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1、2015年福建师大附中自主招生数学试卷一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）1（6分）函数y=的最大值是2（6分）已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3则直角三角形的面积是3（6分）方程x2+|x|12=0的所有实数根之和等于4（6分）一直角三角形的两直角边之比为2：3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段与较大的一段之比是5（6分）已知O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则BAC的度数是6（6分）如图，已知圆O的面积为3，AB为圆O的直径，AOC=80，BOD=20，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD的最小值是7（6分）已知实数a满足|2014a|+=a，那么
2、a20142+1的值是8（6分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sinEAB的值为9（6分）已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内的点P1、P2、P3、P2015在反比例函数y=的图象上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、x2015，纵坐标分别是1、3、5、，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、P2015分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）、Q2015（x2015，y2015），则P2015Q2015的长度是10（6分）已知方程组，则=11（6分）观察下列各式：=1
3、=1（1）；=1=1（）；=1=1（）；计算：+=12（6分）已知抛物线y=+bx经过点A（4，0）设点C（1，4），欲在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|ADCD|的值最大，则D点的坐标是13（6分）一列分数有规律地排列如下：，则第200个分数是二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）14（12分）若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围15（14分）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同（1）求每个甲种零件、每个
4、乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来16（23分）如图，OA和OB是O的半径，并且OAOBP是OA上任意一点，BP的延长线交O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ（1）求证：RQ是O的切线；（2）当RAOA时，试确定B的取值范围；（3）求证
5、：OB2=PBPQ+OP217（23分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在y轴的正半轴上，O为坐标原点现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为（0o45o）（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过的面积；（2）若线段AB与y轴的交点为M（如图2），线段BC与直线y=x的交点为N当=22.5时，求此时BMN内切圆的半径；（3）设MNB的周长为l，试判断在正方形OABC旋转的过程中l值是否发生变化，并说明理由2015年福建师大附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）1（6分）函数y=的最大值是【解答
6、】解：y=1x（1x）=x2x+1=（x）2+，有最小值，y=的最大值是=故答案为：2（6分）已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3则直角三角形的面积是7【解答】解：如图，ACB=90，CD是斜边上的中线，AB=2CD=6，AB+AC+BC=14，AC+BC=8，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=36，（AC+BC）22ACBC=36，ACBC=14，S=ACBC=7故答案为：73（6分）方程x2+|x|12=0的所有实数根之和等于0【解答】解：当x0时，方程为x2+x12=0，即（x3）（x+4）=0，解得：x=3或x=4（舍）；当x0时，方程为x2x12=0，即（x+3）（x4
7、）=0，解得：x=3或x=4（舍），则方程x2+|x|12=0的所有实数根之和等于为3+3=0，故答案为：04（6分）一直角三角形的两直角边之比为2：3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段与较大的一段之比是4：9【解答】解：如图所示，RtABC中，CDAB，AC2=ADAB，BC2=BDBA，又=，故答案为：4：95（6分）已知O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则BAC的度数是15或75【解答】解：分别作ODAB，OEAC，垂足分别是D、EOEAC，ODAB，根据垂径定理得AE=AC=，AD=AB=，sinAOE=，sinAOD=，根据特殊角的三角函数值可得AOE=60，AOD=45，BAO=45，CAO=9060=30，BAC=45+30=75，或BAC=4530=15
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