二项式定理doc

《二项式定理doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项式定理doc（7页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、（一）选择题、二项式定理一,高考真题】（04年全国1卷5） （2x3上）7的展开式中常数项是（A ）、：xA. 14B.-14C. 42D.-42（04年浙江7）n展开式中存在常数项，则n的值可以是（C ）(A) 8(C) 10(D) 12（04年福建9）（B） 9, a、已知（x - ）8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和 x是(C )A.28B. 38C. 1 或 38D. 1 或 28(05年江苏9)A.10设k = 1,2,3,4,5,则（x + 2）5的展开式中xk的系数不可能是（C ）B.40C.50D.80（05年山东5）如果(3x -)3； x

2、2n的展开式中各项系数之和为128,则展开式中-的系数是（C ）6.6.7.4.8.A.7B.-7C.21D.-21（05年江西4）A. 4项（tx + 3 x ）12的展开式中B. 3项含x的正整数次幂的项共有（B ）二,【模拟试题】C. 2项D.1项（1X+X2）（1+X）6展开式中,X3项的系数是A. 15B. 14C. 12D.D)11在(4x2-2x-5) (1+一 ) 5的展开式中x 2B.-20A. 20常数项为（C ）C.15D.-15设 f (x) = x7 + C2x2 + C4x3 + C6X, g(x) = C1X6 + C3X4 + C5X2 则 f 2(1) g 2

3、(1) = ( A)A.127B.128C.0D.-1278的展开式中是有理数的项共有 （A.2项 B. 3项 C. 4项1、对于二项式（-+ x3）nn g N *，有四个判断：xD. 5项1存在n G N *，展开式中有常数项;对任意n g N *，展开式中没有常数项；对任意n g N *，展开式中没有x的一次项;存在n g N *，展开式中有x的一次项.上述判断中正确的是（D ）A.与B.与C.与D.与8. (x2+2)5展开式的常数项是( x 2A. 252B.-210D)C.210D.-2529 .设(x + 1)4(x + 4)8A.256=a + a1(x + 3) + a?(x

4、 + 3)2 + 口? + 3)12，B. 96C. 128则 a2 + a4 + a12 =( D )D.112（二）填空题一、【高考真题】1（05年湖北文14）（X3 - 2）4 + （x + -）8的展开式中整理后的常数项等于 XXx 163、 22（05年湖北14）（ + +2）5的展开式中整理后的常数项为.2 x23（02年全国15）（x2 +1）（x 2）7的展开式中X3项的系数 1W8.113（04年湖北文14）已知（x2 + x-2）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中X5的系数是35 . （以数字作答）/、一14（04年全国2卷文13）已知a为实数，（x + a）10

5、展开式中x7的系数是一15，则a =-5 （05年广东13）已知（xcos。+1）5的展开式中x2的系数与（x + |）4的展开式中x3的系数相等，则n工2cos 0 =+ 26 (04 年天津 15) 若 (1 2x)2004 = a + a x + a x2 + + ax2004(x g R)，则01220041=(7 n 1)6(a 0 + a1) + (a0 + a 2) + (a 0 + a3) + . + (a0 + a 2004) 2004(用数字作答)7 (05 年天津 11)设n g N*，则 Ci + C26 + C362 + + C6n1二,【模拟试题】12 .已知(1

6、+ x) + (1 + x)2 + (1 + x) n = a + a x + a x2 + a xn，若 a + a +012n12+ a = 29 n(n g N且n 1)，那么(1 + J)6的展开式中含yn的项的系数是15 n112.已知函数 /(x) = 1 3( x 1) + 3( x 1)2(x 1)3，则 f t(8)=014.设气(n = 2,3,4,)是(3 + R)n的展开式中x的一次项的系数，则匕,2006 32 3332006 的值是 答案：n(n - 1) . 3n_2； 18(+ + + )2005 a2 a327、从装有n +1个球(其中n个白球，1个黑球)的口

7、袋中取出m个球(0 m n,m,n g N)，共有Cmn+1种取法。在这Cm_1种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有C0 - Cm + C1 - Cm-1 = C0 Cm，即有等式：Cm + Cm-1 = Cm成立。试根据上述思想化简下列式子：1 n 1 n1 n+1n nn+1Cm + C1 - Cm-1 + C; - Cm-2 + + Ck Cm-k =。 (1 k m n, k, m, n g N)。答案：Cm根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从n + k个球(n个白球，k个黑球)中取出n+km个球，可分为：没有黑球，一个黑球，k个黑球等(k +1)类，故有Cm

8、种取法。n+k8.二项式定理C0 + C1 x + C2x2 + Cnxn =(1 + x)n (n g N*)的两边求导后，再取x = 1，得恒等式 nnnCi + 2C2.+ nCn = n 2-1.(三)解答题一,【高考真题】1 (01年全国理20) (12分)已知i, m, n是正整数，且1 i m n.(I)证明 mPm (1 + n)m.(I)证明：对于 1 i m，有 Pi = m (m - i +1),mPi m m -1 m =mi m m同理 p = 土七！.n-i+1，4分nin nnn 一 k m 一 k由于 mnm所以一 ，nimi即 niPi miPi;(II)证明

9、：由二项式定理有(1 + m)n = lLmiCi,ni=0(1 + n) m =EniCimi=0由(I)知 niPi miPi (1 i m mCi (1 i m EmCi，又m0Co = n0Co = 1,mCi = nCi = mn,m，C， 0(m i 乙 niCi即(1 + m) n (1 + n) m .nmi=0i=02 ( 03年上海理19文22)已知数列an (n为正整数)是首项是a公比为q的等比数列.(1) 求和：a C0 a C1 + a C2,a C0 a C1 + a C2 a C3;1 22 23 21 32 33 34 3(2) 由(1)的结果归纳概括出关于正整

10、数n的一个结论，并加以证明.(3)设 q/1，S 是等比数列a 的前 n 项和，求：SC 0 S C1 + SC 2 SC 3 +.+ (1) nS Cnn1 n 2 n 3 n 4 nn+1 na C0 - a C1 + a C2 = a - 2a q + a q2 = a (1 - q)2,解(1 ) 1 22 23 21111a C0 - a C1 + a C2 - a C3 = a - 3a q + 3a q2 - a q3 = a (1 - q)3.334311111(2)归纳概括的结论为:若数列an是首项为，公比为q的等比数列，则i，a C 0证明C3 +. + (1) na Ca

11、 C1 + a C 2 a:a C0 a C1 + a C2 a C3 +. + (1) 1 n 2 n 3 n 4 n=a. (1 - q) n, n为正整数. a C(3)=a C0 a qC 1 + a q2C2 a q3C3 +. + (1)1 n 1 n 1 n 1 n=a C0 qC1 + q2C2 q3C3 +. + (1)n qnC1 nnnna. q nC n=a.(1 q) n所以 S C 0 S C1 + S C 2 S C 3 + . + ( 1) nS1 n 2 n 3 n 4 na a q a a q 2 a a q 3 一 C 0 H C 1 +111 q n 1

12、 q n 1 qa 一 一 一 一，一、一一1 C 0 C 1+ C 2 C 3+ . + ( 1) n C n 1 q n n nnna 10 C 0 qC1 + q 2 C 2q 3 C 3 + . + ( 1) nqnC n =1 q n n n nn q 1C2 + . + ( 1)na a q n+11 q nq(1 - q)n.xm!m是正整数，且m 0，当x为何值时，(c%)取得最小值?x组合数的两个性质：Cm = Cn-m : + Cm-1 =。七是否能推广到Cm ( x g R,m是正整数)的 情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.八(15)(16)

13、(17)3!解： C 3 = -=680-15(2)- = *3T)a 2)=(1_3)%0,x + -2/2,当且仅当 x = V2 时取等号,(Cl )26x26*工当x =耳 时, 取得最小值奥丘_-(Ci)26性质不能推广.例如当工=还时，有意义，但C2-2无意义;v2w2性质能推广，其推广形式是:Cm + C”t = Cm 1.事实上，当m = 1时,Ci+Co=x + l = Cix xx+1x xm+1当m Z 2时6 +6i _ x(x-l)G-m + l) x(x l). (x m + 2)工(.1)(一 切 + 2) x-m + 1x xm(m-1)!(m-1)!mx(x-

14、l)- (x-m + 2)(x + l)=Q,mm!I(理)规定Am =x(x-l) (x-m + 1),其中xgR,初为正整数，且Ao=l,这是排列数是正整 xxn数，且初5的一种推广.求的值;n-1排列数的两个性质：顷?=弘-1, Am + mAm-1 = Am .(其中m,n是正整数)是否都能推广到nn-1nnn+Am(xGR,m是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由;确定函数A3的单调区间. %解：山 =(-15)(-16)(-17)=-4080；-15性质、均可推广，推广的形式分别是： Am = xAm-i, Am + mAm-i = Am (x e

15、 R,m c N )xx-1xxx+1+右边=兑广光,等式成立;事实上，在中，当 = 1吐左边=Ai = x,X当秫 22 时，左 ii=x(x-l)(x-2) (x-m + 1)=(x -1)- (m -1)+1)=XAm-i ,x1因此A” = xAm-i成立;xx-1在中，当m 二 l时，左边=Ai+A。=x + l = Ai =右边，等式成立；XXX+1 当时，左边 =xG- 1)G-2)G-m +1)- 1)G-2)G-m + 2) =a:(x-1)(x-2) (x-m + 2)(x-m + l)+m| = (x + l)x(x-l)(x-2) G + l)-m + l=Am =右边，因此 Am + mAm-1 = Am (x e R,m e N )成立。 x+1xxx+1+先求导数，彳/As)3 33 + 0=3x2 6x + 2 .令3x2 6x + 2o解得xv或 x-(3-V3+ 占）因此，当J)时,函数为增函数当工,+qo3 J时，函数也为增函数。3 _ 33 +令3x2-6x + 20解得皆Lvxvf.因此当is3-73 3 + 妗时,函数为减函数所以，函数A3的增区间为,+003 J，3-3 + x/、 函数A3的减区间