20.1　常量和变量

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1、20.1常量和变量1.通过实例理解变量、常量的概念以及相互之间的关系,能举出现实中的常量与变量.2.增加对变量的理解.3.渗透找变量之间的简单关系,能列简单关系式.1.通过对问题的讨论引出常量与变量的概念,为学习函数的定义作准备.2.通过对学生熟悉的几个例子,系统地认识常量与变量,有助于理解相关概念之间的联系与区别.3.通过探索两个数量之间的关系和变化规律,发展学生的抽象思维和符号感.学生通过积极参与课堂上对问题的分析,感受现实生活中函数的普遍性,体会事物之间的相互联系与制约.【重点】变量与常量.【难点】对变量的判断.导入:火车行驶的里程随着时间的变化而变化,一天的温度随着时间的变化而变化,像

2、这样,在现实生活中一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.今天我们首先来学习20.1常量和变量.设计意图两个导入以现实生活为依托,通过学生平常接触到的事物,引出变化的量,引起学生的好奇心.活动1尝试探究过渡语在实际生活中,人们需要用量化的方式来描述一个事物的变化过程,这会涉及一些量,其中一些量是不变的,一些量是变化的.我们知道,在一个匀速运动中,路程=速度时间.这里的路程、速度和时间就是三个不同的量.这些量在不同的变化过程中会有怎样的具体表现形式呢?下面我们来共同探究这个问题.【课件1】一起探究1.小明在上学的途中,骑自行车的平均速度为30

3、0 m/min.(1)填写下表:时间t/min5102055路程s/m(2)在这个问题中,哪些量是不变的,哪些量是变化的?变化的量之间存在着怎样的关系?2.桃园村办企业去年的总收入是25000万元,计划从今年开始逐年增加收入3500万元.在这个问题中,一共有几个量?其中哪些量是不变的,哪些量是变化的?变化的量之间存在着怎样的关系?3.类似地,请你再举出两个实际问题的例子,并分别说明它们各含有几个不同的量,其中哪些量是不变的,哪些量是变化的.【教师活动】让学生填表,观察问题1的表格和问题2的条形统计图.思考题目中的问题,并板书答案.学生解答后应该给予评价.此处应注意:(1)学生以组为单位合作探究

4、.(2)教师巡视,注意指导.让学生结合每一道题的题意和表达式,来讨论变化的量和不变的量.【学生活动】学生观察、讨论,解释每个题中变化的量和不变的量.在问题1中,共有三个量,其中平均速度300 m/min是不变的量,路程和时间都是变化的量,它们之间满足关系s=300t.在问题2中,共有四个量,即去年的总收入、从今年起每年增加的收入、第几年和第几年的总收入.其中,去年的总收入25000万元和以后每年增加的收入3500万元都是不变的量,第几年和第几年的总收入都是变化的量.如果用n(n取正整数)表示从今年起的第n年,用W表示第n年的总收入,那么它们之间满足关系W=25000+3500n.教师说明:在一

5、个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,而数值保持不变的量叫做常量.教师特别强调:(1)常量与变量必须存在于一个变化过程中.(2)判断一个量是常量还是变量,需:看它是否在一个变化的过程中;看它在这个变化过程中的取值情况.在问题3中,请你指出自己举出的两个例子中的常量和变量.设计意图结合学生比较熟悉其背景的几个例子,对新知识有个初步的感知.让学生熟练地从不同事物的变化过程中寻找出变量之间的变化规律,并逐步学会用含有一个变量的式子表示另一个变化的量.知识拓展常量与变量是对“在某一变化过程中”而言的,因而是相对的.同一个量在某一变化过程中是常量,而在另一变化过程中却可能是变量,所以常量和变量是由问

6、题的条件确定的.例如:s=vt中,若v确定,则s,t是变量;若t确定,则s,v是变量.这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程.其实现实生活中有好多类似的问题,都是反映不同事物的变化过程,其中有些量的数值是按照某种规律变化的,如上例中的时间t、里程s,有些量的数值是始终不变的,如上例中的速度60千米/时.【课件3】1.电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各为多少元?设一场电影售票x张,票房收入y元.怎样用含x的式子表示y?2.你见过水中的涟漪吗?如右图所示,圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中,当圆的半径

7、r分别为10 cm,20 cm,30 cm时,圆的面积S分别为多少?用含r的式子表示S.3.用10 m长的绳子围成一个矩形.当矩形的一边长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少?用含x的式子表示y.设计意图让学生熟练地从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律,并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量.【教师活动】引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.【学生活动】在教师的启发引导下,经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程,得到正确的结论.活动结论:1.第一场电影票房收入:15010=1500(元);第二场电影票房收入:20510

8、=2050(元);第三场电影票房收入:31010=3100(元).关系式:y=10x.2.当r=10 cm时,S=102=100(cm2);当r=20 cm时,S=202=400(cm2);当r=30 cm时,S=302=900(cm2).关系式:S=r2.3.当边长为3 m时,邻边长y为5-3=2(m);当边长为3.5 m时,邻边长y为5-3.5=1.5(m);当边长为4 m时,邻边长y为5-4=1(m);当边长为4.5 m时,邻边长y为5-4.5=0.5(m).关系式:y=5-x.师:通过上述活动,我们清楚地认识到,要想寻求事物变化过程的规律,首先需确定在这个过程中哪些量是变化的,而哪些量

9、又是不变的.在一个变化过程中,可以取不同数值的量为变量,数值始终不变的量称之为常量.如上述四个过程中,时间t、里程s、售出票数x、票房收入y、圆的半径r、圆的面积S、矩形一边长x、其邻边长y都是变量.而速度60千米/时、票价10元/张、圆周率、绳长10 m都是常量.活动2巩固练习过渡语明确了常量和变量的定义,理解了它们之间的区别,下面我们共同来完成“做一做”.【课件4】做一做在下列各问题中,分别各有几个量,其中哪些量是常量,哪些量是变量?这些量之间具有怎样的关系?(1)每张电影票的售价为10元.某日共售出x张票,票房收入为y元.(2)一台小型台秤最大称重为6 kg,每添加0.1 kg重物,指针

10、就转动6的角,添加重物质量为m kg时,指针转动的角度为.(3)用10 m长的绳子围成一个长方形.小明发现不断改变长方形的长x(m)的大小,长方形的面积S(m2)就随之有规律地发生变化.【教师活动】引导、点拨.教师应该重点关注:(1)学生是否能正确地写出关系式;(2)答案是否全面;(3)学生的参与度.【学生活动】先自主探索,再小组合作、分析、总结、交流,写出答案.答案:(1)有三个量,10元是常量,x张和y元是变量,y=10x.(2)有五个量,6 kg,0.1 kg和6是常量,m kg和是变量,=60m.(3)有三个量,10 m是常量,x和S是变量,S=x(5-x).设计意图进一步熟悉巩固前面

11、总结的探究方法,并学会利用以前所学的一些公式来帮助解决问题.通过练习让学生会列关系式,并进一步理解变量与常量的含义.本节课所学知识:变量与常量的定义.方法:常量与变量必须存在于同一变化过程中,判断一个量是常量还是变量,需要看两个方面:一是看它是否在一个变化过程中;二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化.常量和变量是相对于变化过程而言的,可以相互转化.不要认为字母就是变量.1.在圆周长计算公式C=2r中,对半径不同的圆,变量有()A.C,rB.C,rC.C,rD.C,2,r解析:直接利用在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量,进而得出在圆周长计算公式C=2

12、r中,对半径不同的圆,变量有C,r.故选A.2.如果用总长为60 m的篱笆围成一个长方形场地,设长方形的面积为S(m2),周长为p(m),一边长为a(m),那么S,p,a中是变量的是()A.S和pB.S和aC.p和aD.S,p,a解析:篱笆的总长为60 m,周长p是定值,而面积S和一边长a是变量.故选B.3.某人要在规定的时间内加工100个零件,则工作效率与时间t之间的关系中,下列说法正确的是()A.数100和,t都是变量B.数100和都是常量C.和t是变量D.数100和t都是常量解析:根据变量和常量的定义可知和t是变量,零件的个数100是常量.故选C.4.在三角形面积公式S=ah,a=2 c

13、m中,下列说法正确的是()A.S,a是变量,h是常量B.S,h是变量,是常量C.S,h是变量,a是常量D.S,h,a是变量,是常量解析:在三角形面积公式S=ah,a=2 cm中,a的值保持不变,它是常量,h和S是变量.故选C.5.林老师骑摩托车到加油站加油,发现每个加油器上都有三个量,其中一个表示“元/升”,其数值固定不变,另外两个量分别表示“数量”“金额”,数值一直在变化,在这三个量当中是常量,是变量.解析:常量就是在变化过程中不变的量,变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量.答案:元/升数量、金额6.汽车行驶的路程s、行驶时间t和行驶速度v之间有下列关系:s=vt.如果汽车以每小时

14、60 km的速度行驶,那么在s=vt中,变量是,常量是;如果汽车行驶的时间t规定为1小时,那么在s=vt中,变量是,常量是;如果甲、乙两地的路程s为200 km,汽车从甲地开往乙地,那么在s=vt中,变量是,常量是.解析:根据在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量解答.答案:s,t60s,v1v,t2007.齿轮每分钟120转,如果n表示转数,t表示转动时间.(1)用n的代数式表示t;(2)说出其中的变量与常量.解析:(1)根据题意可得转数=每分钟120转时间;(2)根据变量和常量的定义:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量,可

15、得t,n是变量.解:(1)由题意得120t=n,即t=.(2)变量:t,n,常量:120.8.说出下列各个过程中的变量与常量.(1)我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需106分钟,t分钟内卫星绕地球的周数为N,N=;(2)矩形的长为2 cm,它的面积S(cm2)与宽a(cm)的关系式是S=2a.解析:根据常量是在某一变化过程中保持不变的量,变量是在某一变化过程中可以取不同数值的量,对各小题分析判断即可得解.解:(1)N和t是变量,106是常量.(2)S和a是变量,2是常量.20.1常量和变量活动1尝试探究变量:在一个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量.常量:在一个变化过程中,数值保持不变的量叫做常量.活动2巩固练习【必做题】1.教材第62页练习第1,2题.2.教材第62页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第62页习题B组第1,2题.