奇偶分析知识讲解

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1、奇偶分析我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。 被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。前一类中的数叫做奇数，后一 类中的数叫做偶数。关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数工偶数，奇数个奇 数之和是奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理， 可以解决许多复杂而有趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析， 善于 运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。例1下表中有15个数，选出5个数，使它们的和等于30，你能做到吗？为什么？13 5791357913579分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。因为无论你选 择哪5个数，它们的和总不

2、等于 30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。最 简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出 5个使它们的和为偶数，是不可能的。 例2小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第 1面一直编到第192面）。小丽从该练习本中撕下其中 25张纸，并将写在它们 上面的50个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为2000?解：不能由于每一张上的两数之和都为奇数，而 25个奇数之和为奇数，故不可能为 2000。说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在 解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠

3、同学们多练习、多总结。 例3有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从 1到98各不相同。试问：能 否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子 号码数的和？并说明理由。解：不能如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号 码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这 98个数的总和为1+2+98=99X 49,是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。例4如右图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条 直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。解：不可能如果每条直线上的红圈数

4、都是奇数， 而五角星有五条边，奇数个奇数之和为 奇数，那么五条线上的红圈共有奇数个（包括重复的）。从另一个角度看，由于 每个圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都要计算两次，因此，每个红圈也都算 了两次，总个数应为偶数，得出矛盾。所以，不可能使得在同一条直线上的红圈 数都是奇数。说明：上述两题都是从两个不同的角度去分析处理同一个量， 而引出矛盾的。 例5 一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗 子，永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子， 每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有 多少成员？ ”张三答：“共有45人

5、。”另一个成员李四说：“张三是老实人。” 请判断李四是老实人还是骗子？分析与解：根据俱乐部的全体成员围坐一圈，每个老实人两旁都是骗子，每 个骗子两旁都是老实人的条件，可知俱乐部中的老实人与骗子的人数相等， 也就 是说俱乐部的全体成员总和是偶数。而张三说共有 45人是奇数，这说明张三是 骗子，而李四说张三是老实人，说了假话，所以李四也是骗子。说明：解答此题的关键在于根据题设条件导出老实人与骗子的人数相等，这里实质上利用了对应的思想。类似的问题是：围棋盘上有19X19个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间 地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点上放着白子（或黑子）。 问：能否把

6、黑子全移到原来的白子的位置上，而白子也全移到原来黑子的位置 上?提示：仿例6。答：不能。例6某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共 30道，评分标准是基础分 15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。问：所有参赛同学 得分总和是奇数还是偶数？解：对每个参赛同学来说，每题都答对共可得165分，是奇数。如答错一题， 就要从165分中减去6分，不管错几道，6的倍数都是偶数，165减去偶数，差 还是奇数。同样道理，如有一题不答，就要减去 4分，并且不管有几道题不答， 4的倍数都是偶数，因此，从总分中减去的仍是偶数，所以每个同学的得分为奇 数。而奇数个奇数之和仍为奇数，故 99名同学得分

7、总和一定是奇数。例7桌上放有77枚正面朝下的硬币，第1次翻动77枚，第2次翻动其中的76 枚，第3次翻动其中的75枚第77次翻动其中的1枚。按这样的方法翻动硬 币，能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上？说明你的理由。分析：对每一枚硬币来说，只要翻动奇数次，就可使原先朝下的一面朝上。 这一事实，对我们解决这个问题起着关键性作用。解：按规定的翻动，共翻动1+2+77=77X 39次，平均每枚硬币翻动了 39 次，这是奇数。因此，对每一枚硬币来说，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注 意到77 X 39=77+(76+1) + (75+2) + + (39+38),根据规定，可以设计如下的翻动方法：第1

8、次翻动77枚，可以将每枚硬币都翻动一次；第 2次与第77次共翻动 77枚，又可将每枚硬币都翻动一次；同理，第 3次与第76次，第4次与第75 次第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动一次。这样每枚硬币都翻动了 39次，都由正面朝下变为正面朝上。说明：(1)此题也可从简单情形入手(如 9枚硬币的情形)，按规定的翻 法翻动硬币，从中获得启发。(2)对有关正、反，开、关等实际问题通常可化为用奇偶数关系讨论。岖J昭1、什么叫奇数？什么叫偶数？2、奇数土奇数=()数 奇数土偶数=( )数 偶数土偶数=()数3、奇数X奇数=(1 . 1+2 + 3 + 4 + 2004的结果是奇数还是偶数?)数 奇数X偶

9、数=( )数偶数X偶数=()数2. 65个连续自然数相加，和是奇数还是偶数？3 .次宴会上，客人们相互握手，每两人之间都握一次手，问握手总次数是奇 数还是偶数？4 .老师拿出10张卡片，上面分别写着2、4、6、8、10、12、14、16、18、20十个数，要求大家很快地从中找出 3张卡片，使3张卡片上数字的和是23,你 能做到吗？为什么？5.有3只杯子全部口朝下盖在桌上，每次翻动其中两只，能不能经过若干次翻动后，使杯口全部朝上？6 “六一”节这天，海安实小五年级学生参加智力竞赛，竞赛题共20道。评分标准是：基础分15分，答对一道加5分，不答加1分，答错一道倒扣1分。 如果有101名同学参加竞赛

10、，则所有参赛同学所得分数是奇数还是偶数？7免子繁殖率很高，按月繁殖的只数可以排成一串数列，它的规律是：头两个 数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是 1、1、2、3、 5、8 13、21、，这叫兔子数列，想一想，这串数的前 30个数中有多少个 奇数？2. ()选择第一部分必做题中间一个数是 a，其余两个数是（）和（）奇数+奇数+奇数=()奇数偶数奇数+偶数+偶数二()奇数偶数奇数X偶数偶数二()奇数偶数偶数X偶数偶数二()奇数偶数 m为整数，2计1是（奇数偶数）;6m 3是（）；8m6 是（）。 从1开始算起24个连续偶数的和是（），24个连续奇数的和是（）一定是奇数一定是

11、偶数可能是奇数也可能是偶数3. （） 一本作业本120张纸，依次将它的每一张编号。（从第一页一直编到 第240页）从这本作业本上撕下20张，并将每一张的页码相加，加得的和 可能是1997吗？4. （） 一个数分别与另外两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少?5. ()有一列数：1、3、4、7、11、18、29这列数排列的规律是第三个数开始，每个数都是前两个数的和，问在前 50 个数中，有多少个奇数？6. 有5个杯子全部口朝上放在桌上，每次翻动其中四个，能不能经过若干次翻 动后，使杯口全部朝下？7. ()有10只杯子全部口朝下放在盘子里，你能否每次翻动 4只杯子，经 过若干次翻动

12、后将杯子全部翻成口朝上？第二部分 选做题8. ()车棚里有自行车和三轮车，如果车子数和轮子数都是奇数， 那么自行车和三轮车的辆数是奇数还是偶数？9. ()某班同学参加数学竞赛，每张试卷上有试题 50道。评分方法是：答对一道给 3 分，不答给 1 分，答错倒扣 1 分。请说明该班同学得分的总和一定是 偶数？10（ ）礼堂里有 10 盏电灯，每盏灯由一根灯绳控制，拉一下亮，再拉一 下熄。 10 个学生依次进入礼堂，第 1个学生把 1的倍数的灯绳拉一下，灯全亮 了，第二个学生把2的倍数的灯绳拉一下，第3个把3的倍数的灯绳拉一下 第 10 个学生把 10 的倍数的灯绳拉一下。最后，礼堂里哪些灯是亮的？

13、11（ ）少年宫艺术班共有 25 名同学，教室座位恰好排成 5 行，每行 5 个 座位，把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位。问：让这 25 个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？12（ ）在黑板上写（ 2， 4， 6）3 个数，把其中的任一个封掉后，改写成 其余两数的和减 1，得（ 2， 4， 5），再擦掉中间的 4，得（2， 6， 5），最后擦掉 2，得（ 10， 4， 5）。重复上述过程，是否能得到（ 1999， 351， 643）？13. （）线段AB的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色，在此线段中 任意插入 93 个分点，每个分点随意涂上红色或蓝色， 这样分得 94 条不重叠的小 线段。如果把两端涂色不同的线段叫做标准线段。 问：标准线段的条数是奇数还 是偶数？