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1、第五章第五章 习题课习题课一一.主要内容主要内容二二.典型例题典型例题一、主要内容一、主要内容（一）向量代数（一）向量代数（二）空间解析几何（二）空间解析几何向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念（一）向量代数（一）向量代数直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何（二）空间解析几何二、典型例题二、典型例题例例1
2、 1解解共共面面且且，使使，求求一一单单位位向向量量，已已知知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 例例2 2解解.401284,0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为,0)4(5 zxzyx,04)1(5)1(zyx即即.1,5,1 n其法向量其法向量.8,4,1 n又又已已知知平平面面的的法法向向量量由题设知由题设知114cosn
3、nnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程为代回平面束方程为.012720 zyx例例3 3解解.1243:,12:)1,1,1(210LxzxyLxzxyLM都都相相交交的的直直线线且且与与两两直直线线求求过过点点 将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为 1t2z4t3ytx:L,1tzt2ytx:L22221111的的交交点点分分别别为为与与设设所所求求直直线线21,LLL).12,43,()1,2,(222111 tttBtttA和和,)1,1,1(0三三点点共共线线与与B
4、AM).(00为为实实数数故故 BMAM 即有即有,00对对应应坐坐标标成成比比例例于于是是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt,0,021 tt解之得解之得)3,2,2(),1,0,0(BA,)3,2,2()1,1,1(0上上同同在在直直线线和和点点LBM的的方方程程为为故故 L.211111 zyx例例4 4解解.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL的平面束方程为的平面束方程为过直线过直线 L,0)1()12(zyxzyx.0)1()1()1()2(zyx即即 L,014 即即41 故故,代
5、代入入平平面面束束方方程程将将.013 zyx得得所求投影直线方程为所求投影直线方程为.02013 zyxzyx,垂直于平面垂直于平面又又.0)1()1(2)1(1)2(例例5 5解解.,1101:求求旋旋转转曲曲面面的的方方程程轴轴旋旋转转一一周周绕绕直直线线zzyxL ),1(111zyM设设直直线线上上一一点点,11zy 有有位置位置到达到达旋转后旋转后),(),1(111zyxMzyM由于高度不变由于高度不变,1zz 有有,1不不因因旋旋转转而而改改变变轴轴的的距距离离到到和和又又rzMM2121yr 故故,22yx ,11yzz 由由于于故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为.12
6、22 zyx高等数学第六版同济大学下册空间解析几何与向量代数的习题1 例例 6 6：判断下列两直线：判断下列两直线 21111:1 zyxL,42311:2 zyxL,是否在同一平面上，在同是否在同一平面上，在同 一一 平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距 离离及及公公垂线垂线方程方程.异面异面与与不平行不平行与与解：解：2121212122112121LL,02431211111s)sMM(1,1,1MM,L)2,1,0(M,L)1,0,1(MLL,4,3,1s,2,1,1s 1,1,1s,2,2,2ss21 公公垂垂线线的的方方向向向向量量高
7、等数学第六版同济大学下册空间解析几何与向量代数的习题133sMMMMprjd02121s )6,2,1(p42z31y1x0y)1x(pL,0y)1x(0,3,3ssnL211 在在公公垂垂线线上上的的交交点点平平面面与与平平面面方方程程：量量与与公公垂垂线线的的平平面面法法线线向向过过16z12y11x 公垂线方程为：公垂线方程为：一、一、选择题：选择题：1 1、若、若a，b为共线的单位向量，则它们的数量积为共线的单位向量，则它们的数量积 ba （）.（A A）1 1；（B B）-1-1；（C C）0 0；（D D）),cos(ba.2 2、向向量量 ba与与二二向向量量a及及b的的位位置置
8、关关系系是是（）.（A A）共共面面；（B B）共共线线；（C C）垂垂直直；（D D）斜斜交交 .测测 验验 题题 3 3、设向量、设向量Q与三轴正向夹角依次为与三轴正向夹角依次为 ,，当，当 0cos 时，有时，有（）4 4、设设向向量量Q 与与三三轴轴正正向向夹夹角角依依次次为为 ,当当 1cos 时时有有（）面面面面面面面面；xozQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()(面面面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()(5 5、2)(（）（A A）22 ；（B B）222 ；（C C）22 ；（D D）222 .6 6、设平面方程为、设平面方
9、程为0 DCzBx，且，且0,DCB，则则 平面平面（）.（A A）轴轴平行于平行于 x；（B B）轴轴平行于平行于 y；（C C）轴轴经过经过 y；（D D）轴轴垂直于垂直于 y.7 7、设直线方程为、设直线方程为 00221111DyBDzCyBxA且且 0,221111 DBDCBA,则直线则直线（）.（A A）过原点；过原点；（B B）轴轴平平行行于于 z；（C C）轴轴垂直于垂直于 y；（D D）轴轴平行于平行于 x.8 8、曲曲面面052 xyzxyz与与直直线线351 yx 710 z的的交交点点是是（）.（A A）)4,1,2(,)3,2,1(；（B B）)3,2,1(；（C
10、C）)4,3,2(；（D D）.)4,1,2(9 9、已知球面经过、已知球面经过)1,3,0(且与且与xoy面交成圆周面交成圆周 01622zyx，则此球面的方程是，则此球面的方程是（）.（A A）0166222 zzyx；（B B）016222 zzyx；（C C）0166222 zzyx；（D D）0166222 zzyx.1 10 0、下下列列方方程程中中所所示示曲曲面面是是双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面的的是是 （）.（A A）1222 zyx；（B B）zyx422 ；（C C）14222 zyx；（D D）1169222 zyx.二、二、已知向量已知向量ba,的夹角等于的夹角等于3，
11、且，且5,2 ba，求，求)3()2(baba.三、三、求向量求向量4,3,4 a在向量在向量1,2,2 b上的投上的投影影.四、四、设平行四边形二边为向量设平行四边形二边为向量;1,3,1 a 3,1,2 b，求其面积，求其面积.五、五、已 知已 知,ba为 两 非 零 不 共 线 向 量，求 证：为 两 非 零 不 共 线 向 量，求 证：)()(baba)(2 ba.六、六、一动点与点一动点与点)0,0,1(M的距离是它到平面的距离是它到平面4 x的的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz面的交线面的交线方程方程.七、七、求直线求直线L：,85213 tz
12、tytx在三个坐标面上及平面在三个坐标面上及平面:083 zyx上的投影方程上的投影方程.八、八、求通过直线求通过直线223221 zyx且垂直于平面且垂直于平面0523 zyx的平面方程的平面方程.九、九、求点求点)3,4,1(并与下面两直线并与下面两直线1L：53142yxzyx，:2L tztytx23142都垂直的直都垂直的直线方程线方程.十、求通过三平面：十、求通过三平面：022 zyx，013 zyx和和03 zyx的交点，且平的交点，且平行于平面行于平面02 zyx的平面方程的平面方程.十一、十一、在平面在平面01 zyx内，求作一直线，使它通内，求作一直线，使它通过直线过直线
13、0201zxzy与平面的交点，且与已知直与平面的交点，且与已知直线垂直线垂直.十二、十二、判断下列两直线判断下列两直线 21111:1 zyxL,42311:2 zyxL,是否在同一平面上，在同是否在同一平面上，在同 一一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离离.测验题答案测验题答案一、一、1 1、D D；2 2、C C；3 3、C C；4 4、A A；5 5、B B；6 6、B B；7 7、C C；8 8、A A；9 9、D D；10 10、D.D.二、二、-103.-103.三、三、2.2.四、四、103.六、六、013322xzy.七、七、0213ztytx,tzytx8503,tztyx85210,0830261114zyxzyx.八、八、09138 zyx.九、九、tztytx3464121.十、十、042 zyx.十一、十一、01012zyxzyx.十二、直线十二、直线21LL 与与为异面直线为异面直线,33 d.
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