数字信号处理第二章

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1、2.2 2.2 时域离散信号的傅里叶变换的定义和性质时域离散信号的傅里叶变换的定义和性质一、序列傅里叶变换（时域离散信号傅里叶变换）的定义：一、序列傅里叶变换（时域离散信号傅里叶变换）的定义：nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)(记为：记为：)()()()()()(jDTFTjjeXnxeXIDTFTnxnxDTFTeX变换存在的充分条件是：变换存在的充分条件是：njnxeX)()(有些序列不满足以上条件，但是平方可和的，也能求到它的变有些序列不满足以上条件，但是平方可和的，也能求到它的变换。例如理想低通滤波器的单位样值响应：换。例如理想低通滤波器的单位样值响应：nnnSan

2、hcccsin)()(它的傅里叶变换，即滤波器的频响：它的傅里叶变换，即滤波器的频响：ccnnjjenheH01)()(nc)(nhcc1)(jeH 有些序列既不满足绝对可和，也不满足平方可和，但是引入频有些序列既不满足绝对可和，也不满足平方可和，但是引入频域冲激信号之后，也可表示它的傅里叶变换。如：域冲激信号之后，也可表示它的傅里叶变换。如：1)(nxn)(nx1 -1 0 1 2 4 5 6 7rnnjjreeX)2(2)()(jeX)2(-2 0 2 4 6 8提示：利用理想冲激序列的傅里叶变换提示：利用理想冲激序列的傅里叶变换1()(),sjn TTsssnnsFTtneTwT 令rT

3、rTtt)()(我们知道，单位冲击序列是一以我们知道，单位冲击序列是一以T T为周期的周期信号为周期的周期信号t)(tT)1(-T 0 T 2T 3T 4TntjnntjneTeT00110nnFT1 -0 2 3 4 5 6这里这里T20将上式中时间变量用频率变量做一将上式中时间变量用频率变量做一个代换，并令个代换，并令 T=2T=2 ，即即10t于是有：于是有：rnnjre)2(2二、离散时间傅里叶变换的性质：二、离散时间傅里叶变换的性质：1 1、线性：、线性：)()()()(2121jjDTFTebXeaXnbxnax 2 2、时移与频移：、时移与频移：)()(jmjDTFTeXemnx

4、)()()(00 jDTFTnjeXenx3 3、时间倒置（反褶）：、时间倒置（反褶）：)()(jDTFTeXnx 4 4、频域微分：、频域微分：dedXjnnxjDTFT)()(5 5、时域卷积：、时域卷积：)()()(nhnxny则则)()()(jjjeHeXeY6 6、频域卷积：、频域卷积：)()()(nwnxny则)()()(jjjeWeXeY这里周期卷积：这里周期卷积：deWeXjj)()(21)()()()(jjjeWeXeY7 7、帕斯瓦尔定理：、帕斯瓦尔定理：deXnxjn22)(21)(deYeXnynxjjn)()(21)()(*n时域卷积定理证明证明mkkmkk()()*

5、()()()()()()()nmk ()(k)()(k)jwjwnnmjwnmnjwmjwjwmy nx nh nY eFT y nx m h nm ex mh nm ex mhex m eheX（）令()()jwjweH en频域卷积定理()11()()*()()()22()()()1()()2jjjjjjj nnjj nj nnY eX eH eX eH edY ex n h n ex nH eede()()1()()()21()()21()*()2jjjnnjjjjY eH ex n edH eX edH eX e 7.帕斯维尔(Parseval)定理222*1()(21()()()()

6、()2jnjj nnnnx nx edx nx n x nx nX eed2*1()()211()()()22jj nnjjjX ex n edX eXedX ed8 8、奇偶对称性：满足以下关系的信号或函数，、奇偶对称性：满足以下关系的信号或函数，)()(*nxnxee称为共轭对称的称为共轭对称的)()(*nxnxoo称为共轭反对称的称为共轭反对称的若若)(nxe)(nxo是实函数，则他们分别是偶函数与奇函数。是实函数，则他们分别是偶函数与奇函数。任何函数可以表示为：任何函数可以表示为：)()()(nxnxnxoe而而)()(21)()()(21)(*nxnxnxnxnxnxoe序列的傅里叶

7、变换，一般是频率的复函数序列的傅里叶变换，一般是频率的复函数)()()(jijrjejXeXeX也可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和：也可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和：)()()(jojejeXeXeX这里这里)()(21)()()(21)(*jjjojjjeeXeXeXeXeXeXn例 2.2.2 试分析x(n)=e jn的对称性。解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=e jn因此x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到x(n)=cosn+j sinn 由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。对于一般序列

8、可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即x(n)=xe(n)+xo(n)式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将n用-n代替，再取共轭得到 x*(-n)=xe(n)-xo(n)，则有：1()()()21()()()2eox nx nxnx nx nxn1()()()21()()()2jjjejjjoXeX eXeXeX eXe，同样满足：它们满足：和共轭反对称部分分别称为共轭对称部分与式中和结论：也有和上面类似的概念对于频域函数)()()()(,)()()()()()(*oo*jwjwjwejwejwojwejwojwejwjweXeXeXeXeXeXeXeXeXeX(a)将

9、序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到 )()()(jwojwejweXeXeX式中 njwniijwonjwnrrjweenxjnjxFTeXenxnxFTeX)()()()()()(n结论：（1）xr(n)和xi(n)都是实数序列，Xe(ej)具有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。Xo(ej)具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。（2）序列分成实部与虚部两部分，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分 Xo(n)，即 x(n

10、)=xe(n)+xo(n)1()()()21()()()2eox nx nxnx nx nxn 上式表示序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ej)，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部XI(ej)。*1()()()Re()()21()()()Im()()2jwjwjwjweRjwjwjwjwoIFT x nX eXeX eXeFT x nX eXejX eXe 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j)因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为 HR(ej)=HR(e

11、-j)HI(ej)=-HI(e-j)()eh n(),01(),021(),02h onh nnhnn可以用下式表示：和面两式是实因果序列，按照上因为)()()()()(21)()()(21)()()()(nhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhoeoeoe实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n)=he(n)u+(n)h(n)=ho(n)u+(n)+h(o)(n)2,01,00,0nnn()u n0 ),(210 ),(210 0)(nnhnnhnnho，()eh n(),01(),021(),02h onh nnhnn例 2 x(n)=anu(n);0a1;求其

12、偶分量xe(n)和奇分量xo(n)。解：x(n)=xe(n)+xo(n)(0),01(),021(),02xnx n nxn n()ex n 1,01,021,02nnnanan(0),01(),021(),02xnx n nxn n()ox n 1,01,021,02nnnanan共轭共轭于是当于是当)()(jDTFTeXnx 时，就有：时，就有：)()(*jDTFTeXnx 共轭反褶共轭反褶)()(*jDTFTeXnx 序列实部序列实部)()(RejeDTFTeXnx 序列虚部序列虚部)()(ImjoDTFTeXnxj 序列共轭对称分量序列共轭对称分量序列共轭反对称分量序列共轭反对称分量)

13、()(Re)(jrjDTFTeeXeXnx)()(Im)(jijDTFToejXeXjnx 当序列是实序列，即当序列是实序列，即变换是共轭对称的变换是共轭对称的)()(*nxnx则有：则有：)()(*jjeXeX变换的实部为偶函数变换的实部为偶函数)()(jrjreXeX变换的虚部为奇函数变换的虚部为奇函数)()(jijieXeX变换的幅度为偶函数变换的幅度为偶函数|)(|)(|jjeXeX变换的相位为奇函数变换的相位为奇函数)(arg)(argjjeXeX三、常见序列的离散时间傅里叶变换：三、常见序列的离散时间傅里叶变换：1 1、单位样值序列、单位样值序列1)(DTFTn n)(n12 2、

14、单位阶跃序列的、单位阶跃序列的DTFTDTFT:设序列设序列 rjjDTFTreUeXnunx)2()()(21)()(则则)(21)1()1(jjDTFTeXenunx 于是于是)()1()()1()(nnununxnx由线性，于是由线性，于是1)()(jjjeXeeX即即jjeeX11)(所以所以rjjrenuDTFTeU)2(11)()(2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式1 1 连续时间、连续频率的傅里叶变换连续时间、连续频率的傅里叶变换 :()()j tX jx t edt 正1:()()2j tx tX jed反0()X j0

15、t()x t时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的2 2 连续时间、离散频率的傅里叶级数连续时间、离散频率的傅里叶级数pT0t()x t-00()X jk02pT0/20/21:()()ppTjktTpXjkx t edtT正00:()()jktkx tXjke 反时域信号频域信号连续的周期的非周期的离散的3 3 离散时间、连续频率的序列傅里叶变换离散时间、连续频率的序列傅里叶变换 x(nT)T-T0T2Tt2sT 0-()jj TX eX e或:()()jTjnTnXex n Te 正/2/21:()()ssjTjnTsx nTX eed 反时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的x

16、(nT)=x(n)1pTFt0T 2T1 2 N pTNTNT4 4 离散时间、离散频率的离散傅里叶变换离散时间、离散频率的离散傅里叶变换0002 0 1 2 30(1)(1)NN0NNk21ssTfT时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的一、周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式一、周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式1.周期序列的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数()x n2()jknNkkx na e2222111()00021()0()NNNjmnjknjmnjk m nNNNNkknnkknNjk m nNnx n ea eea

17、ee,0,N kmkm 式中，k和n均取整数，当k或者n变化时，是周期为N的周期函数，可表示成knNje22101()NjknNknax n eN-k22(),jk N njknNNeel取整数 210210()()()1()()()NjknNnNjknNnX kDFS x nx n ex nIDFS X kX k eN例 2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到如图所示的周期序列 ，周期为8，求 的DFS。解：()x n()x n273840044442224888()()111()1()jknjknnnjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkX kx

18、n eeeeeeeeeeee38sin2sin8jkkek2.周期序列的傅里叶变换表示式周期序列的傅里叶变换表示式 21022()()()()()jkNjknNnX eX kkNNX kx n e 其中()x n如果周期序列 的傅立叶级数为 ，则 的傅立叶变换定义为：()X k()x nn例 2.3.2设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到如图所示的周期序列 ，周期为8，求 的FT。n 解：()x n()x n273840044442224888()()111()1()jknjknnnjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkX kx n eeeeeeeeeeee3

19、8sin2sin8jkkek38k22()()()sin22 ()48sin8jkjkX eX kkNNkekk 结论：结论：对于同一个周期信号，其对于同一个周期信号，其DFS和和FT分别取模的形状是一样的，不同分别取模的形状是一样的，不同的是的是FT用单位冲激函数表示（带箭头用单位冲激函数表示（带箭头的竖线表示）。因此周期序列的频谱的竖线表示）。因此周期序列的频谱分布用其分布用其DFS或者或者FT 表示都可以，但表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。画图时应注意单位冲激函数的画法。表 2.4.21 基本序列的傅里叶变换 2.5 2.5 序列的序列的Z Z变换变换一、一、Z Z变换的定

20、义：变换的定义：-nn=-()ZX(z)=x(n)zzzx n序列的双边 变换定义为:式中 是一个复变量，它所在的平面称为 平面。-nn=0()ZX(z)=x(n)zzzx n序列的单边变换定义为:式中 是一个复变量，它所在的平面称为 平面。()()()()()()()ZP zX zP zX zQ zQ zX z分子多项式的根是的零点，分母多项式的根是的极点。在极点处 变换不存在，因此收敛域总是用极点限定边界的。二、序列特性对收敛域的影响二、序列特性对收敛域的影响1 1、有限长序列：、有限长序列：n)(nx1n2nn)(nx1n2nn)(nx1n2nZReZjIm11jjZReZjIm11jj

21、ZReZjIm11jj0z 0z z ZReZjIm11jjn)(n12 2、右边序列：、右边序列：n)(nx1nn)(nx1nZReZjIm1R1R1jR1jRZReZjIm1R1R1jR1jR1zR0z 3 3、左边序列：、左边序列：n)(nx2nn)(nx2nZReZj Im2R2R2jR2jRZReZj Im2R2R2jR2jR4 4、双边序列：、双边序列：n)(nxZReZj Im2R2R2jR2jR1R1Rj0TjTjTj3Tj3ZReZjIm11jjjTjsTeZZee)(Nnn2.5.1 ()(),Z2.5.2 x(n)=R(n)Z2.5.4 x(n)=-a(1)Z2.5.5

22、x(n)=a()Zx nu nunu n例求其 变换例求的 变换及其收敛域例求的 变换及其收敛域例求的 变换及其收敛域CndzzzXjzXZTnxzXnxZTzXznx.)(21)()(:)(),()()(11由以下围线积分给出的逆变换则变换为的若已知序列)(zX)(zXCRz 1()Re(),nmmx ns X z zzmmzznsmsszznmnzzXzzdzdszzXsszzzzX)()()!1(1)(Re:,)(11111其留数为阶极点处有在mmzznmzznmnzzXzzzzXsszzzzX)()()(Re:,1,)(111留数为则其即处只含有一阶极点在mmzznzzzXsnxCCm

23、)(Re)(:,1即的留数外极点可转而求围线内有高阶极点时当围线.)(,)()()()(的对应项散序列该级数的各系数就是离展开成幂级数之和nxzDzNznxzXnn.)(,)(,)(;)(,)(,)(21的升幂次序排列按此时为左边序列则的收敛域是如果的降幂次序排列按此时为右边序列则的收敛域是如果zzXnxRzzXzzXnxRzzXxx通常先将通常先将 进行部分分式展开成进行部分分式展开成 ，然，然后每个分式乘以后每个分式乘以 ，这样对于一阶极点，这样对于一阶极点 便可便可展成展成 形式。其系数的求法，以及高阶极点形式。其系数的求法，以及高阶极点的系数的求法都与拉氏变换中的部分分式展开法的系数的

24、求法都与拉氏变换中的部分分式展开法相同。相同。zzX)(mmzzkz)(zXmmzzzk对于大多数单阶极点的序列，常用这种部对于大多数单阶极点的序列，常用这种部分分式展开法求逆分分式展开法求逆Z Z变换。变换。1111122.5.6()(1),Z(1),Z,23Z16X zazzaazzazzz-1例已知求其逆 变换例2.5.9 已知X(z)=用长除法求其逆 变换5z例2.5.10 已知X(z)=，求其逆 变换表表2.5.1 常见序列的常见序列的Z变换（变换（P54）),min(),max()()()()()(:)()()()()()(:222111212121yxyxyyxxRRRRRRRz

25、RzbYzaXnbynaxZTRzRzYnyZTRzRzXnxZT则若)()(),()(zXzmnxZTzXnxZTm则若1()(),()()()()nnZT x nX zy na x nZT a x nX a z若则()()(),()dX zZT x nX zZT nx nzdz 若则*()(),()()ZT x nX zZT x nXz若则Z ()(),(0)lim()zT x nX zxX z设x(n)是因果序列，则()()(),()dX zZT x nX zZT nx nzdz 若则n1Zzlim()lim(1)()zx nzX z设x(n)是因果序列，其 变换的极点除可以有一个一阶极

26、点在 1上，其它极点均在单位圆内，则Z ()(),ZTy(n)(),()()()()()xxyycT x nX z RzRY z RzRw nx n y nz dvX v Yvvzx-y-x+y+设1则W(z)=2 jW(z)的收敛域为R RR R*Z ()(),ZTy(n)(),1,1()()cxxyycT x nX z RzRY z RzRzdvX v Yvvvx-y-x+y+*n=-x-x+y+y-设R RR R1则x(n)y(n)2 jv平面上，所在的收敛域为11max(R,)min(R,)RR2.6 2.6 利用利用Z Z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性一、传

27、输函数与系统函数一、传输函数与系统函数1 1、系统函数：、系统函数：)(nx)(ny)(nh)()()(nhnxny)()()(zHzXzY()()()()nnY zH zh n zX z称为系统函数2 2、传输函数、传输函数()()()jwjwjwnz enH eH zh n e称为系统的传输函数NkMmmkmnxbknya00)()(NkkMmmmnyamnxbny10)()()(00()()()MiiiNiiib zYzHzXza z二、用系统函数的极点分布分析系统的频率特性二、用系统函数的极点分布分析系统的频率特性()11()()()()()jwMjrjjjrNz ejkkezH eH

28、 zH eeep rjrrjweAze令kjkkjweBpekNkrMrjwBAeH11)(MN11()rkrkwzRezjImCE+1+1121B2BO OjweDw21A2A12k(21)k2 sjjwzee b1例2.6.3 设一阶系统的差分方程为：y(n)=by(n-1)+x(n)用几何法分析其幅度特性（0）。1.8 1.8 模拟信号数字处理模拟信号数字处理一、采样定理一、采样定理()f t()sf t()pt()()()()()sssftf tp tFjCTFT ft 抽样过程各个信号的符号也可以使用P19中的符号表示()()()aax tx t s t()()()sf tf t p t)()(21)(PFFsnsnnPP)(2)(nsnnsnsnFPnPFF)()(2)(21)(nsnsnFPF)()(采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔角频率间隔角频率w ws s重复出现一次，或者说采样信号的频重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以谱是原模拟信号的频谱以w ws s为周期沿拓而成。为周期沿拓而成。)()()()()()(PtpFTFtfFTFtfFTss