41-直线的倾斜角、斜率与方程

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1、91 直线的倾斜角、斜率与方程教学目标重点：理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握直线方程的五种形式难点：理解直线的斜率与倾斜角的区别及联系能力点：熟练选用直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式与一般式解决相应的问题教育点：考查直线的倾斜角与斜率时，要注意倾斜角的情况，培养分类讨论的思想自主探究点：熟练掌握待定系数法求直线的方程考试点：重点考察各种条件下求解直线方程易错点：忽略倾斜角，直线斜率不存在的情况易混点：正确区分直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式与一般式的形式拓展点：运用直线系方程解决相关问题的方法学法与教具1 学法：讲练结合，自主探究2教具：多媒体课件，三角板一、【知识结构】直线

2、的方程直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角定义范围直线的斜率定义公式直线方程的五种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式二、【知识梳理】1直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角定义：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴_与直线_方向之间所成的角叫做直线的倾斜角当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_倾斜角的范围为_（2）直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即_，倾斜角是的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式：经过两点，的直线的斜率公式为_当时，直线的斜率_（3）直线的倾斜角与斜率的关系当为锐角时，越大越_；当为钝角时，越大越_；2直线方程的五种基本形式名称几何条件

3、方程局限性点斜式过点，斜率为不含_的直线斜截式斜率为，纵截距为不含_的直线两点式过两点和（）不含_的直线截距式横截距为，纵截距为不含_和_的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用答案：1（1） 正向，向上， ； （2） 正切值，；不存在（3）大，大2，垂直于轴；垂直于轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点三、【范例导航】例1 求直线的倾斜角的取值范围【分析】求倾斜角的取值范围，应先求斜率的变化范围，在结合倾斜角和斜率的关系求解【解答】直线的斜率为，即如图所示，当时，倾斜角的范围是；当时，倾斜角的范围是于是倾斜角的取值范围是【点评】（1）已知斜率的范围求倾斜角的范围时，一定要注意运用正切函数在上

4、的图象在这里虽然斜率的范围是连续的，但正切函数在并不是单调的，所以倾斜角的范围确实断开的两个区间（2）求倾斜角范围的一般步骤是：求斜率的范围；借助正切函数在上的图象，数形结合，确定倾斜角的范围变式训练：已知直线的倾斜角的范围是，求的取值范围解（1）当时，直线方程为，此时倾斜角；（2）当时，斜率 时，解得时，解得综上，的取值范围是例2 已知直线与以、为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围【分析】可用两点式写出直线的方程，联立直线和的方程，解出交点的坐标，利用，解出的取值范围，由与斜率的关系，即得斜率的取值范围这样求解，显然非常繁琐，不宜采用既然直线的方程中含有参数，可以得到直线必过一定点，将直

5、线绕定点转动，寻找与线段相交的位置由“直线与线段相交”展开联想 （1）结合图形，运用运动变化的观点，考虑直线斜率与倾斜角的变化关系，可求出符合条件的直线斜率的取值范围（2）直线与线段相交于点，则点、分别在直线的两侧或其中一点在直线上，可考虑利用不等式表示的平面区域求解【解答】直线的方程可以化为，它表示经过直线和的交点的直线方程，由解得所以直线必过定点法一：设与的倾斜角分别为，如图，当直线由变化到与轴平行的位置时，其倾斜角由增至，斜率的变化范围是当直线由变化到的位置时，其倾斜角由增至，斜率的变化范围是故斜率的取值范围是法二：设直线的方程为，即点、分别在直线的两侧或其中一点在直线上，解得或故斜率的

6、取值范围是【点评】（1）求直线过定点的步骤是：将直线方程整理为（其中为参数）；解方程组即得定点坐标（2）本题确定直线斜率的取值范围用了以下两种方法：数形结合法：根据直线的变化规律，借助直线的倾斜角与斜率的关系：“当为锐角时，越大越大；当为钝角时，越大越大”去探究的变化规律利用不等式表示的平面区域：当、在直线的异侧时，则；当、在直线的同侧时，则变式训练：在上述条件中，若点坐标为，则直线的斜率的取值范围有何变化？解 当点坐标为时，直线由转动到的过程中，直线的斜率始终是存在的，故斜率的取值范围是例3 求适合下列条件的直线方程：（1） 过点，斜率是直线的斜率的；（2） 经过点，且在两坐标轴上的截距相等

7、；（3） 过点与已知直线相交于点且【分析】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件【解答】（1） 设所求直线的斜率为，依题意又直线经过点，由点斜式,得直线方程为，即（2）法一：设直线在，轴上的截距均为若，则过点和，由点斜式，得的方程为，即若，则设的方程为，过点，解得，的方程为综上可知，直线的方程为或法二：由题意，所求直线的斜率必定存在设所求直线方程为，它在轴、轴上的截距分别为、，于是，解得或，所以直线方程为或，即或（3）法一：过点与轴平行的直线为解方程组，求得点坐标为，此时，即为所求设过且与轴不平行的直线为，解方程组得两直线交点为（，否则与已知直线平行），则点坐标

8、为由已知，解得，即综上可知，所求直线的方程为或法二：设，由，得，整理，得，解得或由两点式，得直线的方程为或【点评】（1）用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况（2）求直线方程需要两个条件当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程，如第（1）题；当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程，如第（2）和

9、第（3）题（3）对于直线上的点，我们往往运用直线方程，将该点的坐标一元化，从而简化运算过程，如第（3）题的法二，若设，则需列方程组求解，过程较为繁琐变式训练： 求满足下列条件的直线的方程：（1） 过点，它的倾斜角的正弦值是；（2） 过点，它的倾斜角是直线的倾斜角的一半；（3） 过点和直线与的交点答案（1） 或（2） （3） 法一：由解得交点坐标为，由两点式，得所求直线方程为法二：设所求直线方程为（其中），将点代入，解得，从而所求直线方程为例4 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，求的面积的最小值及此时直线的方程【分析】利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地

10、，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式【解答】（1）法一：设直线的方程为，由已知可得由，得，所以当且仅当，即时，此时直线的方程是法二：由，得，从而，当且仅当，即即时，此时直线的方程是法三：设直线方程为，它在轴、轴上的截距分别为、，则，当且仅当，即时，此时直线的方程是【点评】（1）本题的信息是：“过点”或“截距（由三角形面积挖掘的）”，所以可以选择非常直线方程的截距式或点斜式，运用待定系数法求解（2）采用基本不等式，对目标函数求最值时，一定要对目标函数调整或变形，使得满足“一正、二定、三等”的条件变式训练：上述条件不变，求最小时的方程解 法一：由，得，变形得，当

11、且仅当，即，时，取最小值此时直线的方程为法二：设直线方程为，则，当且仅当，即时，取最小值，此时直线的方程为此时直线的方程为法三：设，则，当，即时，取最小值，此时直线的方程为四、【解法小结】1斜率的求法（1） 定义法：已知倾斜角，可根据求解；（2）公式法：已知直线上两点、，可根据斜率公式（该公式与两点顺序无关）求解2已知斜率的取值范围，求倾斜角的取值范围实质上是在上解含正切函数的不等式，可借助：“当为锐角时，越大越大；当为钝角时，越大越大”去求解；也可借助正切函数的图象求解应牢记口诀：“斜率变化分两段，是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”3已知直线的变动情况，求斜率的取值范围（1）数形结合法

12、：根据直线的变化规律，借助直线的倾斜角与斜率的关系去探究的变化规律 （2）利用不等式表示的平面区域求解4求直线方程直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程（1）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程5求直线过定点的步骤是：将直线方程整理为（其中为参数）；解方程组即得定点坐标五、【布置作业】必做题：1（201

13、0课标全国理3）曲线在点处的切线方程为 2（2008四川理4）直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为 3（2008浙江理11）已知，若平面内三点共线，则 4经过点的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，求直线的方程答案：1 2 3 4选做题：1已知两点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是 2若直线在轴上的截距为，则实数是 3已知直线（1）证明直线过定点；（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；（3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，求使面积最小时直线的方程答案：1 2或 3（1）定点；（2）；（3）六、【教后反思】1本教案主要是考虑到本节是平面解析几何的的第一节

14、，是解析几何中最常用也是最易理解的内容在内容设计上偏重于基础知识的掌握，题型的设计上主要依据于高考考点，选取高考中常见的题型变式作为例题进行详细讲解，选取部分高考题作为课后练习2直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率；截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直因此要启发学生在应用时关注它们各自适用的范围，以免漏解3在教学时，发现不少学生在选择直线方程的形式时，还局限于初中所学的内容（一次函数），忽视题设条件，常常选择直线的斜截式解答问题，导致解题过程较为复杂所以教师要引导学生尝试不同的选择方法，比较优劣，使他们克服思维定势另外，例4及其变式的化归方法较多，应留给学生自主探究的空间，让学生积极探索，从不同的角度思考问题，借此提高学生的发散思维能力，但若逐一详细地涉及各种方法，恐怕课堂上难以完成在课堂上，可以启发出不同思路，教师点拨，形成方法，课下由学生自己完成解题过程