D=0 return b/(2*a) else return “no real roots”else /a=0 if b0 return c/b else /a=b=0 if c=0 return “no real numbers” else return “no real roots”5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答： a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入：一个正整数n输出：正整数n相应的

5、二进制数第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2.)，商赋给n第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码 算法 DectoBin(n)/将十进制整数n转换为二进制整数的算法/输入：正整数n/输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin1.n中i=1while n!=0 do Bini=n%2;n=(int)n/2;i+;while i!=0 doprint Bini;i-;9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略)对这个算法做尽可能多的改进.算法 MinDistance(A0.n-1)/输入:数组

6、A0.n-1/输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.3 1. 考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count4.(古老的七桥问题)第2章习题2.1 7.

7、对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例)a. 如果t(n)O(g(n),则g(n)(t(n)b.0时,(g(n)= (g(n)解:a. 这个断言是正确的。它指出如果t(n)的增长率小于或等于g(n)的增长率，那么 g(n)的增长率大于或等于t(n)的增长率 由 t(n)cg(n) for all nn0, where c0 则： for all nn0b. 这个断言是正确的。只需证明。设f(n)(g(n),则有： for all n=n0, c0 for all n=n0, c1=c0即：f(n)(g(n)又设f(n)(g(n),则有： for all n=n0,c0 for all n=

8、n0,c1=c/0即：f(n)(g(n)8证明本节定理对于下列符号也成立：a.符号b.符号证明：a。we need to proof that if t1(n)(g1(n) and t2(n)(g2(n), then t1(n)+ t2(n)(maxg1(n), g2(n)。由 t1(n)(g1(n)， t1(n)c1g1(n) for all n=n1, where c10由 t2(n)(g2(n)， T2(n)c2g2(n) for all n=n2, where c20那么，取c=minc1,c2,当n=maxn1,n2时： t1(n)+ t2(n)c1g1(n)+ c2g2(n) c

9、g1(n)+c g2(n)cg1(n)+ g2(n) cmax g1(n), g2(n)所以以命题成立。b. t1(n)+t2(n) (证明：由大的定义知，必须确定常数c1、c2和n0，使得对于所有n=n0，有：由t1(n)(g1(n)知，存在非负整数a1,a2和n1使： a1*g1(n)=t1(n)=a2*g1(n)-(1)由t2(n)(g2(n)知，存在非负整数b1,b2和n2使： b1*g2(n)=t2(n)=b2*g2(n)-(2)(1)+(2):a1*g1(n)+ b1*g2(n)=t1(n)+t2(n) = a2*g1(n)+ b2*g2(n)令c1=min(a1,b1),c2=m

10、ax(a2,b2)，则 C1*(g1+g2)= t1(n)+t2(n) =c2(g1+g2)-(3)不失一般性假设max(g1(n),g2(n)=g1(n).显然，g1(n)+g2(n)2g1(n)，即g1+g20，g1(n)+g2(n)g1(n),即g1+g2max(g1,g2)。则（3）式转换为：C1*max(g1,g2) = t1(n)+t2(n) =n0时上述不等式成立。证毕。习题2.22. 请用的非正式定义来判断下列断言是真还是假。a. n(n + 1)/2 O(n3) b. n(n + 1)/2 O(n2)c. n(n + 1)/2 (n3) d. n(n + 1)/2 (n)答：

11、c假，其它真。5.按照下列函数的增长次数对它们进行排列（按照从低到高的顺序） (n2)!, 5lg(n+100)10, 22n, 0.001n4+3n3+1, ln2 n, ， 3n.答：习题2.31. 计算下列求和表达式的值。答：3. 考虑下面的算法。a 该算法求的是什么？b 它的基本操作是什么？c 该基本操作执行了多少次？d 该算法的效率类型是什么？e 对该算法进行改进，或者设计一个更好的算法，然后指出它们的效率类型。如果做不到这一点，请试着证明这是不可能做到的。9.证明下面的公式：可以使用数学归纳法，也可以像10岁的高斯一样，用洞察力来解决该问题。这个小学生长大以后成为有史以来最伟大的数

12、学家之一。数学归纳法：高斯的方法：习题2.41. 解下列递推关系 （做a,b）当n1时a. 解：当n1时b.解：2. 对于计算n!的递归算法F(n)，建立其递归调用次数的递推关系并求解。解：3. 考虑下列递归算法，该算法用来计算前n个立方的和：S(n)=13+23+n3。算法S(n) /输入：正整数n /输出：前n个立方的和if n=1 return 1else return S(n-1)+n*n*na. 建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解b. 如果将这个算法和直截了当的非递归算法比，你做何评价？解：7. a. 请基于公式2n=2n-1+2n-1，设计一个递归算法。当n是任意非负整数的时

13、候，该算法能够计算2n的值。 b. 建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解 c. 为该算法构造一棵递归调用树，然后计算它所做的递归调用次数。 d. 对于该问题的求解来说，这是一个好的算法吗？解:a.算法power(n)/基于公式2n=2n-1+2n-1,计算2n/输入:非负整数n/输出: 2n的值If n=0 return 1Else return power(n-1)+ power(n-1)c.8.考虑下面的算法 算法 Min1(A0.n-1) /输入:包含n个实数的数组A0.n-1 If n=1 return A0 Else tempMin1(A0.n-2) If tempAn-1

14、return temp Else return An-1a.该算法计算的是什么?b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解解:a.计算的给定数组的最小值for all n1n=1b.9.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们将它称为Min2(A0.n-1)算法 Min(Ar.l) If l=r return Al Else temp1Min2(Al.(l+r)/2) Temp2Min2(Al.(l+r)/2+1.r) If temp1temp2 return temp1 Else return temp2a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解b.算法

15、Min1和Min2哪个更快?有其他更好的算法吗?解:a.习题2.53.java的基本数据类型int和long的最大值分别是当n最小为多少的时候，第n个斐波那契数能够使下面的类型溢出。a.int类型 b.long类型4.爬梯子 假设每一步可以爬一个或两格梯子，爬一部n格梯子一共可以用几种的不同方法？（例如，一部3格的梯子可以用三种不同的方法爬：1-1-1，1-2和2-1）。6.改进算法Fib，使它只需要（1）的额外空间。7.证明等式：答：数学归纳法证明习题2.6 1. 考虑下面的排序算法,其中插入了一个计数器来对关键比较次数进行计数.算法SortAnalysis(A0.n-1)/input:包含

16、n个可排序元素的一个数组A0.n-1/output:所做的关键比较的总次数count0for i1 to n-1 do vAi ji-1 while j0 and Ajv do countcount+1 Aj+1Aj jj+1 Aj+1vreturn count比较计数器是否插在了正确的位置?如果不对,请改正.解:应改为:算法SortAnalysis(A0.n-1)/input:包含n个可排序元素的一个数组A0.n-1/output:所做的关键比较的总次数count0for i1 to n-1 do vAi ji-1 while j0 and Ajv do countcount+1 Aj+1A

17、j jj+1 if j=0 count=count+1 Aj+1vreturn count习题3.14. a.设计一个蛮力算法,对于给定的x0,计算下面多项式的值:P(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0并确定该算法的最差效率类型.b.如果你设计的算法属于(n2),请你为该算法设计一个线性的算法.C.对于该问题来说,能不能设计一个比线性效率还要好的算法呢?解:a. Algorithms BruteForcePolynomialEvaluation(P0.n,x)/由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值/输入:P0.n是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x/输出: 多项式p在

18、给定点x的值p=0.0for i=n to 0 do power=1 for j=1 to i do power=power*x p=p+Pi*powerreturn p算法效率分析:基本操作:两个数相乘,且M(n)仅依赖于多项式的阶nb. tha above algorithms is very inefficient, because we recompute powers of x again and again as if there were no relationship among them.In fact ,we can move from the lowest term to

19、 the highest and compute xi by using xi-1.Algorithms BetterBruteForcePolynomialEvaluation(P0.n,x)/由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值/输入:P0.n是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x/输出: 多项式p在给定点x的值 P=P0 power=1 for i1 to n do powerpower*x pp+Pi*power return p基本操作乘法运算总次数M(n):c.不行.因为计算任意一个多项式在任意点x的值,都必须处理它的n+1 个系数.例如: (x=1,p(x)=an+a

20、n-1+.+a1+a0,至少要做n次加法运算) 5.应用选择排序对序列E,X,A,M,P,L,E按照字母顺序排序.6.选择排序是稳定的吗?(不稳定)7.用链表实现选择排序的话,能不能获得和数组版相同的(n2)效率?Yes.Both operationfinding the smallest element and swapping it can be done as efficiently with the linked list as with an array. 8.应用冒泡排序对序列E,X,A,M,P,L,E按照字母顺序排序.9.a.请证明,如果对列表比较一遍之后没有交换元素的位置,那么

21、这个表已经排好序了,算法可以停止了.b.结合所做的改进,为冒泡排序写一段伪代码.c.请证明改进的算法最差效率也是平方级的.Hints:a. 第i趟冒泡可以表示为:如果没有发生交换位置,那么:b.Algorithms BetterBubblesort(A0.n-1)/用改进的冒泡算法对数组A0.n-1排序/输入:数组A0.n-1/输出:升序排列的数组A0.n-1countn-1 /进行比较的相邻元素对的数目flagtrue /交换标志while flag do flagfalse for i=0 to count-1 do if Ai+1Ai swap(Ai,Ai+1) flagtrue cou

22、ntcount-1c最差情况是数组是严格递减的,那么此时改进的冒泡排序会蜕化为原来的冒泡排序.10.冒泡排序是稳定的吗?(稳定)习题3.21. 对限位器版的顺序查找算法的比较次数:a. 在最差情况下b. 在平均情况下.假设成功查找的概率是p(0=p=1)Hints:a. Cworst(n)=n+1b. 在成功查找下,对于任意的I,第一次匹配发生在第i个位置的可能性是p/n,比较次数是i.在查找不成功时,比较次数是n+1,可能性是1-p.6.给出一个长度为n的文本和长度为m的模式构成的实例,它是蛮力字符串匹配算法的一个最差输入.并指出,对于这样的输入需要做多少次字符比较运算.Hints:文本:由

23、n个0组成的文本模式:前m-1个是0,最后一个字符是1比较次数: m(n-m+1)7.为蛮力字符匹配算法写一个伪代码,对于给定的模式,它能够返回给定的文本中所有匹配子串的数量.Algorithms BFStringmatch(T0.n-1,P0.m-1)/蛮力字符匹配/输入:数组T0.n-1长度为n的文本,数组P0.m-1长度为m的模式/输出:在文本中匹配成功的子串数量count0for i0 to n-m do j0 while j1 C(1)=0 设n=2k，C(2k)=2C(2k-1)+1 =22 C(2k-2)+1+1=22C(2k-2)+2+1 =222C(2k-3)+1+2+1=2

24、3C(2k-3)+ 22+2+1 =. =2iC(2k-i)+ 2i-1+2 i-2 +.+2+1 =. =2kC(2k-k)+ 2k-1+2 k-2 +.+2+1=2k1=n-1可以证明C(n)=n-1对所有n1的情况都成立（n是偶数或奇数）d.比较的次数相同，但蛮力算法不用递归调用。2、a.为一个分治算法编写伪代码，该算法同时求出一个n元数组的最大元素和最小元素的值。b.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。c.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。解答： a.同时求出最大值和最小值，只需要将原数组一分为二，再使用相同的方法找出这两个部分中的最大值和最小值，然后经过比较就可以得

25、到整个问题的最大值和最小值。 算法 MaxMin(Al.r,Max,Min) /该算法利用分治技术得到数组A中的最大值和最小值/输入：数值数组Al.r/输出：最大值Max和最小值Minif(r=l) MaxAl；MinAl; /只有一个元素时elseif rl=1 /有两个元素时if AlArMaxAr; MinAlelseMaxAl; MinArelse /rl1MaxMin(Al,(l+r)/2,Max1,Min1); /递归解决前一部分MaxMin(A(l+r/)2.r,Max2,Min2); /递归解决后一部分if Max1Max2 Max= Max2 /从两部分的两个最大值中选择大值

26、if Min22C(1)=0, C(2)=1C(n)=C(2k)=2C(2k-1)+2=22C(2k-2)+2+2=22C(2k-2)+22+2=222C(2k-3)+2+22+2=23C(2k-3)+23+22+2.=2k-1C(2)+2k-1+2k-2+.+2 /C(2)=1=2k-1+2k-1+2k-2+.+2 /后面部分为等比数列求和=2k-1+2k-2 /2(k-1)=n/2,2k=n=n/2+n-2=3n/22b.蛮力法的算法如下： 算法 simpleMaxMin(Al.r)/用蛮力法得到数组A的最大值和最小值/输入：数值数组Al.r/输出：最大值Max和最小值MinMax=Min

27、=Al;for i=l+1 to r do if AiMax MaxAi;else if Ai1 (n=2k)Cbest(1)=0c. 键值比较次数M(n)M(n)=2M(n)+2n for n1M(1)=0习题4.21.应用快速排序对序列E,X,A,M,P,L,E按字母顺序排序4. 请举一个n个元素数组的例子,使得我们有必须对它使用本节提到的”限位器”.限位器的值应是多少年来?为什么一个限位器就能满足所有的输入呢? Hints: With the pivot being the leftmost element, the left-to-right scan will get out of

28、bounds if and only if the pivot is larger than the other elements.Appending a sentinel(限位器) of value equal A0(or larger than A0) after the arrays last element , the quicksort algorithms will stop the index of the left-to-right scan of A0.n-1 from going beyond position n.8.设计一个算法对n个实数组成的数组进行重新排列,使得其中

29、所有的负元素都位于正元素之前.这个算法需要兼顾空间和时间效率. Algorithms netbeforepos(A0.n-1)/使所有负元素位于正元素之前/输入:实数组A0.n-1/输出:所有负元素位于于正元素之前的实数组A0.n-1A-1-1; An1 /限位器i0; jn-1While i1时, Cw(n)=Cw(n/2)+1, Cw(1)=1(略)4.如果对于一个100000个元素的数组成功查找的话,使用折半查找比顺序查找要快多少倍?6 如何将折半查找应用于范围查找?范围查找就是对于一个有序数组,找出位于给定值L、U之间（包含L、U）的所有元素，Lr return -1else m (l

30、+r)/2if K=Am return melse if K Am return BSR(Am+1,r,K)8.设计一个只使用两路比较的折半查找算法，即只用和=, 或者只用和=.Algorithms TwoWaysBinarySearch(Ao.n-1,K)/二路比较的折半查找/有序子数组Al.r和查找键值K/查找成功则输出其下标，否则输出-1l0, rn-1while lr do m (l+r)/2if KAmr melse l m+1if K=Al return lelse return -1习题4.53. 用课文中介绍的分治算法来计算2101*1130.习题4.61.a.为最近对问题的一

31、维版本设计一个直接基于分治技术的算法,并确定它的效率类型b.对于这个问题,它是一个好算法吗?解:a. Algorithms ClosestNumber(Al.r)/分治计算最近对问题的一维版本/输入:升序排列的实数子数组Al.r/输出:最近数对的距离If r=l return Else if rl=1 return ArAl Else return minClosestNumber(Al (l+r)/2 ), ClosestNumber(A (l+r)/2 .r) A (l+r)/2 +1A (l+r)/2 设递归的时间效率为T(n):对n=2k, 则: T(n)=2T(n/2)+c利用主定理

32、求解.T(n)=(n)2.(题略)习题5.14. 应用插入排序对序列E,X,A,M,P,L,E按照字母顺序排序.答:插入排序过程如下:习题5.42. 使用下面的方法生成1,2,3,4的全部排列:a. 从底向上的最小变化算法。b. Johnson-Trotter算法。c. 字典序算法。答：从底向上的最小变化算法过程如下：bJohnson-Trotter算法实现如下： c .字典序算法实现如下： 9. a.当n=4时，用减一技术生成它的格雷码。 答：用减一技术生成格雷码： n=1 01; n=2 00011110;(从左到右，最左边填0，从右到左，最左边填1) n=3 00000101101011

33、0111101100 n=4生成的格雷码：习题5.53. 应用俄式乘法来计算46*47.答：习题5.66.a.为了使大于6，n的最小值是多少？答：习题6.41.a.用自底向上算法为列表1,8,6,5,3,7,4构造一个堆.习题6.5 4.a.应用霍纳法则计算这个多项式：b. 利用霍纳法则的运算结果，求p(x)除以x+2之后的商和余数。6.a.应用从左到右二进制算法计算a17.7.应用从右到左二进制幂算法计算a17.习题7.11. 不使用额外的存储来交换两个变量的数值是否可能，比如说是u和v。习题7.21. 应用Horspool算法在下面的文本中查找模式BAOBAB: BESS_KNEW_ABO

34、UT_BAOBABS答:习题7.31. 对于输入30,20,56,75,31,19和散列函数h(K)=K mod 11a. 构造它们的开散列表；b. 求在本表中成功查找的最大键值比较次数；c. 求在本表中成功查找的平均键值比较次数。习题8.21. 对由下面邻接矩阵定义的有向图，应用warshall算法求它的传递闭包。答：7.对于下面具有权重矩阵的有向图，求解完全最短路径问题。答：习题8.31. 完成本节构造最优二叉查找树例题中余下的计算。习题8.41. a对于下面背包问题的实例，应用自底向上动态规划算法求解。ba中的实例有多少个不同的最优子集？9.为找零问题设计一个动态规划算法：给定金额n以及

35、各种面额的数量无限的硬币，求总金额等于n的硬币的最少个数，或者指出该问题无解。答： 习题9.17.a.对下面的图应用Prim算法。优先队列中包括所有不在树中的顶点。答：习题9.2 1. 应用Kruskal算法求下列图的最小生成树。a.答：习题9.32. 解下面这个单起点最短路径问题实例，一顶点a作为起点。答：习题9.41.a对于下面的数据构造一套哈夫曼编码：b.用a中的编码对文本ABACABAD进行编码；c.对于编码为文本用a中的编码进行解码。答：a.习题12.13.用回溯法对下图求哈密顿回路问题。答：6.用回溯法生成1，2，3，4的所有排列。7.a.应用回溯法对“子集和”问题的下面实例求解：S=1，2，4，5，d=11.习题12.25.用分支限界算法对背包问题的以下实例求解。答: