相似矩阵及二次型.ppt

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1、1,第五章,相似矩阵及二次型,5.4 对称矩阵的对角化,5.3 相似矩阵,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.1 向量的内积、长度及正交性,5.5 二次型及其标准形,5.6 用配方法化二次型成标准形,5.7 正定二次型,2,n 维向量空间是三维向量空间的直接推广, 但是只定义了线性运算, 而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维空间丰富的内容.,5.1 向量的内积、长度及正交性,引言,我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中.,在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积),建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积,3,内积,一、内积的定义及性质,定义,4,性质,著名的

2、Cauchy-Schwarz不等式,即,5,二、向量的长度及性质,定义,性质,(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证,见P114),6,单位向量,夹角.,三、单位向量和 n 维向量间的夹角,正交,7,四、正交向量组,定义,若一个不含零向量的向量组 中的向量两两正交 ，则称该向量组为正交向量组又如果这些向量都是单位向量 ,则称该向量组为规范正交向量组. 若该向量组是一个向量空间 V 的基, 又分别称为向量空间 V 的正交基和规范正交基.,8,正交向量组必线性无关.,9,求得基础解系(即为所求)为,10,(例1的一般化, 也称正交基的扩张定理),设 是 中的一个正交向量组, ,证明必

3、可找到 个向量 使 构成 的正交基.,记,必有非零解.,其任一非零解即为所求的,11,五、施密特正交化过程,找与 等价的正交向量组,12,以三个向量 为例, 从几何直观上去求.,上式两边与 做内积, 注意 得,从而,13,我们已求得 已正交, 再求构造,(1)式两边与 内积, 注意,得,(1)式两边再与 内积, 类似可得,从而,14,设 线性无关,令,则 两两正交, 且与 等价.,15,两两正交, 可用数学归纳法严格证明.,与 等价, 这是因为(只需看三个),16,求 的一个规范正交基, 并求向量,解 易知 线性无关, 用施密特正交化方法,再单位化,在该规范正交基下的坐标.,17,当建立规范正

4、交基(相当于标准直角坐标系)后, 求一个向量的坐标就特别方便,两边分别与 内积,(这里就不具体计算了),18,六、正交矩阵,A 是正交矩阵,19,记,证 (只证第三条),20,性质,(1) A是正交矩阵，则 和 都是正交矩阵；,(2) A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；,(3) A是正交矩阵，则 ；,(4) P是正交矩阵，则 ，,即正交变换保持向量的长度不变。,21,第五章,相似矩阵及二次型,5.4 对称矩阵的对角化,5.3 相似矩阵,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.1 向量的内积、长度及正交性,5.5 二次型及其标准形,5.6 用配方法化二次型成标准形,5.7 正定二次型,22,5

5、.2 方阵的特征值与特征向量,引言,如果存在可逆矩阵 P 使(1)式成立, 此时称方阵 A 是可(相似)对角化的.,满足上式的 称为 A 的特征值, 称为 A 的对应于特征值 的特征向量.,23,把(1)改写为,24,(注：第一章已求得 ， ),称为 A 的特征多项式，而 称为 A 的特征方程。,由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根(重根按重数计算)。因此，n 阶方阵在复数范围恰有 n 个特征值。,本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内进行。,25,性质,又,26,求矩阵 的特征值.,两个特征值为,问: 特征向量是实的还是复的?,27,求 A 的特征值.,因此, n 个

6、特征值为,问：对角矩阵，下三角矩阵的特征值为？,28,求矩阵 A，B 的特征值和特征向量。,解 （对矩阵A）,29,A 的特征值为,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令 ，得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,30,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令,得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,31,（对矩阵B）,B 的特征值为,32,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令 ，得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,33,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令 ，得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,34,回答问题：,(1) 向量 满足 ,是 A 的特征向

7、量吗？,(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗?,(3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值_。,，A 有一个特征值为_。,(4) ，A 有一个特征值为_。,可逆, A 的特征值一定不等于_。,35,(6) 一个特征值对应于几个特征向量?,一个特征向量对应几个特征值?(后面证明),(7) A 的各行元素之和均等于2,则 A 有一个特征值,是_, 它对应的特征向量是_。,(5) A 的特征值与 的特征值有什么关系？,特征向量的个数=_。,是 的一个特征值，它对应的最大无关的,36,证明：一个特征向量只能对应一个特征值。,证 假设 A 的特征值 和 对应的特征向量都是,则,37,设 是方

8、阵 A 的特征值，对应的一个特征向量,证明,(1) 是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为 x。,(2) 是 的特征值，对应的特征向量仍为 x。,(3) 当 A 可逆时， 是 的特征值，对应的,特征向量仍为 x。,证,38,推广：,设 是方阵 A 的特征值，,则 是 的特征值。,的特征值。,是,是,39,设3阶矩阵A的三个特征值为,求,解 A的特征值全不为零，故A可逆。,的三个特征值为,计算得,因此，,40,证明A的特征值只能取1或2.,设 是A的特征值，则,的特征值为,由于 是零矩阵，其特征值全是零，故,证,41,第五章,相似矩阵及二次型,5.4 对称矩阵的对角化,5.3 相似矩阵,5.2

9、方阵的特征值与特征向量,5.1 向量的内积、长度及正交性,5.5 二次型及其标准形,5.6 用配方法化二次型成标准形,5.7 正定二次型,42,5.3 相似矩阵,设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使,则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算 称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。,定义,特别地，如果A与对角矩阵相似，则称A是可对角化的。,43,性质,(1) 相似关系是一种等价关系; (2) A与B相似, 则r(A)=r(B); (3) A与B相似, 则 ; 从而A与B有相同的特征值; (4) A与B相似, 则 ; (5) A与B相似, 则 ; (6)

10、A与B相似, 则 与 相似; 其中 (7) A与B相似, 且A可逆, 则 与 相似。,44,求x与y和A的特征值。,求a与b。,解 (1),A的特征值等于B的特征值为：,45,(2),46,下面讨论对角化的问题,这说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。,n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。,47,不同特征值对应的线性无关的特征向量 合并以后仍是线性无关的。,即设 是矩阵A的不同的特征值，,又设 对应的无关特征向量为,对应的无关特征向量为,对应的无关特

11、征向量为,则,仍是线性无关的。,48,上式两边左乘 A 得,再由 线性无关得,类似可得,由假设 得,49,50,(续第2节例3, 首先看矩阵A),第1步 求特征值,第2步 求线性无关的特征向量，,即求 的基础解系,51,第3步 如有n个线性无关的特征向量,把它们拼成矩阵P(P可逆),令,第4步 写出对角化形式,则,问： 如果,对吗？,52,(这是二重根，但只有一个线性无关的特征向量),对于矩阵B 不存在三个线性无关的特征向量。因为对B的任何一个特征向量 , 要么是属于 的, 此时与 相关；要么是属于 的, 此时与 相关。,因此，B是不可对角化的。,(再看矩阵B),53,设 的所有不同的特征值为

12、,则,注： 就是 的重根数，称之为 的(代数)重数， 就是 对应的最大无关特征向量的个数，称之为 的几何重数。,该定理说明：任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个，至多不会超过它的重数。如果是单重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。,54,证 (参考),设 对应的最大无关特征向量为,把上面特征向量扩充为 n 个线性无关的向量。,则 可逆。,55,n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。,即： 设,互不同，此时,则 A可对角化的充要条件是,亦即： 的重数 恰好等于它对应的最大无关特征,向量的个数。,简称:几重特征值有几个特征向量.,56,证 (充分性)

13、 设,个，它们仍是线性无关的，故可角化。,把每个 对应的最大无关特征向量合并后，共有,(必要性) 设A可对角化,57,58,问 x 为何值时，A 可对角化？,是单重根，恰有一特征向量(不需讨论)。,是二重根，A可对角化,59,提示：A 可对角化,60,第五章,相似矩阵及二次型,5.4 对称矩阵的对角化,5.3 相似矩阵,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.1 向量的内积、长度及正交性,5.5 二次型及其标准形,5.6 用配方法化二次型成标准形,5.7 正定二次型,61,5.4 (实)对称矩阵的对角化,62,63,把对称矩阵,正交对角化。,第1步:求特征值。,(特征值必都是实数),64,第2步:

14、求线性无关的特征向量。,对 ，解方程组,求得基础解系(即无关特征向量，几个向量？),65,对 ，解方程组,求得基础解系(即无关特征向量，几个向量？),前面的,66,第3步:检验重特征值对应的特征向量是否正交， 如果不正交，用施密特过程正交化，再把 正交的特征向量单位化。,67,第4步:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。,单位化：,则,令,68,提示：设对应于 的无关特征向量为,的两个无关的解(基础解系)，因此，上面方程组的,任意两个无关的解都是对应于 的特征向量。,解(1)可求得 再正交化单位化构成正交矩阵Q,69,第五章,相似矩阵及二次型,5.4 对称矩阵的对角化,5.3 相似矩阵,5.

15、2 方阵的特征值与特征向量,5.1 向量的内积、长度及正交性,5.5 二次型及其标准形,5.6 用配方法化二次型成标准形,5.7 正定二次型,70,5.5 二次型其次标准形,引言,判别下面方程的几何图形是什么？,作旋转变换,代入(1)左边，化为：,见下图,71,72,称为n维(或n元)的二次型.,定义,含有n个变量 的二次齐次函数,三维的二次型为,再改写：,关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！,73,74,一般地，对于n维的二次型,上式称为二次型的矩阵表示。也常记为,75,任给一个对称矩阵A，令 可唯一地 确定一个二次型,因为, 设 xTAx = xTBx (A,B都是对称矩阵), 即(

16、以三维为例),令 类似,令,类似,76,对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;,f 叫做对称矩阵A的二次型;,对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.记作r(f).,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,这说明：,77,写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。,解,问： 在二次型 中,如不限制 A对称, A唯一吗?,78,定义,只含平方项的二次型,称为二次型的标准形(或法式)。,平方项系数只在 中取值的标准形,79,对给定的二次型,找可逆的线性变换(坐标变换)：,代入(1)式，使之成为标准形,称上面过程为化二次型为标准形。,80,(其中D为对角矩阵),注意到 与D都是对称矩阵，而二次

17、型与对称矩阵是一一对应关系，故“化二次型为标准形”又等价于,对给定的对称矩阵A，找可逆矩阵C，使,问：这件事情能够做到吗？以前学过吗？,81,82,用正交变换化二次型为标准形的步骤,83,解,化为标准形。,求A的特征值,求二次型的矩阵,84,求A的规范正交的特征向量,单位化,85,得正交的基础解系,单位化,求正交变换矩阵,86,写出二次型的标准形,用正交变换 ，二次型 f 化为标准形为,87,解,二次型的矩阵为,由题意,由相似矩阵的性质得 ，从而,88,解得,A与D有相同的特征值，分别为,求得它们对应的特征向量(正交)为,再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵,89,定义,设A和B是n阶矩阵

18、，若有可逆矩阵C，使,则称A与B合同.,性质,(1) 合同关系是一种等价关系； (2) A与B合同, 则 r(A) = r(B); (3) A与B合同, A对称, 则B对称.,二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同 变换为对角矩阵。,在n阶对称矩阵集合中，矩阵的合同等价相当 于二次型可以互化(也称二次型等价)。,90,定理,二次型必可化为规范形。,证 设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为:,(思考为什么一定可化为上面形式？),再做一次可逆的线性变换,则 f 化为,思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？,91,思考并回

19、答,(1) 二次型的标准形唯一吗？,(2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？,(3) 设CTAC = D (C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？,(4) 设4阶对称矩阵A的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二次型的规范形是什么？,92,第五章,相似矩阵及二次型,5.4 对称矩阵的对角化,5.3 相似矩阵,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.1 向量的内积、长度及正交性,5.5 二次型及其标准形,5.6 用配方法化二次型成标准形,5.7 正定二次型,93,5.6 用配方法化二次型成标准形,配方法的

20、步骤,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形;,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,94,例1,95,96,所用变换矩阵为,97,例2,由于所给二次型中无平方项,98,再配方，得,99,所用变换矩阵为,100,思考题(下面做法对吗？),得标准形为,101,第五章,相似矩阵及二次型,5.4 对称矩阵的对角化,5.3 相似矩阵,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.1 向量的内积、长度及正交性,5.5 二次型及其标准形,5.

21、6 用配方法化二次型成标准形,5.7 正定二次型,102,5.7 正定二次型,本节讨论二次型的分类问题. 重点是正定二次型.,在n维的二次型中, 如果两个二次型 xTAx 和 yTBy 可以互化，即,则称这两个二次型等价。这相当于,即在n阶对称矩阵中A与B合同等价。,我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩 阵的合同等价类。,103,什么条件决定两个二次型等价？,我们知道, 等价的二次型有相同的秩, 也就是标准形中平方项个数相等. 但秩相等的两个二次型不一定等价.,例如 与 不可能等价.,因为不存在可逆矩阵 C 满足,因为,104,在二次型的标准形中，正项个数与负项个数 保持不变。或者说二次

22、型的规范形是唯一。,二次型的标准形中正项个数称为二次型的 正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数.,设二次型 f 的秩为 r , 正惯性指数为 p , 则 负惯性指为 r p . f 的规范形为,惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩 和正惯性指数唯一确定。,105,如果 n 维的二次型 f(x) = xTAx 其标准形系数全为正，则称之为正定二次型，二次型的矩阵 A 称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵。,定义,正定二次型为,正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。,显然，如果 f 负定，则 f 正定，以后只需

23、讨论正定二次型(正定矩阵)。,106,二次型 f(x) = xTAx 正定的充要条件是对任意x0，都有 f(x) = xTAx 0. (注：书上以后者为定义),必要性：设 f 正定，即,对任意x0，则 ，故,充分性：反证。如果有某个 ，取, 与 矛盾。,107,对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即,负定矩阵的充要条件是？,108,判别二次型,是否正定.,它的各阶顺序主子式,故上述二次型是正定的.,f 的矩阵为,解,109,解,判别二次型,是否正定.,二次型的矩阵为,即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.,求得其特征值,110,判别二次型,的正定性.,解,二次型的矩阵,它的各阶顺序主子式,A是负定矩阵，二次型是负定二次型。,或者，判别 为正定.,111,与矩阵 合同的矩阵是( ),A特征值是两正一负。,112,设 是正定矩阵, 证明,(以前的思考题),113,证明 ATA 为正定矩阵的充要条件是 A 为,列满秩矩阵.,114,