导数的应用练出高分

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1、3.3导数的应用(二)练出高分A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)、选择题(每小题5分，共20分)已知函数f(x) = x3+ ax2 + (a + 6)x+ 1有极大值和极小值，则实数 a的取值范围是(A . ( 1,2)B . ( g, 3) U (6 ,+s )C. ( 3,6)答案 BD . ( g, 1) U (2 ,+g )解析 I f (x) = 3x2 + 2ax+ (a+ 6),由已知可得f (x)= 0有两个不相等的实根.= 4a? 4 x 3(a + 6)0，即卩 a? 3a 180.-a6 或 a 2 2B. m 2 2C. m0, f(X)=空一,令 g(

2、x) = 2x2 + mx + 1, x (0, + g),当字0时，g(0) = 10恒成立，” 0成立,当一m0 时，贝U = m2- 8W 0,.一 2 2 w m0,综上，m的取值范围是m一2 2.4. 某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已400x -x2（0400 ,润最大时，每年生产的产品是（）A. 100B. 150C. 200D . 300答案 D解析由题意得，总成本函数为C= C(x) = 20 000 + 100x,300x- x 20 000(0w xw 400 ,总利润P(x)=260 000 - 100xx400 ,30

3、0 - x (0w xw 400 ,又 P (x)= c -100(x400 ,令P (x)= 0，得x= 300,易知x = 300时，总利润 P(x)最大.二、填空题(每小题5分，共15分)5. 设P为曲线C： y= x2-x + 1上一点，曲线 C在点P处的切线的斜率的范围是1,3,则点P纵坐标的取值范围是.答案号，3 1解析 设 P(a, a2- a + 1),贝U y |x= a= 2a-1 - 1,3,0 w a w 2.而 g(a) = a2 a + 1 = ? 2 + 4，13当 a= 时，g(a)min = 4.当 a= 2 时，g(a)max= 3,故P点纵坐标的取值范围是

4、3 3 I.6 .在直径为 d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为（强度与bh2成正比，其中h为矩形的长,b为矩形的宽）.k,强度为 3,贝U 3= kbh2,答案解析 截面如图所示，设抗弯强度系数为又 h2= d2- b2,3= kb(d2- b2) = - kb3+ kd2b,223 =- 3kb + kd ,令 3 = 0,得 b2= d3-,3二 b = #d 或 b = -3-6(舍去). h = d2 b2=36d.7. 已知函数 f(x) = x3 + ax2 4 在 x= 2 处取得极值，若 m、n 1,1，贝V f(m) + f (n)的最小值是.答案

5、 -13解析 对函数f(x)求导得f (x) = 3x2 + 2ax,由函数f(x)在x= 2处取得极值知f (2) = 0,即一3X 4 + 2aX 2 = 0, - a = 3.由此可得 f(x) = x3+ 3x2 4, f (x)= 3x2 + 6x,易知f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当 m 1,1时,f(m)min = f(0) = 4.又 f (x)= 3x2+ 6x的图象开口向下，且对称轴为x= 1, 当n 1,1时，f (n )min = f( 1) = 9.故f(m) + f (n)的最小值为13.三、解答题洪22分)328. (10 分)设函数 f

6、(x) = ax 3x(a R)，且 x = 2 是 y= f(x)的极值点.(1) 求实数a的值，并求函数的单调区间；(2) 求函数g (x)= ex (x)的单调区间.解 (1)f (x) = 3ax2 6x= 3x(ax 2),因为 x= 2 是函数 y= f(x)的极值点，所以 f (2) = 0, 即 6(2a 2) = 0,因此a= 1.经验证，当a = 1时，x= 2是函数y= f(x)的极值点.所以 f (x) = 3x2 6x= 3x(x 2).所以y= f(x)的单调增区间是(一a, 0), (2, +);单调减区间是(0,2).(2)g(x)= ex(x3 3灼,g (x

7、)= ex(x3 3/+ 3/ 6x)=ex(x3 6x)= x(x+ ,6)(x . 6)ex,因为e 0，所以y= g(x)的单调增区间是(一 .：6, 0), (. 6,+ m);单调减区间是(一m, 6), (0, .6).9. (12分)某汽运集团公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价为13万 元/辆，年销售量为5万辆.本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售.设本年度成本价比上年度降低了x (0x5 X (13 10).解得 0x51.(2)本年度年利润为W(x) = 13(1 0.9x) 10(1 x) X 2 011 - x2+ 54x+

8、 289=2 01117 3119 21792110x 20 x + 5x+ 289 .W (x) = 2 011 衣-為+ 17 .1令 Wz (x)= 0，解得 X1 = 3，X2= 2.又 0x1 ,3所以函数w（x）在q, 3上为增函数，在3，1 上为减函数.11、故当x= 1时，W（x）取得最大值，即当x = 3时，本年度的年利润最大.33B组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）、选择题（每小题5分，共15分）n上的值域为1 x函数 f(x) = ?e (sin x+ cos x)在区间 0,A.C. 1 , ejD. (1, en答案 A/ 1 1解析f (x) = ?ex

9、(sin x + cos x) + ex(cos x sin x)x=e cos x,当0w x0,且只有在x= n时，f (x) = 0,二f(x)是0, n上的增函数， f(x)的最大值为f 2 =芬扌,1f(x)的最小值为f(o)=2. f(x)在 0,2. 若函数f(x) = xda (a0)在1 , +m )上的最大值为 挣，则a的值为(3代亏B. 3 C/.3 + 1 D. .3- 1答案D解析2 2 2x + a-2xa-xT (x)22 22,(X2 + a)(x2+ a 2，当x a时，fz (x)0 , f(x)单调递减， 当一.ax0, f(x)单调递增,当 x= .a时

10、，令 f(x)=a = 230 时，f (x)0 , g (x)0, 则当x0, g (x)0B . f (x)0, g (x)0C. f (x)0D. f (x)0, g (x)0 时，f (x)0, g (x)0,由奇、偶函数的性质知，当x0 , g (x)0),axaxax1函数f(x)在1 ,+8)上为增函数， f (x)= 厂 0对x 1 ,+s )恒成立， ax- ax11 0 对 x 1 ,+s)恒成立，即 a -对 x 1 ,+s )恒成立， a 1.X25 .已知函数 f(x) = x (x a).若f(x)在(2,3)上单调，则实数 a的取值范围是 ;若f(x)在(2,3)

11、上不单调，则实数 a的取值范围是 .答案(汽 3 U |,+s )(3, I 解析 f (x)= 3x2 2ax，若 f (x)在 (2,3)上单调，则f (x) 0或f (x)w 0在(2,3)上恒成立，3 a ?x.- x (2,3), aw 3 或 a|.然后6. 用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形,把四边翻转90角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为 .答案 128 000 cm3解析设水箱底边长为x cm,贝U水箱高 h= 60 x J cm.322 x水箱容积 V = V(x)= x h = 60x 5(0x0.(1)解由题意得 f (x)

12、= 12x2 2a.当aw 0时，f (x) 0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(8,+).当 a0 时，f (x)= 12 x a x+ 6，此时函数f(x)的单调递增区间为单调递减区间为证明由于Owx 4x 4x+ 2.当a2时，f(x) + |2 a|= 4x + 2a(1 x) 2 4x + 4(1 x) 2 =4x3 4x+ 2.设 g(x) = 2x3 2x+ 1,0w xw 1,则 g (x) = 6x2 2= 6 x 于 x+于, 于是g (x), g(x)随x的变化情况如下表:x0(0坞3曾1)1g (x)0+g(x)1减极小值增1所以，g(x)min = g = 1 4930.所以，当 OW xW 1 时，2x3 2x+ 10.故 f(x)+ |2 a|4x3 4x+ 20.登陆wwMzxstkw一com免费聡听名肺细讲本題14：