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1、,基于偏微分方程的图像处理方法,电子与信息工程学院 张芳 ,背景介绍 基于偏微分方程的图像滤波方法 基于偏微分方程的图像复原方法 基于偏微分方程的图像骨架线提取方法 基于偏微分方程的图像增强方法 基于偏微分方程的其它图像处理方法,汇报提纲,数字图像,像素的灰度值,引 言,基于偏微分方程的图像处理方法 ( Partial Differential Equations, 简称PDE ),定义 图像u 连续信号 图像处理操作F 偏微分算子 原始图像I 初始条件 结果图像u 方程的解,应用 图像滤波、图像修复、对比度增强、提取骨架线、 二值化、边缘检测、图像分割等。,一、背景介绍,从高斯平滑算子导出的
2、偏微分方程,偏微分方程 滤波模型的导出,从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,从高斯平滑算子导出的偏微分方程 热传导方程( Witkin ),不足：各向同性扩散方程。 在各个方向上同等扩散，滤波的同时破坏图像内容， 即图像边缘。,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程 变分图像去噪方法通过引入能量函数，将图像去噪问题转化成泛函求极值问题，即变分问题。变分法是研究泛函求极值问题的方法，它的主要步骤为： 第一步，从物理问题上建立泛函及其约束条件； 第二步，通过泛函变分，求得欧拉拉格朗日方程； 第三步，在边界条件下
3、求解，即求解微分方程。,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,建立泛函及约束条件,变分，求欧拉/拉格朗日方程,求解微分方程,从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,偏微分方程的去噪原理,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,控制平滑量 在图像特征多的区域应该尽可能地少平滑,改进,控制平滑方向 穿越图像特征方向的扩散量小,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,常用的偏微分方程去噪模型 由线性模型到非线性模型的发展,热传导方程（线性）,Perona和Malik,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,控制平滑量 在图像特征多的区域应该尽可能地少平滑,改进,控制平滑方向 穿越
4、图像特征方向的扩散量小,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,常用的偏微分方程去噪模型 由各向同性模型到各向异性模型的发展,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,偏微分方程的数值解法 对连续的微分方程进行离散差分求解,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,耦合偏微分方程,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,耦合偏微分方程,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,偏微分方程的图像处理方法的优点,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,此结果选自： 张亶，
5、陈刚，基于偏微分方程的图像处理， 北京：高等教育出版社，2004,图像复原，就是利用使获得的图像产生退化的先验知识，建立退化图像数学模型，然后沿着图像退化的逆过程加以重建和复原，以获得“清晰和干净”的图像。,三、基于偏微分方程的图像复原方法,假设函数u表示原始图像，这是未知的，是我们想找到的。用函数I表示描述与u相同场景的观测图像，它是退化的，已知的。二者之间的关系可简单表示为： I=Ku+n 其中K是影响图像失真的因子， n是加性噪声。图像恢复问题就是从已知图像I，得到恢复图像u。,偏微分方程图像复原方法的主要思想： 利用图像的已知信息来填充待修复区域内的已经丢失的或破损的信息，从而得到完整
6、的图像。而要填充未知区域的信息，就需要把待修复区域边界上的信息扩散到区域中去。这个过程可以借助偏微分方程的扩散来实现。,三、基于偏微分方程的图像复原方法,偏微分方程图像复原方法的主要思路： 根据图像修复的准则，建立数学模型，把图像修复问题抽象成为求解一个最优估计的问题，用Euler公式就得到一个偏微分方程。,三、基于偏微分方程的图像复原方法,基于热传导方程的图像修复方法：,D为待修复区域。,三、基于偏微分方程的图像复原方法,同时完成滤波和修复任务：,三、基于偏微分方程的图像复原方法,同时完成滤波和修复任务,三、基于偏微分方程的图像复原方法,同时完成滤波和修复任务,四、基于偏微分方程的骨架线提取
7、方法,传统算法流程 偏微分方程算法流程,求梯度,PDE演化,求奇点,基于偏微分方程的骨架线提取原理 偏微分方程骨架提取方法借助GVF(Gradient Vector Flow)思想，引入梯度场的概念，将图像边界看做封闭的，图像内部为一能量场，场的梯度在内外力的作用下在场内变化运动，当场的梯度达到最小时，其最小值处即为图像骨架。,四、基于偏微分方程的骨架线提取方法,求梯度,PDE演化,求奇点,GVF能量方程 初始条件 求方程的能量E最小化即为求图像的两个特征分量场的梯度模值的分别最小化，因此，整个算法主要思想即为寻找图像梯度模值最小的区域。,四、基于偏微分方程的骨架线提取方法,根据变分原理，解E
8、uler方程，得到： 根据梯度下降流得到偏微分方程： u和v的解通过迭代方程的离散数值解来完成。,四、基于偏微分方程的骨架线提取方法,结合简单图形进行分析,图1 原图,四、基于偏微分方程的骨架线提取方法,图2 初始梯度场,图3 调整后的梯度场,应用结果,四、基于偏微分方程的骨架线提取方法,直方图均衡化增强,原始图像,五、基于偏微分方程的图像增强方法,基于偏微分方程的直方图均衡化增强 ( Sapiro ) 其中 A代表面积（对于离散图像而言，它代表像素数目） 当演化方程达到稳定时，对于任意 且 ，有 即图像的直方图趋于均衡分布。,五、基于偏微分方程的图像增强方法,(a) 原始图像及其直方图,(b) PDE增强图像及其直方图,五、基于偏微分方程的图像增强方法,(a) 原始图像,(b) PDE同时增强和滤波后的图像,五、基于偏微分方程的图像增强方法,二值化 图像分割 边缘检测,六、基于偏微分方程的其它图像处理方法,谢谢！,
基于偏微分方程的图像处理方法.ppt
