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1、复习上次课的内容：,定义 1,对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换,(1)互换两行(记作： ),(2)以数 0乘以第 行(记作： ),(3)将第j 行各元素乘以数后加到第i 行的对应元素上去 (记作： ),由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。,定义2,(1) 交换矩阵,(2) 倍乘矩阵,0,0,第 i 行,(1) 初等矩阵都是可逆矩阵 (2) 初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵,说明,一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法,2.7 矩阵的秩,一、矩阵秩的概念,1. k 阶子式,例如：,一个2阶子式,(1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式,(2) 当 A 为
2、n 阶方阵时，n 阶子式即为 | A |,注：,2. 矩阵的秩,(3),A中有二阶子式 ，但它的任何三 阶子式皆为零，即不为零的子式最高阶数 ，从 而,（1）非奇异矩阵（可逆矩阵）A，有 | A | 0，A的秩就等于它的阶数，A为满秩矩阵。,(2) 奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。,注意：,二、矩阵秩的求法,定理1：对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变,即:若矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B, 则,初等变换求矩阵秩的方法（1）,用初等变换把矩阵A化为型如 的 矩阵，可得,例1、,将A化为一个阶梯矩阵，数非零行的行数即为A的秩,初等变换求矩阵秩的方法（2）,（更容易）,第二章 矩阵（习题课）,矩阵
3、,1、矩阵的定义,、方阵 列矩阵 行矩阵,两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称 它们是同型矩阵,、同型矩阵和相等矩阵,、零矩阵 单位矩阵,交换律,结合律,、矩阵相加,运算规律,、数乘矩阵,、矩阵相乘,运算规律,n阶方阵的幂,、方阵的运算,方阵的行列式,运算规律,转置矩阵,、一些特殊的矩阵,对称矩阵,反对称矩阵,幂等矩阵,正交矩阵,对角矩阵,对合矩阵,上三角矩阵,主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三 角矩阵,下三角矩阵,主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三 角矩阵,伴随矩阵,定义,10、逆矩阵,相关定理及性质,矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于 论证,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算
4、规则 相类似,11、分块矩阵,在这一章中必须掌握的计算问题的有： 1）矩阵的和、数乘、乘积、转置、幂等的运算 2）矩阵的逆的求法（两种方法） 3）矩阵的初等变换及求矩阵的秩,例2、设A,B为同阶方阵，则必有： 1）r(AB)=r(BA)； 2）r(A+B)=r(A)+r(B); 3)r(A-B)=r(B-A); 4) r(AB)=r(A)r(B).,例3、设A,B为同阶方阵且AB=0，则必有 1）A=0或B=0； 2）A+B=0; 3)|A|=0或|B|=0; 4) |A|+|B|=0,例4、同阶方阵A,B;则下列命题是否正确 1）|A|=0能否得到A=0； 2）A2=0能否得到A=0; 3) A对称，则A2对称。,例5、A2=A,且A可逆，则A=？,例6、A3=I, 则A-1=?,4) (A+B)(A-B)=A2-B2,例7、设A,B为n阶矩阵，且有| A |-2， | B |3则| -A*B-1 |=?,例8、设A,B,A+B可逆，求(A-1+B-1)-1.,作业：P108 34(3)(5) 复习第二章,
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