2020年高考文数真题试卷（新课标Ⅲ)【含答案】

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1、2020年高考文数真题试卷（新课标)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共57分）1.已知集合 A=1，2，3，5，7，11 ， B=x|3x0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为（ ） A.（ 14 ，0）B.（ 12 ，0）C.（1，0）D.（2，0）8.点(0，1)到直线 y=k(x+1) 距离的最大值为（ ） A.1B.2C.3D.29.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A.6+4 2B.4+4 2C.6+2 3D.4+2 310.设a=log32，b=log53，c= 23 ，则

2、（ ） A.acbB.abcC.bcaD.ca0，b0)的一条渐近线为y= 2 x，则C的离心率为_ 15.设函数 f(x)=exx+a 若 f(1)=e4 ，则a=_ 16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_ 三、解答题（共5题；共60分）17.设等比数列an满足 a1+a2=4 ， a3a1=8 （1）求an的通项公式； （2）记 Sn 为数列log3an的前n项和若 Sm+Sm+1=Sm+3 ，求m 18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次空气质量等级0，200(20

3、0，400(400，6001（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次400人次400空气质量好空气质量不好附： K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b

4、+d) ，P(K2k)0.050 0.010 0.001k3.8416.63510.82819.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，点E，F分别在棱 DD1 ， BB1 上，且 2DE=ED1 ， BF=2FB1 证明： （1）当 AB=BC 时， EFAC ； （2）点 C1 在平面 AEF 内 20.已知函数 f(x)=x3kx+k2 （1）讨论 f(x) 的单调性； （2）若 f(x) 有三个零点，求k的取值范围 21.已知椭圆 C:x225+y2m2=1(0m5) 的离心率为 154 ，A，B分别为C的左、右顶点 （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线 x=6 上

5、，且 |BP|=|BQ| ， BPBQ ，求 APQ 的面积 四、选修4-4：坐标系与参数方程（共1题；共10分）22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x=2tt2，y=23t+t2 (t为参数且t1)，C与坐标轴交于A，B两点. （1）求| AB |： （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程. 五、选修4-5：不等式选讲（共1题；共10分）23.设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1 （1）证明：ab+bc+ca0) ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则： A(a,0),B(a,0) ，设 C(x,y) ，可得： AC

6、=(x+a,y),BC=(xa,y) ，从而： ACBC=(x+a)(xa)+y2 ，结合题意可得： (x+a)(xa)+y2=1 ，整理可得： x2+y2=a2+1 ，即点C的轨迹是以AB中点为圆心， a2+1 为半径的圆.故A.【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.7. B 【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质 因为直线 x=2 与抛物线 y2=2px(p0) 交于 C,D 两点，且 ODOE ， 根据抛物线的对称性可以确定 DOx=COx=4 ，所以 C(2,2) ，代入抛物线方程 4=4p ，求得 p=1 ，所以其焦点坐标为 (12,0) ，故B

7、.【分析】根据题中所给的条件 ODOE ，结合抛物线的对称性，可知 COx=COx=4 ，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得P的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.8. B 【考点】直线的点斜式方程，点到直线的距离公式 由 y=k(x+1) 可知直线过定点 P(1,0) ，设 A(0,1) ， 当直线 y=k(x+1) 与 AP 垂直时，点 A 到直线 y=k(x+1) 距离最大，即为 |AP|=2 .故B.【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点 P(1,0) ，设 A(0,1) ，当直线 y=k(x+1) 与 AP 垂直时，点A到直线 y=k(x+1) 距离最大，即可求得结果.9. C

8、【考点】由三视图求面积、体积 根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形 根据立体图形可得： SABC=SADC=SCDB=1222=2根据勾股定理可得： AB=AD=DB=22 ADB 是边长为 22 的等边三角形根据三角形面积公式可得：SADB=12ABADsin60=12(22)232=23 该几何体的表面积是： 32+23=6+23 .故C.【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.10. A 【考点】指数函数单调性的应用，对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点 因为 a=13log32313log525=23=c ， 所

9、以 ac0 ，所以 m=6 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式 【分析】（1）设等比数列 an 的公比为 q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出 log3an 的通项公式，利用等差数列求和公式求得 Sn ，根据已知列出关于 m 的等量关系式，求得结果.18. （1）解：由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为 1 的概率为 2+16+25100=0.43 ，等级为 2 的概率为 5+10+12100=0.27 ，等级为3的概率为 6+7+8100=0.21 ，等级为4的概率为 7+2+0100=0.09（2）解：由频数

10、分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为 10020+30035+50045100=350（3）解： 22 列联表如下： 人次 400 人次 400 空气质量不好3337空气质量好228K2=100(3383722)2554570305.8203.841 ，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【考点】频率分布表，独立性检验的应用 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善 22 列联表，计算出 K2 的观测值，再结合临界值表

11、可得结论.19. （1）解：因为长方体 ABCDA1B1C1D1 ,所以 BB1 平面 ABCD ACBB1 , 因为长方体 ABCDA1B1C1D1,AB=BC ,所以四边形 ABCD 为正方形 ACBD 因为 BB1BD=B,BB1、BD 平面 BB1D1D ,因此 AC 平面 BB1D1D ,因为 EF 平面 BB1D1D ,所以 ACEF （2）解：在 CC1 上取点M使得 CM=2MC1 ,连 DM,MF , 因为 D1E=2ED,DD1/CC1,DD1=CC1 ,所以 ED=MC1,ED/MC1, 所以四边形 DMC1E 为平行四边形， DM/EC1 因为 MF/DA,MF=DA,

12、 所以四边形 MFAD 为平行四边形， DM/AF,EC1/AF 因此 C1 在平面 AEF 内【考点】平面的基本性质及推论，直线与平面垂直的判定 【分析】（1）根据正方形性质得 ACBD ，根据长方体性质得 ACBB1 ,进而可证 AC 平面 BB1D1D ,即得结果；（2）只需证明 EC1/AF 即可，在 CC1 上取点M使得 CM=2MC1 ,再通过平行四边形性质进行证明即可.20. （1）解：由题， f(x)=3x2k ， 当 k0 时， f(x)0 恒成立，所以 f(x) 在 (,+) 上单调递增；当 k0 时，令 f(x)=0 ，得 x=k3 ，令 f(x)0 ，得 k3x0 ，得

13、 xk3 ，所以 f(x) 在 (k3,k3) 上单调递减，在(,k3) ， (k3,+) 上单调递增.（2）解：由（1）知， f(x) 有三个零点，则 k0 ，且 f(k3)0f(k3)0k223kk30 ，解得 0k427 ，当 0kk3 ，且 f(k)=k20 ，所以 f(x) 在 (k3,k) 上有唯一一个零点，同理 k1k3 ， f(k1)=k3(k+1)20 两种情况讨论即可；（2） f(x) 有三个零点，由（1）知 k0 ，且 f(k3)0f(k3)0 ，解不等式组得到 k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.21. （1）解： C:x225+y2m2=1(0m5) a=5

14、 ， b=m ，根据离心率 e=ca=1(ba)2=1(m5)2=154 ，解得 m=54 或 m=54 (舍)， C的方程为： x225+y2(54)2=1 ，即 x225+16y225=1（2）解： 点P在C上，点Q在直线 x=6 上，且 |BP|=|BQ| ， BPBQ ， 过点P作x轴垂线，交点为M，设 x=6 与x轴交点为N根据题意画出图形，如图 |BP|=|BQ| ， BPBQ ， PMB=QNB=90 ，又 PBM+QBN=90 ， BQN+QBN=90 ， PBM=BQN ，根据三角形全等条件“ AAS ”，可得： PMBBNQ ， x225+16y225=1 ， B(5,0)

15、 ， |PM|=|BN|=65=1 ，设 P 点为 (xP,yP) ，可得 P 点纵坐标为 yP=1 ，将其代入 x225+16y225=1 ，可得： xP225+1625=1 ，解得： xP=3 或 xP=3 ， P点为 (3,1) 或 (3,1) ，当 P 点为 (3,1) 时，故 |MB|=53=2 ， PMBBNQ ， |MB|=|NQ|=2 ，可得：Q点为 (6,2) ，画出图象，如图 A(5,0) , Q(6,2) ，可求得直线 AQ 的直线方程为： 2x11y+10=0 ，根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为： d=|23111+10|22+112=|5|125=

16、55 ，根据两点间距离公式可得： |AQ|=(6+5)2+(20)2=55 ， APQ 面积为： 125555=52 ；当 P 点为 (3,1) 时，故 |MB|=5+3=8 ， PMBBNQ ， |MB|=|NQ|=8 ，可得：Q点为 (6,8) ，画出图象，如图 A(5,0) , Q(6,8) ，可求得直线 AQ 的直线方程为： 8x11y+40=0 ，根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为： d=|8(3)111+40|82+112=|5|185=5185 ，根据两点间距离公式可得： |AQ|=(6+5)2+(80)2=185 ， APQ 面积为： 121855185=52 ，综上所述， APQ 面积为： 52 .【考点】两点间的距离公式，点到直线的距离公式，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质 【分析】（1）因为 C:x225+y2m2=1(0m0 ， ab+bc+ca=12(a2+b2+c2)0,b0,c0,b,c0 ，由 a3=a2a=(b+c)2bc=b2+c2+2bcbc ，结合基本不等式，即可得出证明.