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1、1,第二章 卡方分布及正态总体方差的推断第一节 卡方分布,一、数学形式 1.定义 设随机变量X1，X2，Xk，相互独立，且都服从同一的正态分布N (，2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量Z1，Z2，Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方（2 ）。,我们把随机变量2 的概率分布称为2 分布，其概率密度记 作 。其中k为卡方分布的自由度，它表示定义式中独立变量的个数。,2、理解,卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布。 实质：以Z分数测量的变量，将其值平方并加总后形成的概率分布。（若干个Z变量的平方和） 自由度（ ）：Z变量的个数 卡方分布与Z分布关系：Z值=自由度为1的卡方值的平
2、方根 Z=2;1df,4,二、卡方分布的性质 （1）右偏性。 （2）渐近性。随着自度由的增加，图形渐趋对称。当自由度逐渐变大时，卡方分布会趋近于正态分布。 （3）恒正性。因为其值经过平方，所以卡方值都是正值，没有负值。 （4）自由性。卡方分布取决于自由度k，每一个可能的自由度对应一个具体的卡方分布。分布由正态分布导出，但它之所以与正态分布的参数和无关，是因为标准正态变量Z与原来的参数无关。卡方分布的期望值 是自由度k，方差为2k。 （5）可加性。,5,注意 写法的含义：它 表示自由度为k的卡方分布，当 其分布函数 时，其随机变量 2的临界值(参见图)。具体来说，在假设检验中，它表示在显著性水平
3、上卡方分布随机变量 2的临界值。,三、卡方分位点 关于卡方分布的分布函数，附表7对不同的自由度k及不同的临界概率(01)，给出了满足下面概率式的 （K） 的值(参见图)。,20.1;8=13.3620 20.05;8=15.5070 表示当一个卡方变量有8个自由度，卡方值超过13.3620的概率（）为0.1，超过15.5070的概率（）为0.05。,2分布分为点的求法,2分布分为点的求法： 对于n45的分为点可查表求得； 当n充分大（n45）时，近似地有 其中u为标准正态分布上的分为点,例2 已知k5，（5）15，求临界概率。,解 查卡方分布表，在表中自由度为5的横行中找到与15最接近的数值是
4、15086，得到的近似值为001。由此可知P（0.01；5）0.01,例3: 解:,9,第二节 正态总体的样本方差分布定理及其推断一、样本方差分布定理,定理内容：在正态总体中，所有可能样本的方差分布服从卡方分布。换句话说，正态总体中样本方差与总体方差之比服从卡方分布。 或 式中：2代表总体方差，自由度为nl。,例 由一正态总体抽出容量为25的一随机样本，已知26，求样本方差S 2在3.3到8.7之间的概率。,二、正态总体方差的区间估计 由2分布的性质，我们知道有 因此，对于给定的置信水平 1，总体方差的区间估计为, 例 研究者调查某社区居民家庭收入情况，现随机抽查了10户，得到样本方差为S200(元2)，试以90的置信水平估计居民总体家庭收入之方差的置信区间。,三、单正态总体方差的假设检验,例：某研究人员为了证实六级小学生智商的标准差是小于15的。从总体中随机抽取了30名学生，其结果有：平均智商x=105；样本方差：S2=196。问该研究人员的看法能否被证实（=0.01）？,
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