高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆学案文

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1、85椭圆知识梳理1椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距(2)集合语言：PM|MF1|MF2|2a，且2a|F1F2|，|F1F2|2c，其中ac0，且a，c为常数注：当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2ab0)1(ab0)图形续表3直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2BxC0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为：(1)0直线与椭圆相交；(2)0直线与椭圆相切；(3)b0)上任意一点P(x，

2、y)，则当x0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处(2)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.诊断自测1概念思辨(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)方程mx2ny21(m0，n0且mn)表示的曲线是椭圆()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A11P35例3)已知椭圆的方程是1(a5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且F1

3、F28，弦AB过点F1，则ABF2的周长为()A10 B20 C2 D4答案D解析因为a5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a22542，解得a.由椭圆的定义知ABF2的周长为4a4.故选D.(2)(选修A11P42A组T6)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_答案或解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，P点坐标为或.3小题热身(1)(2014大纲卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离

4、心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1答案A解析由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，c1，b22，C的方程为1，故选A.(2)椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案1解析由已知得直线y(xc)过M，F1两点，所以直线MF1的斜率为，所以MF1F260，则MF2F130，F1MF290，则MF1c，MF2c，由点M在椭圆上知：cc2a，故e1.题型1椭圆的定义及应用已知椭圆1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P

5、到另一个焦点F2的距离为()A2 B3 C5 D7应用椭圆的定义答案D解析根据椭圆的定义|PF1|PF2|2a10，得|PF2|7，故选D.条件探究若将典例中的条件改为“F1，F2分别为左、右焦点，M是PF1的中点，且|OM|3”，求点P到椭圆左焦点的距离？解由M为PF1中点，O为F1F2中点，易得|PF2|6，再利用椭圆定义易知|PF1|4.(2018漳浦县校级月考)椭圆y21上的一点P与两焦点F1，F2所构成的三角形称为焦点三角形(1)求的最大值与最小值；(2)设F1PF2，求证：SF1PF2tan. (1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明解

6、(1)设P(x，y)，F1(，0)，F2(，0)，则(x，y)(x，y)x2y23x22，x20,4，x222,1的最大值为1，最小值为2.(2)证明：由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，设F1PF2，在F1PF2中，由余弦定理可得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cos)，可得4c24a22|PF1|PF2|(1cos)|PF1|PF2|，即有F1PF2的面积S|PF1|PF2|sinF1PF2b2b2tantan.方法技巧椭圆定义的应用技巧1椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点

7、与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等2通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题见典例2.冲关针对训练1已知A，B是圆2y24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为_答案x2y21解析如图，由题意知|PA|PB|，|PF|BP|2.所以|PA|PF|2且|PA|PF|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a1，c，b2.所以动点P的轨迹方程为x2y21.2已知ABC的顶点A(4,0)和C(4,0)顶点B在椭圆1上，则_.答案解析由题意知，A，C为椭圆的两焦点，由正弦定理，得.

8、题型2椭圆的标准方程及应用(2018湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2为它的两个焦点，离心率为，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论答案1或1解析由椭圆的定义及ABF2的周长知4a16，则a4，又，所以ca2，所以b2a2c21688.当焦点在x轴上时，椭圆C的方程为1；当焦点在y轴上时，椭圆C的方程为1.综上可知，椭圆C的方程为1或1.(2017江西模拟)椭圆1(ab0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且焦距为2，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|a，且|PF1|，

9、|F1F2|，|PF2|成等比数列，求椭圆的方程用待定系数法，根据已知列出方程组解设P(x，y)，则|OP|2x2y2，由椭圆定义，|PF1|PF2|2a，|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2，又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，|PF1|PF2|F1F2|24c2，|PF1|2|PF2|28c24a2，(xc)2y2(xc)2y28c24a2，整理得x2y25c22a2，即5c22a2，整理得，又2c2，c，a28，b25.所求椭圆的方程为1.方法技巧求椭圆标准方程的步骤1判断椭圆焦点位置2设出椭圆方程3根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a2b2c2的应用

10、4根据焦点写出椭圆方程见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为1(m0，n0，mn)，也可设为Ax2By21(A0，B0，且AB)可简记为“先定型，再定量”冲关针对训练已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2.P为椭圆上的一点，PF1与y轴相交于M，且M为PF1的中点，SPF1F2.求椭圆的方程解设P(x0，y0)M为PF1的中点，O为F1F2的中点x0c，y0.PF2y轴，PF1F2是PF2F190的直角三角形，由题意得，解得所求椭圆的方程为y21.题型3椭圆的几何性质(2016全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一

11、点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.用方程思想A，M，E三点共线，B，N，M三点共线答案A解析由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为yk(xa)，当xc时，yk(ac)，当x0时，yka，所以M(c，k(ac)，E(0，ka)如图，设OE的中点为N，则N，由于B，M，N三点共线，所以kBNkBM，即，所以，即a3c，所以e.故选A.F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，则椭圆的离心率的取值范围是_由F1PF290，求出x后，利用x0，a2

12、求解答案解析设P(x0，y0)为椭圆上一点，则1.(cx0，y0)，(cx0，y0)，若F1PF290，则xyc20.xb2c2，x.0xa2，01.b2c2，a22c2，e1.条件探究将典例2中条件“F1PF290”改为“F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围解椭圆上存在点P使F1PF2为钝角以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点bc，如图，由bc，得a2c2c2，即a2，又0eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义，

13、有2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，得2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)连接QF1，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|.|PF1|2(2)a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此e .题型4直线与椭圆的综合问题角度1利用直线与椭圆的位置

14、关系研究椭圆的标准方程及性质(2014全国卷)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.本题(2)用代入法列出方程，用方程组法求解解(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得或2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x

15、1，y1)，由题意知y1b0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求l的方程直线与椭圆构成方程组，用设而不求的方法求弦长，再求OPQ的面积解(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设

16、t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.方法技巧直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法1合理消元，消元时可以选择消去y，也可以消去x.见角度1典例2利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来3构造基本不等式或利用函数知识求最值见角度2典例4涉及弦中点的问题常用“点差法”解决冲关针对训练(2015陕西高考)已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭

17、圆E的方程解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB|x1x2| .由|AB|，得 ，解得b23.故椭圆E的方程为1.1.(2017浙江高考)椭圆1的离心率是()A. B. C. D.答

18、案B解析椭圆方程为1，a3，c.e.故选B.2(2017河北衡水中学二调)设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足9，则|PF1|PF2|的值为()A8 B10 C12 D15答案D解析由椭圆方程1，可得c24，所以|F1F2|2c4，而，所以|，两边同时平方，得|2|22|2，所以|2|2|22161834，根据椭圆定义得|PF1|PF2|2a8，所以342|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|15.故选D.3(2018武汉调研)已知直线MN过椭圆y21的右焦点F，与椭圆交于M，N两点直线PQ过原点O且与直线MN平行，直线PQ与椭圆交于P，Q两点，则_.答案2解析解

19、法一：由题意知，直线MN的斜率不为0，设直线MN：xmy1，则直线PQ：xmy.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4).(m22)y22my10y1y2，y1y2.|MN|y1y2|2.(m22)y220y3y40，y3y4.|PQ|y3y4|2 .故2.解法二：取特殊位置，当直线MN垂直于x轴时，易得|MN|，|PQ|2b2，则2.4(2015安徽高考)设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，

20、N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程解(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而，进而得ab，c2b，故e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNSkAB1，从而有解得b3.所以a3，故椭圆E的方程为1. 重点保分 两级优选练A级一、选择题1(2018江西五市八校模拟)已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x21的焦点坐标为()A(，0) B(0，)C(，0)或(，0) D(0，)或(，0)答案B解析因为正数m是2和8的等比中项，

21、所以m216，则m4，所以圆锥曲线x21即为椭圆x21，易知其焦点坐标为(0，)，故选B.2(2017湖北荆门一模)已知是ABC的一个内角，且sincos，则方程x2siny2cos1表示()A焦点在x轴上的双曲线B焦点在y轴上的双曲线C焦点在x轴上的椭圆D焦点在y轴上的椭圆答案D解析因为(sincos)212sincos，所以sincos0，结合(0，)，知sin0，cosb0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与

22、圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e .故选A.5已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案C解析因为椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，所以c2a2b2m2n2.因为c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，所以c2am,2n22m2c2，所以m2，n2，所以c2，化为，所以e.故选C.6(2017荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，

23、地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为()A2千米 B.千米C2mn千米 Dmn千米答案A解析某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则近地点A距地心为ac，远地点B距地心为ac.acmr，acnr，ar，c.又b2a2c222mn(mn)rr2(mr)(nr)b，短轴长为2b2千米，故选A.7(2017九江期末)如图，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为()A. B. C.1 D.答案C解析连接AF1，F1F2

24、是圆O的直径，F1AF290，即F1AAF2，又F2AB是等边三角形，F1F2AB，AF2F1AF2B30，因此，在RtF1AF2中，|F1F2|2c，|F1A|F1F2|c，|F2A|F1F2|c.根据椭圆的定义，得2a|F1A|F2A|(1)c，解得ac，椭圆的离心率为e1.故选C.8(2018郑州质检)椭圆1的左焦点为F，直线xa与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()A. B. C. D.答案C解析设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知FMN的周长为L|MN|MF|NF|MN|(2|ME|)(2|NE|)因为|ME|NE|MN|，所以|MN|ME|NE|0，当直线MN

25、过点E时取等号，所以L4|MN|ME|NE|4，即直线xa过椭圆的右焦点E时，FMN的周长最大，此时SFMN|MN|EF|2，故选C.9如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为1(ab0)，若直线AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案C解析设外层椭圆方程为1(ab0，m1)，则切线AC的方程为yk1(xma)，切线BD的方程为yk2xmb，则由消去y，得(b2a2k)x22ma3kxm2a4ka2b20.因为(2ma3k)24(b2a2k)(m2a4ka2b2)0，整理，得k.由消去y，得(b2a2k)x22

26、a2mbk2xa2m2b2a2b20，因为2(2a2mbk2)24(b2a2k)(a2m2b2a2b2)0，整理，得k(m21)所以kk.因为k1k2，所以，e2，所以e，故选C.10(2018永康市模拟)设椭圆C：1(ab0)和圆x2y2b2，若椭圆C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足APB60，则椭圆的离心率e的取值范围是()A0e B.e1C.e1 D.eb0)焦点在x轴上，连接OA，OB，OP，依题意，O，P，A，B四点共圆，APB60，APOBPO30，在直角三角形OAP中，AOP60，cosAOP，|OP|2b，b|OP|a，2ba，4b2a2，由a2b

27、2c2，即4(a2c2)a2，3a24c2，即，e，又0e1，e1，椭圆C的离心率的取值范围是eb0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则椭圆的离心率e的取值范围是_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，则即所以(x1x2)(xx)，所以x1x2.又ax1a，ax2a，x1x2，所以2ax1x22a，则2a，即.又0e1，所以eb0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_答案解析由已知条件易得B，C，F(c,0)，由BFC90，可得0，所以20，c2a2b20，即4c23a2(a2c2)0，亦即3c22a2，所以，则e

28、.B级三、解答题15(2018安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2y24x2y0的圆心C.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程解(1)圆C方程化为(x2)2(y)26，圆心C(2，)，半径r.设椭圆的方程为1(ab0)，则所以所以所求的椭圆方程是1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(2,0)，F2 (2,0)，|F2C| b0)过点P(2,1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点求PAB面积的最大值解(1)e2，a24b2.又椭圆C：1(ab0)过点

29、P(2,1)，1.a28，b22.故所求椭圆方程为1.(2)设l的方程为yxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得x22mx2m240.4m28m2160，解得|m|b0)，椭圆的左焦点为F1(2,0)，a2b24.点B(2，)在椭圆C上，1，解得a28，b24，椭圆C的方程为1.(2)依题意点A的坐标为(2，0)，设P(x0，y0)(不妨设x00)，则Q(x0，y0)，由得x0，y0，直线AP的方程为y(x2)，直线AQ的方程为y(x2)，M，N，|MN|.设MN的中点为E，则点E的坐标为，则以MN为直径的圆的方程为x22，即x2y2y4，令y0得x2或x2，即以MN为直径的圆

30、经过两定点P1(2,0)，P2(2,0)18(2018湖南十校联考)如图，设点A，B的坐标分别为(，0)，(，0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点P的轨迹为C，点M，N是轨迹C上不同于A，B的两点，且满足APOM，BPON，求证：MON的面积为定值解(1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得，kAPkBP(x)，化简得，点P的轨迹方程为1(x)(2)证明：由题意知，M，N是椭圆C上不同于A，B的两点，且APOM，BPON，则直线AP，BP的斜率必存在且不为0.因为APOM，BPON，所以kOMkONkAPkBP.设直线MN的方程为xmyt，代入椭圆方程1，得(32m2)y24mty2t260，设M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1，y2是方程的两根，所以y1y2，y2y2.又kOMkON，所以，即2t22m23.又SMON|t|y1y2|，所以SMON，即MON的面积为定值.