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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第一卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合,为虚数单位,则复数A. B. C. D.2函数的定义域为A. B. C. D.3等比数列,.的第四项等于A. B.0 C.12 D.244总体有编号为01,02,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9
2、234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A.08 B.07 C.02 D.015 展开式中的常数项为A.80 B.-80 C.40 D.6若则的大小关系为A. B.C. D.7阅读如下程序框图，如果输出，那么在空白矩形框中应填入的语句为结束是否是否开始输出是奇数A. B. C. D.8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为，那么A.8 B.9 C.10 D.119. 过点引直线与曲线相交于、两点,为坐标原点，当的面积取最大值时,直线的斜率等于 A. B. C. D.10.如图，半径为1的半圆
3、O与等边三角形ABC夹在两平行线，之间/,与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于，两点，设弧的长为，若从平行移动到，则函数的图像大致是第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11.函数的最小正周期为为 。12. 设,为单位向量.且,的夹角为,若,则向量在方向上的射影为 _。13设函数在内可导，且，则 14.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则 三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分15（1）、（坐标系与参数方程选做题）设曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标
4、系，则曲线的极坐标方程为 （2）、（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为 四解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为，已知.（）求角B的大小；（）若，求的取值范围17. （本小题满分12分）正项数列an的前项和满足：（）求数列的通项公式；（）令，数列的前项和为。证明：对于任意的，都有18.（本小题满分12分） 小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队。游戏规则为：以O为起点，再从(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为.若就参加学校合唱团，否则就参加
5、学校排球队。（1） 求小波参加学校合唱团的概率；（2） 求的分布列和数学期望。19（本小题满分12分）如图，四棱锥中，连接并延长交于.(1) 求证：；(2) 求平面与平面的夹角的余弦值.20. (本小题满分13分) 如图，椭圆经过点离心率，直线的方程为.（1） 求椭圆的方程；（2） 是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为问：是否存在常数，使得？若存在求的值；若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分) 已知函数，为常数且.（）证明：函数的图像关于直线对称；（）若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点试确定的取值范围；（）对于（2）中的和， 设
6、x3为函数f（f（x）的最大值点，A（x1，f（f（x1），B（x2，f（f（x2），C（x3，0），记ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性.2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1.C 解析：由2.B 解析：由 3.A 解析：由或，当时，故舍去，所以当，则等比数列的前3项为，故第四项为。4.D 解析：本题考查随机抽样方法中随机数表的应用。依题意，第一次得到的两个数为65，将它去掉；第二次得到的两个数为72，由于，将它去掉；第三次得到的两个数字为08，由于，说明号码08在总体内，将它取出；继续向右读，依次可以
7、取出02，14，07，02；但由于02在前面已经选出，故需要继续选一个，再选一个数就是01，故选出来的第五个个体是01，故选答D。5.C 解析：展开式的通项为，令，故展开式的常数项为6.B 解析：，显然7.C 解析：由题意，当时，空白的判断框内的语句应使，选项A、B中，当时，都是，故排除；假设空白的判断框中的语句是C项中的，则第一次运行时，第二次运行时，第三次运行时 ，第四次运行时，此时不满足，故输出。满足题意。8.A 解析：直线CE在正方体的下底面内，与正方体的上底面平行；与正方体的左右两个侧面、前后两个侧面都相交，故；作CD的中点G，显然易证平面EFG的底边EG上的高线与正方体的前后两个侧
8、面平行，故直线EF一定与正方体的前后两个侧面相交；另外，直线EF显然与正方体的上下两个底面相交；综上，直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4，故，所以，选答案A。9. B 解析：本题考查三角形的面积，点到直线的距离公式，三角函数的最值，以及转化与化归的能力。因为的面积在时，取得最大值。设直线的斜率为，则直线的方程为，即，由题意，曲线的圆心到直线的距离为，所以（舍去），或，故选答案B10. D 解析：本题考查函数的图像、扇形弧长、三角函数，以及数形结合的数学思想。当逐渐增大时，也逐渐增大，故随的增大而增大，故排除B项。下面定性分析：当时，弧长所对的圆心角为，可求得向上移动的距离为，
9、故此时，又易知，故，因为，所以函数的图像是凹凸型，故选D。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11. 解析：，故最小正周期为 12. 解析：本题考查向量的投影，向量的数量积运算。向量在向量方向上的投影为13. 2 解析：本题考查导数的运算，函数解析式的求解，以及转化与化归的数学思想。由，故14. 6 解析：本题考醒抛物线与双曲线的简单性质，等边三角形的特征等。不妨设点在左方，的中点为，则易求得点。因为为等边三角形，所以由正切函数易知。三、选做题：本大题5分。15. （1） 解析：本题考查参数方程、直角坐标系方程和极从标的互化。由曲线C的参数方程为（为参数），得曲线C的直角坐标系方
10、程为，又由极坐标的定义得，即化简曲线C的极坐标方程为。（2） 解析：本题考查绝对值不等式的解法。结合绝对值的性质，得四、解答题：本大题共6小题，共75分。16. （本小题满分12分）解：（1）由已知得 即有 因为，所以，又，所以，又，所以。（2）由余弦定理，有。 因为，有。 又，于是有，即有。17.（本小题满分12分）（）解：由，得。由于是正项数列，所以。于是时，。综上，数列的通项。（）证明：由于。则。 。18.（本小题满分12分）解：（）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种，时，两向量夹角为直角共有8种情形；所以小波参加学校合唱团的概率为。 （）两向量数量积的所有可能取值为时，有两
11、种情形；时，有8种情形；时，有10种情形。所以的分布列为： 。19.（本大题满分12分）解：（）在中，因为是的中点，所以,故，因为,所以,从而有，故,又因为所以。又平面，所以故平面。（）以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，则,，故 设平面的法向量，则 ，解得，即。设平面的法向量，则，解得，即。从而平面与平面的夹角的余弦值为。20.（本大题满分13分）解：（）由在椭圆上得， 依题设知，则 代入解得。故椭圆的方程为。（）方法一：由题意可设的斜率为，则直线的方程为 代入椭圆方程并整理，得，设，则有 在方程中令得，的坐标为。从而。注意到共线，则有，即有。所以 代入得，又，所以。故存在常数符合题意。方法
12、二：设，则直线的方程为：，令，求得，从而直线的斜率为，联立 ，得，则直线的斜率为：，直线的斜率为：，所以，故存在常数符合题意。21.（本大题满分14分）（）证明：因为，有，所以函数的图像关于直线对称。（）法一：解：当时，有 所以只有一个解，又，故0不是二阶周期点。当时，有 所以有解集，又当时，故中的所有点都不是二阶周期点。当时，有 所以有四个解，又，故只有是的二阶周期点。综上所述，所求 的取值范围为。法二：设是的一个二阶周期点，由二阶周期点的定义可知，X2X1X1X2yx设，则， 也是的一个二阶周期点，且 。 如右图知在上递增，在上递减，不可能同时属于或。不妨设，则， ，（解唯一），。由 即为所求。（）由（2）得，因为为函数的最大值点，所以或。当时，。求导得：，所以当时，单调递增，当时单调递减；当时，求导得：，因，从而有，所以当时单调递增。
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