万有引力专题

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1、万有引力专题万有引力定律揭示了天然界中物体间广泛存在的一种差不多相互感化规律和行星活动 的本质缘故，同时把地上的活动和天上的活动同一路来。万有引力定律的具体应用有：发 明新的天体，测天体质量，运算天体密度，研究天体的活动规律等，同时也是现代空间技 巧的理论差不多。这一部分内容公式变更多，各类关系复杂，是高考的热点，也是进修的 难点。在复习过程中，要深刻明白得万有引力定律的内容和应用，重点是要弄清以下几个 问题。（一）不合公式和问题中的,含义不合万有引力定律公式F = Gmi m2中的,指的是两个质点间的距离，在实际问题傍边， r 2只有当两物体间的距离弘远年夜于物体本身的大年夜小时，定律才有用

2、，现在r指的是这 两个物体间的距离；定律也可有用于两个质量分布平均的球体之间，现在r指的是这两个_ m v 2球心的距离。而向心力公式F=中的r，关于椭圆轨道指的曲直率半径，关于圆轨r, , , 、，.、， .道指的是圆半径，开普勒第三定律k = k中的r指的是椭圆轨道的半长轴。可见，同一个 T 2r在不合公式中所具有的含义迥异。例1如图1所示，两个靠得专门近的恒星称为双星，这两颗星必须各以必定速度绕某一 中间迁移转变才不至于因万有引力而吸引在一路，已知双星的质量分别为mi和m2，相距 为l，万有引力常量为G，求：1 2（1）双星迁移转变的中间肠位；（2）迁移转变周期。图1解析：（1）设双星迁

3、移转变的中间肠位O距离m为r，与两恒星中间的距离l不合F | = F向 = m rQ 2 = m （l - r）w 2解得r = 一m一 lm + m（2）在求第二问时更应留意距离和半径的差别，对恒星m，由竺4 = mr（罢）2121 T得迁移转变周期为T = 2兀G （m + m ）例2飞船沿半径为R的圆周绕地球活动，其周期为T，假如飞船要返回地面，可在轨道 上某一点A处将速度降低到恰当数值，从而使飞船沿着以地心为核心的椭圆轨道运行，椭 圆与地球别处在B点相切，如图2所示，求飞船由A点活动到B点所须要的时刻。（已知 地球半径为R 0）图2解析：本题用开普勒第三定律求解比较简单，即所有行星轨道

4、的半长轴的三次方跟公 转周期的平方的比值都相等，关于在圆周轨道上运行的行星其轨道的半长轴应当是圆半径，R 3因此，当飞船在圆周上绕地球活动时，有L = k，当飞船进入椭圆轨道活动时，有T 2（R + R0）3M = k，由两式联立得飞船在椭圆轨道上活动的周期T= |（R：R0）3 T，故解得T 28R 3飞船由A活动到B点所需的时刻为t = 1?R：” T。28R 3（二）自转周期和公转周期的差别自转周期是天体绕自身某轴线迁移转变一周的时刻，公转周期是卫星绕某一中间做圆 周活动一周的时刻。这两个周期一样情形下并不相等，如地球自转周期为24小时，公转周 期为365天。但也有专门情形，如月球的自转

5、周期等于公转周期，因此它老是以雷同的一 面朝向地球。例3已知光从太阳射到地球需时刻t，地球同步卫星的高度为h，地球的公转周期为T， 自转周期为T。地球半径为R。试推导太阳和地球的质量的表达式。解析：设太阳质量为M1，地球质量为M2,地球同步卫星质量为m，则 地球绕太阳做圆周活动，设轨道半径为尸，则GM M2兀 T)2 r而r a ct（ c为光速）4兀 2(ct )34兀2 r 3因此M =i GT 2 GT 2地球同步卫星绕地球做圆周活动，则GM m人兀、2=m（）2 （R + h） （R + h）2T因此M24兀 2(R + h)3GT2（三）同步卫星和一样卫星的差别任何一颗地球卫星的轨道

6、平面都必须经由过程地心，由万有引力供给向心力，其高度、 速度、周期一一对应。地球同步卫星相关于地面静止，和地球自转具有雷同的周期，为24小时。它只能位于 赤道上方3.6 x 104km处，线速度为3.08km/s。一样卫星的轨道是随便率性的，周期、线速度能够比同步卫星的大年夜，也可比同步 卫星的小，线速度最大年夜值为v = 7.9km/s，最小周期大年夜约84min（近地卫星）。例4同步卫星离地心距离为r，运行速度为v 1，加快度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加快度为a2B.第一宇宙速度为v_,地球半径为日，则（）v R 1 = . - raR 2=ar 22C.D.v2ar解析：

7、同步卫星和赤道上的物体的角速度相等，据a = 2知=第一宇宙速aR度是卫星切近地面绕行时I的速度，即近地卫星的速度，近地卫星和同步卫星都知足v =，因此=.| ,一。本题谜底为A、DoV rv2本例涉及三个物体：同步卫星、近地卫星、地球赤道上的物体。同步卫星与地球赤道 上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期；近地卫星与地球赤道 上的物体的活动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星的活动半径；三者的线速度各不 雷同。本题谜底为A、Dor（四）稳固运行和变轨活动的差别GMm mv 2: GM卫星绕天体稳固运行时，由万有引力供给向心力=，得v =，由此r 2r r可知，轨道半径r越

8、大年夜，卫星的速度v越小。GMm mv 2当卫星因为某种缘故使速度v突然改变时，广卫一厂，运行轨道产生变更。若v突GMm mv2GMm mv2然变大年夜， V ，卫星做离心活动；若v突然变小， ，卫星做近r2rr2r心活动。：GM留意不克不及经由过程v=确信卫星若何变轨，因为变轨过程中卫星的速度改rGM变，然则待卫星再次达到稳固状况时，仍有v =、； 成立。r例5如图3，a、b、c是三颗在圆轨道上运行的卫星，则（）A. b、c的线速度大年夜小相等，且大年夜于a的线速度B. b、c的向心加快度大年夜小相等，且大年夜于a的向心加快度C. c加快可追上同一轨道上的b，b减速可等侯同一轨道上的cD.

9、a卫星因为某种缘故，轨道半径迟缓减小，则其线速度将变大年夜图3解析：b、c在同一轨道上运行，线速度大年夜小、加快度大年夜小均相等，又b、c 轨道半径大年夜于a轨道半径，由v = 知，v = v V v，故A错。rb c aGM由加快度a = 一厂知，ab = a。 a，故B错。当c加快时，它受到的万有引力Fcmv 2 ，卫星做近心活动，其轨道半径r减小，因为万有引力做r2rGMm mv2功，因而速度v越来越大年夜。反之，当时 V ，卫星做离心活动，其轨道半径r r2r增长，速度v越来越小。例9在半径为r的轨道上做匀速圆周活动的卫星，它所具有的机械能为E，动能为气， 因为一种缘故使它的速度突然增

10、大年夜，则当它从新稳固下来做匀速圆周活动时，有（）A. r增大年夜，E增大年夜，Ek增大年夜B. r增大年夜，E增大年夜，Ek减小C. r减小，E增大年夜，气减小D. r减小，E减小，Ek增大年夜解析：v增大年夜时，说明外界对其做正功，故它的机械能E增大年夜，卫星将表示 离心现象，轨道半径将增大年夜，万有引力做负功，动能减小，势能增大年夜，故应选B。点评：卫星的活动分为稳固和不稳固运行，当其所受的万有引力不刚好供给向心力时， 其速度和半径就要产生变更，引力要做功，这为不稳固运行；而当所受的引力刚好供给向 心力时，它运行的速度、轨道半径确信不变而做匀速圆周活动，这种状况称为稳固运行。GMm mv

11、2关于稳固运行，应从=入手，应用匀速圆周活动常识分析；关于不稳固运行的r2 r卫星问题（变轨问题）应从做功、能量转化的角度去分析处理。（十）同步卫星问题相对地面静止的卫星为地球同步卫星，又称通信卫星。同步卫星的周期为地球自转的3, GMT 2周期，即T = 24小时，其轨道必定在赤道平面内，高度h必定，h =， -R -4兀23.6 x 104km。因此同步卫星都位于同一轨道的不合地位上。例11用m表示地球通信卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地 球的半径，翕表示地球别处处的重力加快度，0表示地球自转角速度，则通信卫星所受 的地球对它的万有引力的大年夜小为（ ）mR 2 g

12、B,等于（R + h）20D.以上成果都纸谬GMmA.等于零C.等于呵R0 g0 0解析：通信卫星所受万有引力的大年夜小为F=-（R + h）20地球别处物体的重力能够认为等于万有引力，即mg 0GMmR 20GMR0mR 2 g由上两式解得F=%。明显B是精确的。（R + h）2GMm由(R0 + h)2=m切 2(R + h)，即 R + h =0003：GM可得F =mR 2 g00(R + h)20即C也精确。故本题精确的谜底是BC。点评：应用万有引力供给向心力和地球别处物体的重力约等于万有引力这两个全然思 路，是解决天体问题的关键。（一）卫星中的超重和掉重问题当卫星进入轨道前加快的过

13、程中，卫星上的物体（包含卫星本身）处于超重状况，此 情形与“起落机”中物体的超重雷同。当卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体处于 完全“掉重，状况（因为重力刚好供给向心力），是以，在卫星上的仪器，凡是制造道理 与重力有关的均不克不及正常应用。例12某一物体在地球别处时，由弹簧测力计测得重160N，把此物体放在航天器中，若 航天器以加快度1 = g （ g为地球别处的重力加快度）垂直地面上升，这时再用同一弹簧 测力计测得物体的重力为90N，忽视地球自转的阻碍，已知地球半径R，求此航天器距地 面的高度。解析：物体在地球别处时，重力为mg = 160N依照万有引力定律，在地面邻近有mg = R 2

14、在距地面某一高度h时，由牛顿定律得Fn - mg，= ma 依照万有引力定律，得mg = GMm （R + h）2由式并代入数据解得h = 3R。点评：人造卫星在轨道上运行时，处于完全掉重状况；人造卫星发射、收受接收时， 加快度均向上，处于超重状况。【仿照试题】1. 16世纪，哥白尼依照天文不雅测的大年夜量材料，经由40多年的天文不雅测和潜心研究，提出“日心说”的如下四个全然论点，这四个论点今朝看不存在缺点的是（）A. 宇宙的中间是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周活动B. 地球是绕太阳做匀速圆周活动的行星，月球是绕地球做匀速圆周活动的卫星，它绕 地球运转的同时还跟地球一路绕太阳活动C. 天空

15、不迁移转变，因为地球天天自西向东自转一周，造成天体天天东升西落的现象D. 与日地距离比拟，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大年夜得多2. 下列关于万有引力的说法，精确的有（）A. 物体落在地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力B. 万有引力定律是牛顿看到苹果落地而想到的C. 地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的差不多上地球的万有引力D. F = G 中的G是一个比例常数，是没有单位的 r 23. 假想人类开创月球，赓续把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经由长时刻开采后，地球仍可算作平均球体，月球仍旧沿开采前的圆周轨道活动，则与开采前比拟（）A. 地球与月球间的万有引力将不

16、变B. 地球与月球间的万有引力将变大年夜C. 月球绕地球活动的周期将变大年夜D. 月球绕地球活动的周期将变短4. 设行星绕恒星活动轨道为圆形，则由开普勒第三定律可知它活动的周期平方与轨道半T 2。径的三次方之比；-=K为常数，此常数的大年夜小（）R 3A. 只与恒星质量有关B. 与恒星质量和行星质量均有关C. 只与行星质量有关D. 与恒星质量和行星质量均无关5. 假如一个做匀速圆周活动的人造地球卫星的轨道半径增大年夜到本来的2倍，仍做匀速圆周活动，则（）A. 依照公式v=3r，可知卫星的线速度增大年夜到本来的2倍mv 21B. 依照公式F=，可知卫星所需的向心力减小到本来的入r2广 GMm1C

17、. 依照公式F = ，可知地球供给的向心力将减小到本来的;r 22还D. 依照上述B和A给出的公式，可知卫星的线速度将减小到本来的二厂6. 如图1所示，有A、B两颗行星绕同一恒星O做圆周活动，扭转偏向雷同，A行星的 周期为L，B行星的周期为T2,在某一时刻两行星第一次相遇（即两颗行星相距比来）， 则经由时刻匕=时两行星第二次相遇，经由时刻七=时两行星第一次相距 最远。A B皿图17. 当两个物体不克不及视作质点时，两物体之间的万有引力不克不及用公式直截了当运 算，但能够用下述方法运算：将两个物体各分成专门多质点，一个物体的每个质点与别的 一个物体的每个质点之间都存在万有引力，这些质点之间的万有

18、引力可用公式运算，所有 质点间万有引力的合力确实是这两个物体间的万有引力，现假想把一个质量为m的小球（可 看作质点）放到地球的中间，则此小球与地球之间的万有引力为 （已知地球质量 M，半径为R）。8. 宇宙飞船上的科研人员在摸索某星球时，完成了下面两个实验：当飞船逗留在距该 星球必定的距离时，正对着该星球发出一个激光脉冲，经时刻，后收到反射回来的旌旗灯号， 现在该星球直径与不雅察者的眼睛所对的角度为9 （如图2所示）。当飞船在该星球着 陆后，科研人员在距星球别处h高处以初速度v0程度抛出一小球，测出落地点到抛出点的程度距离为S。又已知万有引力常量为G,光速为C，星球的自转以及大年夜气对物体的阻力均可不计。试依照以上信息，求：（1）星球的半径R ；（2）星球的质量M；（3）星球的第一宇宙速度.。图2【试题谜底】1. D 2. CTT6. T - T27. 0 （提示:3. D 4. A 5. DTT22（T - T ）依照力的对称法可知，地球中随便率性关于地心对称的两部分对小球的万有引力正好为一对均衡力。）0ct - tan 8.（1）R =钗 （2）2（1 - tan 云hv2c212 -tan2 02M =102Gs 2（1 - tan-）20hct -tan 201 - tan 2