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1、双曲线及其标准方程,巴西利亚大教堂,北京摩天大楼,法拉利主题公园,花瓶,1.回顾椭圆的定义？,探索研究,平面内与两个定点F1、F2的 距离的和等于常数（大于 F1F2）的点轨迹叫做椭圆。,思考：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么动点的轨迹会是怎样的曲线？ 即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹 ”是什么？,画双曲线,演示实验：用拉链画双曲线,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=2a,如图(B)，,上面 两条合起来叫做双曲线,由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）,|MF2|-|MF1|=2a,根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下
2、定义吗？, 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, |F1F2|=2c 焦距.,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线.,2、双曲线定义,|MF1| - |MF2|=常数（小于|F1F2|）,注意,| |MF1| - |MF2| | = 2a,(1)距离之差的绝对值,(2)常数要小于|F1F2|大于0,02a2c,符号表示：,【思考2】说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？ （F1、F2是两定点, |F1F2| =2c (0ac) 当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 ； 当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 ；,因此，在应用定
3、义时，首先要考查 .,双曲线的右支,双曲线的左支,以F1、F2为端点的两条射线,不存在,2a与2c的大小,线段F1F2的垂直平分线,若2a=0，动点M的是轨迹_.,若2a=2c，动点M的轨迹 ； 若2a2c，动点M的轨迹 .,|MF1|MF2|=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P，F2Q 上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。,常数大于|F1F2 |时,常数等于|F1F2|时,P,M,Q,M,是不可能的，因为三角形两边之差小于第三边。此时无轨迹。,此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。,则|MF1|=|MF2|,常数等于0时,方程表示的曲线是双曲线,方程表示的曲线是双曲线的右支
4、,方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。,练习巩固:,x,y,o,设M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0),F1,F2,M,以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系,1. 建系.,2.设点,3.列式,|MF1| - |MF2|= 2a,4.化简.,3.双曲线的标准方程,令c2a2=b2,y,o,F1,M,双曲线的标准方程,焦点在x轴上,焦点在y轴上,双曲线定义及标准方程,| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( c, 0) F(0, c),F（c，0）
5、,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,判断： 与 的焦点位置？,思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上？,结论：,看 前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴上。,1.已知下列双曲线的方程：,3,4,5,(0,-5),(0,5),1,2,(-2,0),(2,0),课本例2,4.写出适合下列条件的双曲线的标准方程,(1)a=4,b=3,焦点在x轴上; (2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,
6、-5) 利用定义得2a= |MF1|MF2|,(3)a=4,过点(1, ),分类讨论,例3，证明椭圆 与双曲线x2-15y2=15的焦点相同,变式:上题的椭圆与双曲线的一个交点为P，求|PF1|,练习,例：已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程,解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A 和B，根据两圆外切的条件，,|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|,这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2根 据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2 的距离大，与C1的距
7、离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：,轨迹问题,变式训练： 已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且,求顶点A的轨迹方程。,解：在ABC中，|BC|=10，,故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支,又因c=5，a=3，则b=4,则顶点A的轨迹方程为,解：由双曲线的定义知点 的轨迹是双曲线.因为双曲线的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为,所求双曲线的方程为：,变2：已知 , 动点 到 、 的距离之差的绝对值为6，求点 的轨迹方程.,小结 -双曲线定义及标准方程,| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F
8、 ( c, 0) F(0, c),解：,1.已知方程 表示椭圆，则 的取值范围是_.,若此方程表示双曲线， 的取值范围？,解：,当堂训练：,2“ab0”是方程 ax2by21 表示双曲线 的（ ）条件,A必要不充分 B充分不必要 C充要 D既不充分也不必要,C,【名师点评】双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用,跟踪训练,小结 -双曲线定义及标准方程,| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( c, 0) F(0, c),
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